四川省资阳市乐至中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题

这是一份四川省资阳市乐至中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
乐至中学高2025届第三期入学考试数学试题 本试题卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第 I 卷 1-2 页， 第Ⅱ卷 3-4 页， 共 4 页。考生作答时， 须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。满分 150分。考试时间 120 分钟。考试结束后，将答题卡交回。 第Ⅰ卷（共 60 分）一、单选题：本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分。每个小题只有一个选项符合题目要求。1 ．若复数 z 满足zi = 2 +i ，则复数 z 在复平面上对应的点在A ．第一象限                             B ．第二象限C ．第三象限                             D ．第四象限2．下列说法一定正确的是(     )A.一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况B.一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2C.若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元D.随机事件发生的概率与试验次数无关3.已知一组数据7,8,8,10,11,12,14,16,则这组数据的75%分位数是(    )A.13      B. 12     C.14      D.154. 集合A={2,3}，集合B={1,2,4}，从A,B中各任意取一个数，构成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为(　　)A.            B.               C.            D.5 ．函数f(x)=sinxcosx+cos2x 的最小正周期为A .                B .                C . π                               D ．2π6.龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹，故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆可以近似看作一个圆台.  现有一龙洗盆高 18cm ，盆口直径36cm，盆底直径 18cm.  现往盆内注水，当水深 6cm 时，则盆内水的体积为(  )A .                                      B.                                C.                                      D.  7. 已知点A(1, -2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)则△ABC的形状是(    )A.等腰三角形  B.等边三角形  C.直角三角形  D.等腰直角三角形8 ．如图， 在三棱锥 P-ABC 中， △ABC 和△ABP 均为正三角形，AB=4，二面角 P-AB-C的大小为 60°,则异面直线 PB 与AC 所成角的余弦值是(     ) A . −    B ．   C.  −    D.  二、多选题：本题共 4 小题， 每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分， 部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9. 已知复数 z = (2 +i)i ，则（  ）A.   z = 1+ 2i                                                                  B.  | z |= C.  z 在复平面内对应的点在第二象限            D.  z +1为纯虚数10.在矩形 ABCD 中，已知 E, F 分别是 BC, CD 上的点，且满足 BE = EC, CF = 2FD ，则（  ）A.          B.C.       D.11. 在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知，且，，则的可能取值为（    ）A．1        B．        C．        D．12.在棱长为1的正方体 中，M 为线段 上的动点，下列说法正确的是(   )A. 的最大值为90                                  B. 的最小值为C.  三棱锥 的体积为定值        D.  第 II 卷（非选择题）三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案直接填在答题卷相应的横线上.13 ．已知，，且，则           .14．在一些餐饮店中经常见到用于计时的沙漏，从沙漏的下半部分可抽象出一个高为  ，底面圆半径为 1 的圆锥，则该圆锥的侧面积为        .15 ．甲、乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，，两人都成功破译的概率             .16.如图，在边长为6的正方形中，分别为的中点，现将分别沿折起使点重合，重合后记为点，得到三棱锥，则三棱锥的外接球表面积为            .四．解答题：本大题共 6 小题， 共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 ．（本题满分 10 分）已知 , .（1）求；  （2）若 , β= (0, π) ，求 β 的值.  18.（本小题满分 12 分）  19.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥P 一 ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，在直角梯形ABCD 中，AB⊥AD , BC // AD ， AD = 2AB = 2BC ，E 是PD 中点.  求证：（1） CE // 平面PAB ；（2）平面PCD ⊥平面ACE .   20.（本小题满分 12 分）400 名大学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽 取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：[20，30]，[30，40]，…… , [80， 90]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）在频率分布直方图中，求分数小于 70 的频率；（2）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间[40，50)内人数； （3）已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相 等．试估计总体中男生和女生人数的比例.21 ．（本题满分 12 分）已知函数 f(x) = 2 cos x( sin x 一 cos x) + a 的最大值为 2 .（1）求实数 a 的值和函数 f(x) 的对称中心；（2）将 f(x) 图象上所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，若在上有两个不同的解，求实数m 的取值范围.        22 ．（本题满分 12 分）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
  2025届乐至中学数学入学考试参考答案一、单选题 12345678DDAACBCB 二、多选题9101112BCDACDADBCD  
 三、填空题13． 3                                        14．    15.                            16. 四、解答题 17.  (本小题满分 10 分)     
  (本小题满分 12 分) （1）取线段的中点，连接，分别为中点，，，又，，，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面.（2）平面，平面，；设，则，，，，，，，；，平面，平面，平面，平面平面 
(本小题满分 12 分) （1）解：根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于的频率为所以样本中分数小于的频率为.（2）解：根据题意，样本中分数不小于50的频率为，分数在区间内的人数为.所以总体中分数在区间内的人数估计为.（3）解：由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为，所以样本中分数不小于70的男生人数为.所以样本中的男生人数为，女生人数为，男生和女生人数的比例为.所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为. 21.  (本小题满分 12 分)解：  (1) 函数 f(x) = 3 sin 2x 一 (cos 2x + 1) + a = 2 sin(2x 一 ) 一 1 + a函数 f(x) 的最大值为 2 ，：2 一 1 + a = 2，即a = 1                                k     6                                 2     12：f(x)的对称中心为(+ ,0), k Z 注：没写 k Z 或坐标形式，适当扣分(2) 将 f(x) 图象上所有点向右平移个单位得f(x 一 ) = 2 sin[2(x 一 ) 一 ] = 2 sin(2x 一 )再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得 g (x) = 2 sin(4x 一 )：2 sin(4x 一 ) 一 m = 2 在 x [ , ) 上有两个不同的解转化为 y = 2 sin(4x 一 )与y = m + 2 在x [ , ) 有两个不同的交点 4x 一 ：由图可知，当一 2 m + 2 一  时有两个不同的交点 ：m (一4,一   一 2)
 22.  (本小题满分 12 分)（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD因为平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，因此AO⊥平面BCD，因为平面BCD，所以AO⊥CD(2)（法一：几何法）作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M,连FM因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD所以EF⊥BD, EF⊥CD, ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC因为FM⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME则为二面角E-BC-D的平面角, 因为,为正三角形,所以为直角三角形因为,从而EF=FM=平面BCD,所以（法二：向量法）