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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式课时作业
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式课时作业，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共15小题；共75分）
1. 两直线y=kx+2k+1与x+2y−4=0交点在第四象限，则k的取值范围是( )
A. (−6，2)B. (−16,0)C. (−12,−16)D. (12,+∞)
2. 直线 l1，l2 分别过点 P−1,3，Q2,−1，它们分别绕 P，Q 旋转，但始终保持平行，则 l1，l2 之间的距离 d 的取值范围为
A. 0,+∞B. 0,5C. 0,5D. 0,17
3. 当 0A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. 直线 l 过点 2,2，且点 5,1 到直线 l 的距离为 10，则直线 l 的方程是
A. 3x+y+4=0B. 3x−y+4=0C. 3x−y−4=0D. x−3y+4=0
5. 已知直线 l1:Ax+3y+C=0 与 l2:2x−3y+4=0，若 l1，l2 的交点在 y 轴上，则 C 的值为
A. 4B. −4
C. 4 或 −4D. 与 A 的取值有关
6. 已知直线 3x+4y−3=0 与 6x+my+14=0 平行，则它们之间的距离是
A. 0B. 2C. 4D. 13
7. 点 0,−1 到直线 y=kx+1 距离的最大值为
A. 1B. 2C. 3D. 2
8. 已知点 P1,2，直线 l:y=2x−5，则点 P 到 l 的距离为
A. 5B. 5C. 3D. 1
9. 若直线 2ax+y−2=0 与直线 x−a+1y+2=0 互相垂直，则这两条直线的交点坐标为
A. −25,−65B. 25,65C. 25,−65D. −25,65
10. 直线 2x+3y−k=0 和直线 x−ky+12=0 的交点在 x 轴上，则 k 的值为
A. −24B. 24C. 6D. ±6
11. 在直线 2x−3y+5=0 上求点 P，使点 P 到 A2,3 的距离为 13，则点 P 的坐标是
A. 5,5B. −1,1
C. 5,5 或 −1,1D. 5,5 或 1,−1
12. 在平面直角坐标系中，定义 dA,B=maxx1−x2,y1−y2 为两点 Ax1y1，Bx2,y2 的“切比雪夫距离”．又设点 P 及 l 上任意一点 Q，称 dP,Q 的最小值为点 P 到直线 l 的“切比雪夫距离”，记作 dP,l，给出下列三个命题：
①对任意三点 A，B，C，都有 dC,A+dC,B≥dA,B；
②已知点 P3,1 和直线 l:2x−y−1=0，则 dP,l=43；
③定点 F1−c,0，F2c,0，动点 Px,y 满足 dP,F1−dP,F2=2a2c>2a>0，则点 P 的轨迹与直线 y=k（k 为常数）有且仅有 2 个公共点．
其中真命题的个数是
A. 0B. 1C. 2D. 3
13. 若方程 y=ax 和 y=x+aa>0 所表示的曲线有两个公共点，则实数 a 的取值范围是
A. a>1B. 0C. 01D. ∅
14. 已知 m,n,a,b∈R，且满足 3m+4n=6，3a+4b=1，则 m−a2+n−b2 的最小值为
A. 3B. 2C. 1D. 12
15. 若直线 l:y=kx−3 与直线 x+y−3=0 相交，且交点在第一象限，则直线 l 的倾斜角 θ 的取值范围是
A. θ0<θ<60∘B. θ30∘<θ<60∘
C. θ30∘<θ<90∘D. θ60∘<θ<90∘
二、填空题（共7小题；共35分）
16. 已知直线 x−2y+1=0 与直线 2x−4y+1=0 平行，则这两条平行线之间的距离为 ．
17. 在平面直角坐标系中，若点 2,b 到原点的距离不小于 5，则 b 的取值范围是 ．
18. 直线 l 在 x 轴上的截距为 1，又点 A−2,−1，B4,5 到 l 的距离相等，则直线 l 的方程为 ．
19. 直线 l1:y=kx+k+2 与直线 l2:y=−2x+4 的交点在第一象限，则实数 k 的取值范围是 ．
20. 已知点 A−1,2，B1,4，若直线 l 过点 M−2,−3，且 A，B 到直线 l 的距离相等，则直线 l 的方程为 ．
21. a2+2a+2+a2−4a+13 的最小值为 ．
22. 若直线 l 的倾斜角是 34π，且与点 −1,−2 之间的距离是 32，则直线 l 的方程是 ．
三、解答题（共5小题；共65分）
23. 已知三条直线 x+2y+3=0，3x+4y=0 和 2x+3y−k=0 交于同一点，求 k 的值．
24. 已知 △ABC 的顶点 A 为定点，顶点 B，C 在定直线 l 上滑动，BC=2，顶点 A 到 BC 的距离为 3，求 △ABC 的外心的轨迹方程．
25. 已知三条直线 l1:2x−y+a=0 （ a>0 ），l2:4x−2y−1=0 和 l3:x+y−1=0，且两平行直线 l1 与 l2 间的距离是 7510 .
（1）求 a 的值；
（2）能否找到一点 P，使得 P 点同时满足下列三个条件：① P 是第一象限的点；② P 点到 l1 的距离是 P 点到 l2 的距离的 12 ；③ P 点到 l1 的距离与P点到 l3 的距离之比是 2∶5 ?若能，求 P 点坐标；若不能，说明理由.
26. 用解析法证明：
（1）两条中线相等的三角形是等腰三角形；
（2）过正方形 ABCD 的顶点 D 作对角线 AC 的平行线 DE，使 ∣CE∣=∣AC∣，CE 与 AD 交于点 F（如图），求证：∣AF∣=∣AE∣．
27. 如果已知直线的斜率为 k，那么直线上的两点 P1x1,y1，P2x2,y2 之间的距离可以怎么表示?
答案
第一部分
1. C
【解析】【分析】联立方程组可直接求出交点坐标，令交点的横坐标大于0，综坐标小于0，解不等式组即可．
【解析】解：联立方程y=kx+2k+1x+2y−4=0，可解得x=2−4k2k+1y=6k+12k+1，
由两直线y=kx+2k+1与x+2y−4=0交点在第四象限可得x=2−4k2k+1>0y=6k+12k+1<0，
解此不等式组可得−12故选：C．
【点评】本题考查两条直线的交点坐标，解方程组和不等式组是解决问题的关键，属基础题．
2. B
【解析】画出图形（图略），可得 0又 ∣PQ∣=−1−22+3+12=5，
所以 03. B
【解析】根据题意解方程组 kx−y=k−1,ky−x=2k, 得交点坐标为 kk−1,2k−1k−1．
因为 00．
故两条直线的交点在第二象限．
4. C
【解析】由已知，设直线 l 的方程为 y−2=kx−2，
即 kx−y+2−2k=0，所以 ∣5k−1+2−2k∣k2+−12=10，
解得 k=3，所以直线 l 的方程为 3x−y−4=0．
5. B
【解析】因为两直线的交点在 y 轴上，且直线 2x−3y+4=0 与 y 轴的交点是 0,43，所以点 0,43 在直线 Ax+3y+C=0 上，则 A×0+3×43+C=0，解得 C=−4．
6. B【解析】在 6x+my+14=0 上取点 −73,0，
则它们之间的距离 =−73×3+0−332+42=2．
7. B【解析】由 y=kx+1 可知直线过定点 P−1,0，设 A0,−1，
当直线 y=kx+1 与 AP 垂直时，点 A 到直线 y=kx+1 距离最大，即为 ∣AP∣=2．
8. A
9. B
【解析】由题意得 2a−a+1=0 得 a=1．
联立 2x+y−2=0,x−2y+2=0, 解得 x=25,y=65.
所以这两条直线的交点坐标为 25,65．
10. A
【解析】因为直线 2x+3y−k=0 和直线 x−ky+12=0 的交点在 x 轴上，可设交点坐标为 a,0，
所以 2a−k=0,a+12=0. 所以 a=−12,k=−24. 故选A．
11. C
【解析】设点 Px,y，则 y=2x+53．
由 ∣PA∣=13，得 x−22+2x+53−32=13，
即 x−22=9，解得 x=−1 或 x=5．
当 x=−1 时，y=1；
当 x=5 时，y=5，
所以 P 的坐标为 −1,1 或 5,5．
12. D
13. A
14. C
15. C
【解析】由题可知 k≠−1，联立 y=kx−3,x+y−3=0, 解得 x=3+31+k，y=3k−31+k，
所以两直线的交点坐标为 3+31+k,3k−31+k．
因为两直线的交点在第一象限，所以 3+31+k>0,3k−31+k>0, 解得 k>33．又直线 l 的倾斜角为 θ，则 tanθ>33，所以 30∘<θ<90∘．
第二部分
16. 510
17. −∞,−21∪21,+∞
18. x−y−1=0 或 x=1
【解析】当直线 l 的斜率不存在时，l⊥x 轴，符合要求，此时 l 的方程为 x=1．
当直线 l 的斜率存在时，设 l 的斜率为 k，则 l 的方程为 y=kx−1，即 kx−y−k=0．
因为点 A，B 到 l 的距离相等，
所以 ∣−2k+1−k∣k2+1=∣4k−5−k∣k2+1，
所以 ∣1−3k∣=∣3k−5∣，
所以 k=1，
所以 l 的方程为 x−y−1=0．
综上，直线 l 的方程为 x−y−1=0 或 x=1．
19. −23,2
20. x−y−1=0 或 3x−y+3=0
21. 5
22. x+y−3=0 或 x+y+9=0
第三部分
23. 直线 x+2y+3=0 和 3x+4y=0 的交点是 6,−92．又根据题意，三条直线交于一点，所以，6,−92 满足方程 2x+3y−k=0，
所以，k=−32．
24. 建立平面直角坐标系，使 x 轴与直线 l 重合，点 A 在 y 轴上，则 A0,3．
设外心 Px,y，则 P 在线段 BC 的中垂线上．
又可设 Bx−1,0，Cx+1,0，点 P 又在线段 AB 的中垂线上，
PA=PB⇒x2+y−32=12+y2，
故轨迹方程为 x2−6y+8=0．（根据建标不同，答案不唯一）
25. （1） l2 的方程可化为 2x−y−12=0，
所以 l1 与 l2 间的距离 d=a−−1222+−12=7510，
所以 a+125=7510，所以 a+12=72，
因为 a>0，所以 a=3．
（2） 能．理由如下：
假设存在满足题意的 P 点．
设点 Px0,y0，因为 P 点满足条件②，
所以 P 点在与 l1 、 l2 平行的直线 lʹ:2x−y+C=0 上，
其中 C 满足 C−35=12×C+125，
则 C=132 或 C=116，
所以 2x0−y0+132=0 或 2x0−y0+116=0．
因为 P 点满足条件③，所以由点到直线的距离公式得 2x0−y0+35=25×x0+y0−12，
即 2x0−y0+3=x0+y0−1，
所以 x0−2y0+4=0 或 3x0+2=0．
因为 P 点在第一象限，所以 3x0+2=0 不满足题意．
由 2x0−y0+132=0,x0−2y0+4=0, 解得 x0=−3,y0=12 （舍去）．
由 2x0−y0+116=0,x0−2y0+4=0, 解得 x0=19,y0=3718,
所以存在满足题意的 P 点，且 P 点的坐标为 19,3718．
26. （1） 略；
（2） 略．
27. ∣P1P2∣=x2−x12+y2−y12=1+k2∣x1−x2∣，
或者 ∣P1P2∣=1+1k2∣y1−y2∣k≠0，这也是以后经常会用到的弦长公式．
一、选择题（共15小题；共75分）
1. 两直线y=kx+2k+1与x+2y−4=0交点在第四象限，则k的取值范围是( )
A. (−6，2)B. (−16,0)C. (−12,−16)D. (12,+∞)
2. 直线 l1，l2 分别过点 P−1,3，Q2,−1，它们分别绕 P，Q 旋转，但始终保持平行，则 l1，l2 之间的距离 d 的取值范围为
A. 0,+∞B. 0,5C. 0,5D. 0,17
3. 当 0
4. 直线 l 过点 2,2，且点 5,1 到直线 l 的距离为 10，则直线 l 的方程是
A. 3x+y+4=0B. 3x−y+4=0C. 3x−y−4=0D. x−3y+4=0
5. 已知直线 l1:Ax+3y+C=0 与 l2:2x−3y+4=0，若 l1，l2 的交点在 y 轴上，则 C 的值为
A. 4B. −4
C. 4 或 −4D. 与 A 的取值有关
6. 已知直线 3x+4y−3=0 与 6x+my+14=0 平行，则它们之间的距离是
A. 0B. 2C. 4D. 13
7. 点 0,−1 到直线 y=kx+1 距离的最大值为
A. 1B. 2C. 3D. 2
8. 已知点 P1,2，直线 l:y=2x−5，则点 P 到 l 的距离为
A. 5B. 5C. 3D. 1
9. 若直线 2ax+y−2=0 与直线 x−a+1y+2=0 互相垂直，则这两条直线的交点坐标为
A. −25,−65B. 25,65C. 25,−65D. −25,65
10. 直线 2x+3y−k=0 和直线 x−ky+12=0 的交点在 x 轴上，则 k 的值为
A. −24B. 24C. 6D. ±6
11. 在直线 2x−3y+5=0 上求点 P，使点 P 到 A2,3 的距离为 13，则点 P 的坐标是
A. 5,5B. −1,1
C. 5,5 或 −1,1D. 5,5 或 1,−1
12. 在平面直角坐标系中，定义 dA,B=maxx1−x2,y1−y2 为两点 Ax1y1，Bx2,y2 的“切比雪夫距离”．又设点 P 及 l 上任意一点 Q，称 dP,Q 的最小值为点 P 到直线 l 的“切比雪夫距离”，记作 dP,l，给出下列三个命题：
①对任意三点 A，B，C，都有 dC,A+dC,B≥dA,B；
②已知点 P3,1 和直线 l:2x−y−1=0，则 dP,l=43；
③定点 F1−c,0，F2c,0，动点 Px,y 满足 dP,F1−dP,F2=2a2c>2a>0，则点 P 的轨迹与直线 y=k（k 为常数）有且仅有 2 个公共点．
其中真命题的个数是
A. 0B. 1C. 2D. 3
13. 若方程 y=ax 和 y=x+aa>0 所表示的曲线有两个公共点，则实数 a 的取值范围是
A. a>1B. 0
14. 已知 m,n,a,b∈R，且满足 3m+4n=6，3a+4b=1，则 m−a2+n−b2 的最小值为
A. 3B. 2C. 1D. 12
15. 若直线 l:y=kx−3 与直线 x+y−3=0 相交，且交点在第一象限，则直线 l 的倾斜角 θ 的取值范围是
A. θ0<θ<60∘B. θ30∘<θ<60∘
C. θ30∘<θ<90∘D. θ60∘<θ<90∘
二、填空题（共7小题；共35分）
16. 已知直线 x−2y+1=0 与直线 2x−4y+1=0 平行，则这两条平行线之间的距离为 ．
17. 在平面直角坐标系中，若点 2,b 到原点的距离不小于 5，则 b 的取值范围是 ．
18. 直线 l 在 x 轴上的截距为 1，又点 A−2,−1，B4,5 到 l 的距离相等，则直线 l 的方程为 ．
19. 直线 l1:y=kx+k+2 与直线 l2:y=−2x+4 的交点在第一象限，则实数 k 的取值范围是 ．
20. 已知点 A−1,2，B1,4，若直线 l 过点 M−2,−3，且 A，B 到直线 l 的距离相等，则直线 l 的方程为 ．
21. a2+2a+2+a2−4a+13 的最小值为 ．
22. 若直线 l 的倾斜角是 34π，且与点 −1,−2 之间的距离是 32，则直线 l 的方程是 ．
三、解答题（共5小题；共65分）
23. 已知三条直线 x+2y+3=0，3x+4y=0 和 2x+3y−k=0 交于同一点，求 k 的值．
24. 已知 △ABC 的顶点 A 为定点，顶点 B，C 在定直线 l 上滑动，BC=2，顶点 A 到 BC 的距离为 3，求 △ABC 的外心的轨迹方程．
25. 已知三条直线 l1:2x−y+a=0 （ a>0 ），l2:4x−2y−1=0 和 l3:x+y−1=0，且两平行直线 l1 与 l2 间的距离是 7510 .
（1）求 a 的值；
（2）能否找到一点 P，使得 P 点同时满足下列三个条件：① P 是第一象限的点；② P 点到 l1 的距离是 P 点到 l2 的距离的 12 ；③ P 点到 l1 的距离与P点到 l3 的距离之比是 2∶5 ?若能，求 P 点坐标；若不能，说明理由.
26. 用解析法证明：
（1）两条中线相等的三角形是等腰三角形；
（2）过正方形 ABCD 的顶点 D 作对角线 AC 的平行线 DE，使 ∣CE∣=∣AC∣，CE 与 AD 交于点 F（如图），求证：∣AF∣=∣AE∣．
27. 如果已知直线的斜率为 k，那么直线上的两点 P1x1,y1，P2x2,y2 之间的距离可以怎么表示?
答案
第一部分
1. C
【解析】【分析】联立方程组可直接求出交点坐标，令交点的横坐标大于0，综坐标小于0，解不等式组即可．
【解析】解：联立方程y=kx+2k+1x+2y−4=0，可解得x=2−4k2k+1y=6k+12k+1，
由两直线y=kx+2k+1与x+2y−4=0交点在第四象限可得x=2−4k2k+1>0y=6k+12k+1<0，
解此不等式组可得−12
【点评】本题考查两条直线的交点坐标，解方程组和不等式组是解决问题的关键，属基础题．
2. B
【解析】画出图形（图略），可得 0
所以 0
【解析】根据题意解方程组 kx−y=k−1,ky−x=2k, 得交点坐标为 kk−1,2k−1k−1．
因为 0
故两条直线的交点在第二象限．
4. C
【解析】由已知，设直线 l 的方程为 y−2=kx−2，
即 kx−y+2−2k=0，所以 ∣5k−1+2−2k∣k2+−12=10，
解得 k=3，所以直线 l 的方程为 3x−y−4=0．
5. B
【解析】因为两直线的交点在 y 轴上，且直线 2x−3y+4=0 与 y 轴的交点是 0,43，所以点 0,43 在直线 Ax+3y+C=0 上，则 A×0+3×43+C=0，解得 C=−4．
6. B【解析】在 6x+my+14=0 上取点 −73,0，
则它们之间的距离 =−73×3+0−332+42=2．
7. B【解析】由 y=kx+1 可知直线过定点 P−1,0，设 A0,−1，
当直线 y=kx+1 与 AP 垂直时，点 A 到直线 y=kx+1 距离最大，即为 ∣AP∣=2．
8. A
9. B
【解析】由题意得 2a−a+1=0 得 a=1．
联立 2x+y−2=0,x−2y+2=0, 解得 x=25,y=65.
所以这两条直线的交点坐标为 25,65．
10. A
【解析】因为直线 2x+3y−k=0 和直线 x−ky+12=0 的交点在 x 轴上，可设交点坐标为 a,0，
所以 2a−k=0,a+12=0. 所以 a=−12,k=−24. 故选A．
11. C
【解析】设点 Px,y，则 y=2x+53．
由 ∣PA∣=13，得 x−22+2x+53−32=13，
即 x−22=9，解得 x=−1 或 x=5．
当 x=−1 时，y=1；
当 x=5 时，y=5，
所以 P 的坐标为 −1,1 或 5,5．
12. D
13. A
14. C
15. C
【解析】由题可知 k≠−1，联立 y=kx−3,x+y−3=0, 解得 x=3+31+k，y=3k−31+k，
所以两直线的交点坐标为 3+31+k,3k−31+k．
因为两直线的交点在第一象限，所以 3+31+k>0,3k−31+k>0, 解得 k>33．又直线 l 的倾斜角为 θ，则 tanθ>33，所以 30∘<θ<90∘．
第二部分
16. 510
17. −∞,−21∪21,+∞
18. x−y−1=0 或 x=1
【解析】当直线 l 的斜率不存在时，l⊥x 轴，符合要求，此时 l 的方程为 x=1．
当直线 l 的斜率存在时，设 l 的斜率为 k，则 l 的方程为 y=kx−1，即 kx−y−k=0．
因为点 A，B 到 l 的距离相等，
所以 ∣−2k+1−k∣k2+1=∣4k−5−k∣k2+1，
所以 ∣1−3k∣=∣3k−5∣，
所以 k=1，
所以 l 的方程为 x−y−1=0．
综上，直线 l 的方程为 x−y−1=0 或 x=1．
19. −23,2
20. x−y−1=0 或 3x−y+3=0
21. 5
22. x+y−3=0 或 x+y+9=0
第三部分
23. 直线 x+2y+3=0 和 3x+4y=0 的交点是 6,−92．又根据题意，三条直线交于一点，所以，6,−92 满足方程 2x+3y−k=0，
所以，k=−32．
24. 建立平面直角坐标系，使 x 轴与直线 l 重合，点 A 在 y 轴上，则 A0,3．
设外心 Px,y，则 P 在线段 BC 的中垂线上．
又可设 Bx−1,0，Cx+1,0，点 P 又在线段 AB 的中垂线上，
PA=PB⇒x2+y−32=12+y2，
故轨迹方程为 x2−6y+8=0．（根据建标不同，答案不唯一）
25. （1） l2 的方程可化为 2x−y−12=0，
所以 l1 与 l2 间的距离 d=a−−1222+−12=7510，
所以 a+125=7510，所以 a+12=72，
因为 a>0，所以 a=3．
（2） 能．理由如下：
假设存在满足题意的 P 点．
设点 Px0,y0，因为 P 点满足条件②，
所以 P 点在与 l1 、 l2 平行的直线 lʹ:2x−y+C=0 上，
其中 C 满足 C−35=12×C+125，
则 C=132 或 C=116，
所以 2x0−y0+132=0 或 2x0−y0+116=0．
因为 P 点满足条件③，所以由点到直线的距离公式得 2x0−y0+35=25×x0+y0−12，
即 2x0−y0+3=x0+y0−1，
所以 x0−2y0+4=0 或 3x0+2=0．
因为 P 点在第一象限，所以 3x0+2=0 不满足题意．
由 2x0−y0+132=0,x0−2y0+4=0, 解得 x0=−3,y0=12 （舍去）．
由 2x0−y0+116=0,x0−2y0+4=0, 解得 x0=19,y0=3718,
所以存在满足题意的 P 点，且 P 点的坐标为 19,3718．
26. （1） 略；
（2） 略．
27. ∣P1P2∣=x2−x12+y2−y12=1+k2∣x1−x2∣，
或者 ∣P1P2∣=1+1k2∣y1−y2∣k≠0，这也是以后经常会用到的弦长公式．
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