数学选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理精练

这是一份数学选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理精练，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共16小题；共80分）
1. 在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的交点，若 A1B1=a，A1D1=b，A1A=c，则下列向量中与 B1M 相等的向量是
A. −12a+12b+cB. 12a+12b+cC. 12a−12b+cD. −12a−12b+c

2. 在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中，设 AB=a，AD=b，AA1=c，F1 为 B1D1 的中点，若 DF1=xa+yb+zc，则 x+y+z=
A. −1B. 2C. 1D. 13

3. 下列命题中正确的是
A. 若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线
B. 向量 a，b，c 共面，即它们所在的直线共面
C. 若两个非零空间向量 AB 与 CD 满足 AB+CD=0，则 AB∥CD
D. 若 a∥b，则存在唯一的实数 λ，使 a=λb

4. 练习 3．在四面体 OABC 中，空间的一点 M 满足 OM=14OA+16OB+λOC，若 MA，MB，MC 共面，则 λ=
A. 12B. 13C. 512D. 712

5. 如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，M 为 A1C1 的中点．若 AB=a，AA1=c，BC=b，则下列向量与 BM 相等的是
A. −12a+12b+cB. 12a+12b+cC. −12a−12b+cD. 12a−12b+c

6. 在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点，若 AB=a，AD=b，AA1=c，则与 BM 相等的向量是
A. −12a+12b+cB. 12a+12b+cC. −12a−12b+cD. 12a−12b+c

7. 下面关于空间向量的说法正确的是
A. 若向量 a，b 平行，则 a，b 所在直线平行
B. 若向量 a，b 所在直线是异面直线，则 a，b 不共面
C. 若 A，B，C，D 四点不共面，则向量 AB，CD 不共面
D. 若 A，B，C，D 四点不共面，则向量 AB，AC，AD 不共面

8. 如图，在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中，AC 与 BD 的交点为 M．设 A1B1=a，A1D1=b，A1A=c，则下列向量中与 2B1M 相等的向量是
A. −a+b+2cB. a+b+2cC. a−b+2cD. −a−b+2c

9. 在空间四点 O，A，B，C 中，若 OA,OB,OC 是空间的一个基底，则下列命题不正确的是
A. O，A，B，C 四点不共线
B. O，A，B，C 四点共面，但不共线
C. O，A，B，C 四点不共面
D. O，A，B，C 四点中任意三点不共线

10. 若 a,b,c 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是
A. b+c，b，b−cB. a，a+b，a−b
C. a+b，a−b，cD. a+b，a+b+c，c

11. 如图，在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点，若 AB=a，AD=b，AA1=c，则下列向量中与 BM 相等的向量是
A. 12a+12b+cB. 12a−12b+cC. −12a+12b+cD. 12a+12b−c

12. 在正方体 ABCD−AʹBʹCʹDʹ 中，O1，O2，O3 分别是 AC，ABʹ，ADʹ 的中点，以 AO1,AO2,AO3 为基底，ACʹ=xAO1+yAO2+zAO3，则 x，y，z 的值是
A. x=y=z=1B. x=y=z=12C. x=y=z=22D. x=y=z=2

13. 已知空间任意一点 O 和不共线三点 A，B，C．若 CP=2CA+CB，则下列结论正确的是
A. OP=OA+2OB−2OCB. OP=−2OA−OB+3OC
C. OP=2OA+OB−3OCD. OP=2OA+OB−2OC

14. 已知正方体 ABCD−AʹBʹCʹDʹ，点 E 是 AʹCʹ 的中点，点 F 是 AE 的三等分点，且 AF=12EF，则 AF 等于
A. AAʹ+12AB+12ADB. 12AAʹ+12AB+12AD
C. 12AAʹ+16AB+16ADD. 13AAʹ+16AB+16AD

15. 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C．若 OP=xOA+yOB+zOCx,y,z∈R，则“x=2，y=−3，z=2”是“P，A，B，C 四点共面”的
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

16. 练习 1．如图，M，N 分别是四面体 OABC 的边 OA，BC 的中点，P，Q 是 MN 的三等分点（Q 靠近点 M），则用向量 OA，OB，OC 表示 OQ，正确的是
A. OQ=13OA+16OB+16OCB. OQ=16OA+13OB+16OC
C. OQ=16OA+13OB+13OCD. OQ=13OA+13OB+16OC

二、填空题（共7小题；共35分）
17. 已知点 O 是空间任一点，A，B，C，D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且 OA=2xBO+3yCO+4zDO，则 2x+3y+4z= ．

18. 如图，在四面体 OABC 中，M，N，G 分别是 OA，BC，MN 的中点．若用 OA，OB，OC，作为基底表示 OG，则 OG= ．

19. 已知 A，B，C 三点共线，则对空间任一点 O，存在三个不为 0 的实数 λ，m，n，使 λOA+mOB+nOC=0．那么 λ+m+n 的值为 ．

20. 如图，在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的交点，若 A1B1=a，A1D1=b，A1A=c，用 a，b，c 表示 D1M，则 D1M= ．

21. 在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中，若 AC1=xAB+2yBC+3zC1C，则 x+y+z= ．

22. 如图所示，在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点．用 AB，AD，AA1 表示 OC1，则 OC1= ．

23. 已知点 P 和不共线三点 A，B，C 共面，且对于空间任意一点 O，都有 OP=2OA+OB+λOC，则 λ= ．

三、解答题（共5小题；共65分）
24. 如图所示，M，N 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，CD 的中点．试判断向量 MN 与向量 AD，BC 是否共面．

25. 如图所示，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E，F 分别是棱 BC，C1D1 的中点．求证：EF∥ 平面 BDD1B1．

26. 如图，已知在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB=2CD，E，F 分别是 DC，AB 的中点，设 AD=a，AB=b．
（1）试用 a,b 为基底表示 DC，EF，FC．
（2）若取 BC 的中点 G，则 AG= ．
（3）若 EF 的中点为 H，试表示出 BH．

27. 如图所示，若 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点，点 H 为 PC 上的点，且 PHHC=12，点 G 在 AH 上，且 AGAH=m．若 G，B，P，D 四点共面，求 m 的值．

28. 在长方体 ABCD−A′B′C′D′ 中，G 是三角形 ACD′ 的重心，求证：D，G，B′ 三点在同一直线上．
答案
第一部分
1. A
【解析】如图，
由向量的三角形法则可得 B1M=B1B+12BD，即
B1M=A1A+12BA+BC=c−12a+12b,
应选答案A．
2. C
3. C
【解析】A中，若 b=0，则 a 与 c 不一定共线；
B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；
C中，因为 AB+CD=0，所以 AB=−CD，所以 AB 与 CD 共线，故 AB∥CD 正确；
D中，若 b=0，a≠0，则不存在 λ，使 a=λb．
4. D
【解析】由 MA，MB，MC 共面知，14+16+λ=1⇒λ=712．
故选：D．
5. A
【解析】因为 M 是 A1C1 的中点，
所以
BM=AM−AB=AA1+A1M−AB=AA1−AB+12A1C1=AA1−AB+12AC=AA1−AB+12AB+BC=AA1−12AB+12BC=−12a+12b+c.
故选A．
6. A
7. D
【解析】我们可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故B，C都不正确．由向量平行与直线平行的区别，可知A不正确．因为 AB，AC，AD 是空间中共端点 A 但不共面的三条线段，所以向量 AB，AC，AD 不共面．
8. A
9. B
【解析】选项A对应的命题是正确的，若四点共线，则向量 OA，OB，OC 共面，构不成基底；
选项B对应的命题是错误的，若四点共面，则 OA，OB，OC 共面，构不成基底；
选项C对应的命题是正确的，若四点共面，则 OA，OB，OC 构不成基底；
选项D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量 OA，OB，OC 构不成基底．
10. C
11. C
【解析】BM=BB1+B1M=BB1+12B1D1=BB1+12B1A1+B1C1=AA1+12BA+12AD=−12a+12b+c.
12. A
【解析】ACʹ=AB+BCʹ=AB+BBʹ+BC=AB+AAʹ+AD=12AB+AD+12AB+AAʹ+12AAʹ+AD=12AC+12ABʹ+12ADʹ=AO1+AO2+AO3,
对比 ACʹ=xAO1+yAO2+zAO3，可得 x=y=z=1．
13. D
【解析】因为 CP=2CA+CB，
又 CP=OP−OC，CA=OA−OC，CB=OB−OC，
所以 OP−OC=2OA−OC+OB−OC，
整理得 OP=2OA+OB−2OC．
14. D【解析】AF=13AE=13AAʹ+AʹE=13AAʹ+13×12AʹCʹ=13AAʹ+16AʹBʹ+AʹDʹ=13AAʹ+16AʹBʹ+16AʹDʹ=13AAʹ+16AB+16AD.
15. B
【解析】当 x=2，y=−3，z=2 时，OP=2OA−3OB+2OC，则 AP−AO=2OA−3AB−AO+2AC−AO，即 AP=−3AB+2AC，根据共面向量定理知，P，A，B，C 四点共面．
反之，当 P，A，B，C 四点共面时，根据共面向量定理，
设 AP=mAB+nACm,n∈R，即 OP−OA=mOB−OA+nOC−OA，即 OP=1−m−nOA+mOB+nOC，即 x=1−m−n，y=m，z=n，这组数显然不止 2，−3，2．
故 x=2，y=−3，z=2”是“P，A，B，C 四点共面”的充分不必要条件，故选B．
16. A
【解析】因为 M，N 分别是四面体 OABC 的边 OA，OB 的中点，P，Q 是 AC，MN 的三等分点（Q 靠近点 M），
所以 AB=OB−OA，BC=OC−OB，
所以
MN=MA+AB+BN=12OA+AB+12BC=12OA+OB−OA+12OC−OB=−12OA+12OB+12OC,
所以
OQ=OM+MQ=12OA+13MN=12OA−16OA+16OB+16OC=13OA+16OB+16OC.
故选A．
第二部分
17. −1
18. 14OA+OB+OC
【解析】OG=12OM+ON=12OM+12×12OB+OC=14OA+14OB+14OC=14OA+OB+OC.
19. 0
20. 12a−12b+c
【解析】D1M=D1D+DM=A1A+12DA+DC=c+12−A1D1+A1B1=12a−12b+c.
21. 76
【解析】因为 AC1=AB+BC+CC1，
又 AC1=xAB+2yBC+3zC1C，
所以 x=1，2y=1，3z=−1，即 x=1，y=12，z=−13．
所以 x+y+z=1+12−13=76．
22. 12AB+12AD+AA1
【解析】OC=12AC=12AB+AD，
所以
OC1=OC+CC1=12AB+AD+AA1=12AB+12AD+AA1.
23. −2
【解析】点 P 与不共线三点 A，B，C 共面，且 OP=xOA+yOB+zOCx,y,z∈R，
则 x+y+z=1 是四点共面的充要条件，即 2+1+λ=1，故 λ=−2．
第三部分
24. 由题图可得 MN=MA+AD+DN. ⋯⋯①
MN=MB+BC+CN, ⋯⋯②
MA=−MB，DN=−CN．由① + ②得 2MN=AD+BC，
即 MN=12AD+12BC，故向量 MN 与向量 AD，BC 共面．
25. 取 D1B1 的中点 O，连接 OF，OB（图略）．
因为 F 为 C1D1 的中点，
所以 OF∥B1C1 且 OF=12B1C1，
又 BE∥B1C1，BE=12B1C1，
所以 OF∥BE 且 OF=BE，
所以四边形 OFEB 是平行四边形，
所以 EF∥BO．
因为 EF⊄ 平面 BDD1B1，BO⊂ 平面 BDD1B1，
所以 EF∥ 平面 BDD1B1．
26. （1） 因为 DC∥AB，AB=2DC，E，F 分别是 DC，AB 的中点，
所以 FC=AD=a，
DC=AF=12AB=12b，
EF=ED+DA+AF=−12DC−AD+12AB=−12×12b−a+12b=14b−a.
（2） 12a+34b
【解析】BC=BA+AD+DC=−b+a+12b=a−12b，
所以 AG=AB+BG=AB+12BC=b+12a−14b=12a+34b．
（3） BH=FH−FB=12FE−12AB=−12EF−12AB，
因为 EF=14b−a，
所以 BH=−18b+12a−12b=12a−58b．
27. 连接 BD，BG，
因为 AB=PB−PA，AB=DC，
所以 DC=PB−PA，
因为 PC=PD+DC，
所以 PC=PD+PB−PA=−PA+PB+PD，
因为 PHHC=12，
所以 PH=13PC，
所以 PH=13−PA+PB+PD=−13PA+12PB+13PD，
又因为 AH=PH−PA，
所以 AH=−43PA+13PB+13PD，
因为 AGAH=m，
所以 AG=mAH=−4m3PA+m3PB+m3PD，
所以 BG=1−4m3PA+m3−1PB+m3PD，
又因为 G，B，P，D 四点共面，
所以 1−4m3=0，解得 m=34．
28. 以 D′ 为原点，经过 D′ 的三条棱为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系．得有关点的坐标 Aa,0,c，C0,b,c，B′a,b,0，D0,0,c，AC 的中点 Ea2,b2,c．
因为 D′G=23D′E，
所以得 Ga3,b3,2c3，
可得 DB′=a,b,−c，DG=a3,b3,−c3=13DB′，
所以 D，G，B′ 共线．