初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角第3课时教案设计

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角第3课时教案设计，共6页。教案主要包含了复习引入，探索新知，巩固练习，应用拓展，归纳小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
24.1圆的有关性质第3课时教学内容1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．教学目标1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．3．关键：探究圆周角的定理的存在．教学过程    一、复习引入    （学生活动）请同学们口答下面两个问题．    1．什么叫圆心角？    2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？    老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．    （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等．    刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．    二、探索新知问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．    1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？    2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？    3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？    （学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．    老师点评：    1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．    2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．    3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．    下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”    （1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示    ∵∠AOC是△ABO的外角    ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO    ∵OA=OB    ∴∠ABO=∠BAO    ∴∠AOC=∠ABO    ∴∠ABC=∠AOC（2）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧，那么∠ABC=∠AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．    老师点评：连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．（3）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧，那么∠ABC=∠AOC吗？请同学们独立完成证明．    老师点评：连结OA、OC，连结BO并延长交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC    现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．    从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：    在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．    进一步，我们还可以得到下面的推导：    半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．    下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．   例1．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．    解：BD=CD    理由是：如图24-30，连接AD    ∵AB是⊙O的直径    ∴∠ADB=90°即AD⊥BC    又∵AC=AB    ∴BD=CD    三、巩固练习    1．教材  思考题．    2．教材  练习．    四、应用拓展例2．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A、∠B、∠C的对边分别设为a，b，c，⊙O半径为R，求证：===2R．    分析：要证明===2R，只要证明=2R，=2R，=2R，即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明显要在直角三角形中进行． 证明：连接CO并延长交⊙O于D，连接DB    ∵CD是直径    ∴∠DBC=90°    又∵∠A=∠D    在Rt△DBC中，sinD=，即2R=    同理可证：=2R，=2R    ∴===2R    五、归纳小结（学生归纳，老师点评）    本节课应掌握：    1．圆周角的概念；    2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所对的圆心角的一半；    3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．    4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题．    六、布置作业    1．教材   综合运用9、10、11  拓广探索12、13．2．选用课时作业设计．            第三课时作业设计    一、选择题    1．如图1，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（  ）．A．140°    B．110°    C．120°    D．130°           (1)                       (2)                       (3)    2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（  ）      A．∠4<∠1<∠2<∠3     B．∠4<∠1=∠3<∠2C．∠4<∠1<∠3∠2      D．∠4<∠1<∠3=∠2    3．如图3，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC等于（  ）．A．3     B．3+     C．5-    D．5    二、填空题    1．半径为2a的⊙O中，弦AB的长为2a，则弦AB所对的圆周角的度数是________．2．如图4，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．                   (4)                              (5)3．如图5，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=1，∠A=60°，则⊙O半径为_______．  三、综合提高题1．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB． 2．如图，已知AB=AC，∠APC=60°    （1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．     3．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．    （1）求证：AB为⊙C直径．    （2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．答案:    一、1．D  2．B  3．D    二、1．120°或60°  2．90°  3．三、1．  2．（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°，又，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形．（2）解：连结OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，设OD=x，则OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC=  3．（1）略  （2）4，（-2，2）