高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式同步测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式同步测试题，共44页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略等内容，欢迎下载使用。
备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）专题05 基本不等式（核心考点精讲精练）

1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新Ⅰ卷，第22题第二问,8分
基本不等式求最值
圆锥曲线大题综合
2022年新Ⅰ卷，第18题第二问,6分
基本不等式求最值
正余弦定理解三角形
2022年新Ⅱ卷，第12题,5分
基本不等式求最值
三角换元及三角函数相关性质
2021年新Ⅰ卷，第5题,5分
基本不等式求最值
椭圆方程及其性质
2020年新Ⅰ卷，第20题第二问,6分
基本不等式求最值
空间向量及立体几何
2020年新Ⅱ卷，第12题,5分
基本不等式求最值
指对函数的性质及单调性

2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，具体视命题情况而定，本身知识点命题可变性多，学生易上手学习，但高考常作为压轴题考查，难度较难，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推论，会使用应用条件：“一正，二定，三相等”
2.能正确处理常数“1”求最值
3.能用拼凑等思想合理使用基本不等式求最值
4.能熟练掌握基本不等式的应用，应用与函数和解析几何的求解过程中求最值
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会结合条件等式考查拼凑思想来使用基本不等式求最值，或者和其他版块关联，难度中等偏上。



知识讲解
1. 基本不等式
，当且仅当时取等号
其中叫做正数，的算术平均数，
叫做正数，的几何平均数
通常表达为：（积定和最小）
应用条件：“一正，二定，三相等”

（1） 基本不等式的推论1
（和定积最大）
当且仅当时取等号

（2） 基本不等式的推论2

当且仅当时取等号

（3） 其他结论
①＋≥2(ab＞0)．
②≤≤≤ (a＞0，b＞0)．
③已知a，b，x，y为正实数，
若ax＋by＝1，则有＋＝＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2.
若＋＝1，则有x＋y＝＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2.
注意1．使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．
注意2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．
注意3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．

考点一、直接用基本不等式求最值

1．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知实数，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】运用基本不等式求和的最小值即可.
【详解】∵，，，
∴，当且仅当即时取等号.
故答案为：.
2．（2023·湖北孝感·校联考模拟预测）的最小值为______.
【答案】9
【分析】利用基本不等式解出最小值即可.
【详解】，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为9.
故答案为：9

1．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．
【答案】
【分析】根据将分离出来，基本不等式求最值即可求解.
【详解】由得．
又，当且仅当，即当时等号成立，
∴，∴的最大值为．
故答案为：
2．（2023·浙江台州·统考模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为_____________.
【答案】/
【分析】利用重要不等式，转化为不等式，求的最大值.
【详解】因为，所以，
即，当时，等号成立，
所以的最大值是.
故答案为：

考点二、巧用“1”或常数关系求最值

1．（2023·湖北·统考二模）若正数满足，则的最小值为（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式及不等式的性质即可求解.
【详解】因为正数满足，
所以.
所以,
当且仅当，即时，取等号，
当时，取得的最小值为.
故选：A.
2．（2023·湖南邵阳·统考二模）若，，，则的最小值为______．
【答案】8
【分析】由已知条件变形，然后利用基本不等式求解.
【详解】若，，，
则，当且仅当时取等号，
则的最小值为8.
故答案为：8.

1．（2023·重庆·统考一模）已知，则的最小值是___________.
【答案】4
【分析】把化为，再利用“1”的妙用，结合基本不等式即可得到答案.
【详解】，
当且仅当即时，取等号，
故的最小值是4，
故答案为：.
2．（2023·山西晋中·统考三模）设且，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】由已知条件可知，且，再展开，并利用基本不等式求其最小值.
【详解】因为，
所以，，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即，时取得最小值．
故答案为：.
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知，且，则的最小值为______．
【答案】2
【分析】根据基本不等式凑项法和“1”的巧用即可求得最值.
【详解】因为，所以，又，所以
则，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
4．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考一模）若，且，则的最小值为（    ）
A．9 B．3 C．1 D．
【答案】C
【分析】由基本不等式得，进而结合已知条件得的最小值为.
【详解】解：因为，所以，
因为
所以，即，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即的最小值为.
故选：C


考点三、变形为分式的“分母”形式求最值

1．2023·浙江·校联考模拟预测）已知，则的最小值为（    ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】运用基本不等式的性质进行求解即可.
【详解】因为，
所以由，当且仅当时取等号，即时取等号，
故选：B
2．（2023·山西忻州·统考模拟预测）已知，则的最小值是（    ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】利用基本不等式性质求解即可.
【详解】因为，所以
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值为.
故选：D


1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知都是正数，且，则的最小值为__________．
【答案】/
【分析】将化为，和相乘，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】因为都是正数，且，则,
则
,
当且仅当，结合，即，时取等号，
故答案为：
2．（2023·广东肇庆·校考模拟预测）已知，若的最小值大于7，写出满足条件的一个a的值：__________．
【答案】4（答案不唯一，只要即可）.
【分析】根据基本不等式求出的最小值，得到不等式，得到，写出一个符合要求的a的值即可.
【详解】因为，
所以，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，由，得．
故答案为：4（答案不唯一，只要即可）.
3．（2023·河北邯郸·统考一模）已知，，且，则的最小值是（    ）
A．2 B．4 C． D．9
【答案】C
【分析】根据“乘1法”，运用基本不等式即可求解.
【详解】依题意，
因为，所以，则

，
当且仅当，时，等号成立．
故选：C.
4．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知实数，且，则的最小值为___________.
【答案】/0.5
【分析】运用基本式中的“1”的活用，即可得出结果.
【详解】，
，

，
当且仅当时，取等号.
故答案为：.


考点四、两次应用基本不等式求最值

1．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知实数，满足，则当取得最小值时，的值为（    ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】两次应用基本不等式，根据两次不等式等号成立的条件列方程求解即可.
【详解】因为实数，满足，
所以，当且仅当时，，
所以，当且仅当且时，等号成立；
所以当且时，取得最小值4，
此时解得，
故选：D.


1．（2023·吉林长春·统考模拟预测）若，，则的最小值为___________.
【答案】8
【分析】，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故答案为：8
2．（2023·全国·模拟预测）已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【详解】因为为非零实数，，，均为正实数，
则
，
当且仅当且，即时取等号，
则的最大值为．
故选：B．

考点五、条件等式变形求最值

1. （2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
2．（2020年新高考全国II卷数学真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.

3．（2023·海南·海南华侨中学校考模拟预测）已知，，若，则的最小值为_____________.
【答案】4
【分析】因为，，将化为，利用基本不等式，转化为关于的一元二次不等式解决.
【详解】因为，，且，所以，即，化简得，，
解得：或，因为，，所以，当且仅当时，取“=”，所以的最小值为4.
故答案为：4
2．（2023·安徽马鞍山·统考二模）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（    ）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】，
因为a，b，c均为正数，
所以有，
当且仅当时取等号，即时取等号，
故选：C

1．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（    ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】先利用条件得到，再利用均值不等式即可得出结果.
【详解】因为，所以，
又a，b，c均为正数，，
当且仅当时取等号，所以，即，
故选：A.
2．（2023·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）若，则的最小值是___________.
【答案】2
【分析】根据，结合已知解不等式即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以，
则，
所以，
解得或（舍去），
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值是2.
故答案为：2.
3．（2023·全国·模拟预测）已知a，b，c均为正数，且满足，则的最小值为______．
【答案】
【分析】根据基本不等式进行化简求解即可.
【详解】因为a，b，c均为正数，所以，
当且仅当，时等号同时成立.
故答案为：.

考点六、构造法或换元法求最值

1．（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）已知，，，，则的最小值为（    ）
A． B．2 C．6 D．
【答案】D
【分析】基本不等式乘1法，构造法解决即可.
【详解】，
当且仅当时等号成立，（应用基本不等式时注意等号成立的条件）
所以，
当且仅当，即且时，等号成立，
故最小值为，
故选：D
2．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知正实数x，y满足，则的小值为______．
【答案】
【分析】利用待定系数法可得出，与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】设，
可得，解得，
所以，

，
当且仅当时，即等号成立，
则的小值为.
故答案为：9.



1．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为______．
【答案】
【分析】分析可得原题意等价于对任意恒成立，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解.
【详解】∵，则，
原题意等价于对任意恒成立，
由，，则，
可得，
当且仅当，即时取得等号，
∴，解得．
故正实数的取值集合为.
故答案为：．
2．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】构造函数，利用单调性可得，再利用均值不等式即可求解.
【详解】由，得，
令，则在上单调递增，所以，即，
又因为是正实数，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故答案为：
3．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）若，，则的最大值为____________．
【答案】/
【分析】由，再利用基本不等式即可得解.
【详解】，
当且仅当且，即时，取等号，
所以的最大值为.
故答案为：.

考点七、利用基本不等式判断或证明不等式关系

1．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由不等式的性质判断A、B，根据基本不等式可判断C、D.
【详解】因为且，所以或，
对A：若，则，若，则，A错误；
对B：∵，，∴，B错误；
对C：由或，知且，∴，C正确；
对D：当时，有，从而
当，则且，∴，D错误.
故选：C
2．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知，则m，n不可能满足的关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据对数的运算判断A，根据不等式的性质判断BCD.
【详解】，即，即.
对于 A， 成立.
对于 B， ，成立.
对于 C， ，即.故C错误；
对于 D， 成立.
故选：C.



1．（多选）（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知，则下列不等式成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用作差法与基本不等式，分别判断各不等式.
【详解】A选项：由选项可知与同号，当且时，由基本不等式可知恒成立，当且时，，时，该不等式不成立，故A选项错误；
B选项：当时，，则恒成立，即恒成立，当时，原不等式恒成立，故B选项正确；
C选项：当时，，即，恒成立，当时，，即，，故C选项错误；
D选项：由重要不等式可知，，恒成立，故D选项正确；
故选：BD.

2．（多选）（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】作差法比较A、B、D的大小，利用基本不等式判断C即可.
【详解】，则，A对；
，而，
所以，即，B错；
且，仅当等号成立，而，故，C对；
，而，
所以，即，D对.
故选：ACD

考点八、基本不等式的实际应用问题

1．（2023·江苏常州·校考一模）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（    ）
A．甲更合算 B．乙更合算
C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算
【答案】A
【分析】根据题意列出甲乙两次加油的平均单价，进而根据不等式即可求解.
【详解】设两次的单价分别是元/升，
甲加两次油的平均单价为，单位：元/升，
乙每次加油升，加两次油的平均单价为，单位：元/升，
因为，，，
所以，即，
即甲的平均单价低，甲更合算.
故选：A


1．（2023·辽宁·校联考二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）．

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由为等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判断.
【详解】解：由图知：，
在中，，
所以，即，
故选：C

2．（多选）（2023·安徽淮北·统考二模）设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D．H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p为有理数．下列结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据基本不等式比较大小可判断四个选项.
【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，当时，由C可知，，故D不正确.
故选：AB
考点九、基本不等式多选题综合

1．（2023·全国·模拟预测）已知为实数，且，则下列不等式正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A将两边平方即可；对于B举反例即可；对于C作差通分即可；对于D用基本不等式即可.
【详解】由可知，所以A项正确；
当时，不成立，B项错误；
由0得，所以，所以，C项正确；
1)，
当且仅当，即当时取得等号，D项正确．
故选：ACD．


1．（2023·山西·校联考模拟预测）已知正实数a，b满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式可得A,B,D正误，利用1的妙用可得C的正误.
【详解】对于A，因为，所以，当且仅当，即时，取到等号，故A正确；
对于B，，当且仅当，即时，取到等号，故B正确；
对于C，，当且仅当，即时，取到等号，故C正确；
对于D，，所以，当且仅当，即时，取到等号，故D错误．
故选：ABC.

2．（2023·辽宁·校联考模拟预测）设均为正数，且，则（    ）
A． B．当时，可能成立
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式相关公式逐项分析即可求解.
【详解】对于A：因为，
所以，
当且仅当时，等号成立，
又，所以，
所以A选项正确；
对于B：若，则，
因为为正数，所以，
所以B选项错误；
对于C：由，且为正数，
得，则，即，
所以C选项正确；
对于D：
，
当且仅当时，等号成立，所以，
所以D选项正确．
故选：ACD.

3．（2023·江苏·二模）已知，，且，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】对于A利用基本不等式可判断；对于B利用不等式的基本性质以及指数函数的单调性即可判断；对于C可用特殊值法判断；对于D直接根据不等式的基本性质判断即可．
【详解】，，且，，
，
当且仅当取等号，故A正确；
，，且，
，故B正确；
则，故D正确；
取，则，故C错误.
故选：ABD．



【基础过关】
1．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，把方程化为，根据方程有解，利用，求得，进而求得的最大值.
【详解】令，则，
方程可化为，
整理得，则满足，
解得，所以，即，
所以的最大值为.
故选：B.
2．（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数，满足．则的最小值为（   ）
A．12 B．25 C．27 D．36
【答案】C
【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可；
【详解】解：因为，所以．
因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，
所以，的最小值为27．
故选：C
3．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用表示后，根据基本不等式可求出结果.
【详解】因为，
由，得，
所以，
当且仅当时，等号成立.
故的最小值为.
故选：D
4．（2023·吉林四平·四平市实验中学校考模拟预测）已知正实数，则“”是“”的（    ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用基本不等式由可得，可得充分性不成立；当时可得必要性不成立，即可得出结果.
【详解】根据基本不等式可得，即，可得，
所以充分性不成立；
若，可令满足，此时；
即必要性不成立；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D

二、多选题
5．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）若，则下列不等式对一切满足条件恒成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A，B，D，利用基本不等式即可求得答案；对于C，利用，求出，结合的范围，利用二次函数的性质即可求得.
【详解】对于A，，即，当且仅当时等号成立，所以A正确；
对于B， ，，
又，则，当且仅当时等号成立，所以B错误；
对于C，，，所以，
则，并且时等号成立.，所以C正确；
对于D，，所以，
则，
当且仅当，即时等号成立， 所以D正确.
故选：ACD.
6．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】作差法比较A、B、D的大小，利用基本不等式判断C即可.
【详解】，则，A对；
，而，
所以，即，B错；
且，仅当等号成立，而，故，C对；
，而，
所以，即，D对.
故选：ACD
7．（2023·湖南邵阳·统考三模）,则下列命题中，正确的有（    ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【分析】根据不等式的性质判断A、C、D的正误，利用基本不等式判断B的正误.
【详解】对于A：若，则无意义，故A错误；
对于B：若，则，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C：由于不确定的符号，故无法判断，
例如，则，故C错误；
对于D：若，则，
所以，故D正确；
故选：BD.

三、填空题
8．（2023·吉林延边·统考二模）设，，若，则取最小值时a的值为______．
【答案】/0.75
【分析】根据题意可得、，结合基本不等式中“1”的用法计算即可求解.
【详解】由，，得，
由，得，
∴，
当且仅当即，时等号成立.
故当，时取得最小值16.
故答案为：.
9．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）已知a，b为两个正实数，且，则的最大值为__________．
【答案】
【分析】对平方后，由基本不等式求解.
【详解】因为a，b为两个正实数，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最大值为.
故答案为：
10．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知非负数满足，则的最小值是___________.
【答案】4
【分析】根据题意，再构造等式利用基本不等式求解即可.
【详解】由，可得，当且仅当，即时取等号.
故答案为：4

【能力提升】
1．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为（    ）
A．2 B．4 C．8 D．9
【答案】C
【分析】化简已知式可得，因为，由基本不等式求解即可.
【详解】
，
而，
当且仅当，即取等.
故选：C.
2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（    ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】先利用条件得到，再利用均值不等式即可得出结果.
【详解】因为，所以，
又a，b，c均为正数，，
当且仅当时取等号，所以，即，
故选：A.

二、多选题
3．（2023·山东济宁·统考二模）已知，且，则下列结论中正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】利用基本不等式可得，可判断A，C选项,特殊值法判断B，D选项错误.
【详解】因为，，，
，所以，当且仅当等号成立，故A正确，
当,,则,故B错误；
因为，所以，故C正确;
当时,则，故D错误；
故选：AC.
4．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）若，且，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式判断A、B、D，消元、结合二次函数的性质判断C.
【详解】因为，且，
对于A：，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B：，
当且仅当，即、时取等号，故B正确；
对于C：，当且仅当、时取等号，故C不正确；
对于D：，
当且仅当时取等号，故D正确.
故选：ABD
5．（2023·山东烟台·统考三模）已知且，则（    ）
A．的最大值为 B．的最大值为2
C．的最小值为6 D．的最小值为4
【答案】BC
【分析】利用基本不等式可判断AB；先将化为，再妙用“1”可判断C；取特值可判断D.
【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立，故错误；
因为，所以，
即，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
由得，所以，
因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；
令，则，所以的最小值不是4，D错误.
故选：BC.

三、填空题
6．（2023·山东济南·统考三模）已知正数满足，则的最小值为___________.
【答案】18
【分析】对等式进行变形，再根据基本不等式进行求解即可.
【详解】因为，则，又，是正数，
所以，
当取得等号，即且时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：.
7．（2023·山东·校联考模拟预测）设，则的最小值为______.
【答案】6
【分析】对式子进行变形，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】
，
当且仅当取等号，即取等号，
所以的最小值为6.
故答案为：6
8．（2023·辽宁辽阳·统考二模）若，则的值可以是__________．
【答案】5（答案不唯一，只要不小于即可）
【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为，
所以．
因为，所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
则.
故答案为：5（答案不唯一，只要不小于即可）
9．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知，，，，则的最小值为________．
【答案】
【分析】由已知可得，结合基本不等式求的最小值，再求的最小值.
【详解】因为，，
所以，又，，
所以，当且仅当时取等号．
所以，当且仅当时取等号．
所以的最小值为.
故答案为：.
10．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知，且，则的最小值为___________.
【答案】/
【分析】由基本不等式求解即可.
【详解】，且，
，
当且仅当时等号成立.
故答案为：.

【真题感知】
1．（2021·全国·统考高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
2．（2020·全国·统考高考真题）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（    ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【分析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故

面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

二、填空题
3．（2021·天津·统考高考真题）若，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
4．（2020·江苏·统考高考真题）已知，则的最小值是_______．
【答案】
【分析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.
【详解】∵
∴且
∴，当且仅当，即时取等号.
∴的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
5．（2020·天津·统考高考真题）已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.

三、解答题
6．（2020·山东·统考高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．

（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，从而得到平面；
（2）方法一：根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得的最大值，即为直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【详解】（1）证明：
在正方形中，，因为平面，平面，
所以平面，又因为平面，平面平面，
所以，因为在四棱锥中，底面是正方形，所以且平面，所以
因为，所以平面．
（2）［方法一］【最优解】：通性通法
因为两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示：

因为，设，
设，则有，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，所以平面的一个法向量为，则

根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于，当且仅当时取等号，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
［方法二］：定义法
如图2，因为平面，，所以平面．

在平面中，设．
在平面中，过P点作，交于F，连接．
因为平面平面，所以．
又由平面，平面，所以平面．又平面，所以．又由平面平面，所以平面，从而即为与平面所成角．
设，在中，易求．
由与相似，得，可得．
所以，当且仅当时等号成立．
［方法三］：等体积法
如图3，延长至G，使得，连接，，则，过G点作平面，交平面于M，连接，则即为所求．

设，在三棱锥中，．
在三棱锥中，．
由得，
解得，
当且仅当时等号成立．
在中，易求，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为．
【整体点评】（2）方法一：根据题意建立空间直角坐标系，直线PB与平面QCD所成角的正弦值即为平面的法向量与向量的夹角的余弦值的绝对值，即，再根据基本不等式即可求出，是本题的通性通法，也是最优解；
方法二：利用直线与平面所成角的定义，作出直线PB与平面QCD所成角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出；
方法三：巧妙利用，将线转移，再利用等体积法求得点面距，利用直线PB与平面QCD所成角的正弦值即为点面距与线段长度的比值的方法，即可求出．
7．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．

【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．

8．（2023·全国·统考高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
【答案】(1)
(2)见解析

【分析】（1）设，根据题意列出方程，化简即可；
（2）法一：设矩形的三个顶点，且，分别令，，且，利用放缩法得，设函数，利用导数求出其最小值，则得的最小值，再排除边界值即可.
法二：设直线的方程为，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即可.
法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明.
【详解】（1）设,则，两边同平方化简得，
故.
（2）法一：设矩形的三个顶点在上,且，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，
  
则,令，
同理令，且，则，
设矩形周长为,由对称性不妨设，，
则.，易知
则令,
令，解得，
当时，，此时单调递减，
当，，此时单调递增，
则，
故,即.
当时,,且，即时等号成立，矛盾，故,
得证.
法二：不妨设在上，且，
  
依题意可设，易知直线，的斜率均存在且不为0，
则设,的斜率分别为和，由对称性，不妨设，
直线的方程为，
则联立得，
，则
则，
同理，


令，则，设，
则，令，解得，
当时，，此时单调递减，
当，，此时单调递增，
则，
，
但，此处取等条件为，与最终取等时不一致，故.
法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动个单位得抛物线,
矩形变换为矩形,则问题等价于矩形的周长大于.
设 , 根据对称性不妨设 .
则 , 由于 , 则 .
由于 , 且 介于 之间,
则 . 令 ,
,则,从而

故
①当时,

②当 时,由于,从而,
从而又,
故,由此


，
当且仅当时等号成立，故，故矩形周长大于.
  .
【点睛】关键点睛：本题的第二个的关键是通过放缩得，同时为了简便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可.