人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式课时作业

人教A版（2019）选择性必修第一册《2.3.1 两条直线的交点坐标》提升训练

一 、单选题（本大题共13小题，共65分）

1.（5分）已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是

A.  B.
C.  D.

2.（5分）直线与直线的交点在

A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

3.（5分）直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值范围为

A.  B.
C.  D.

4.（5分）在直线上到点距离最近的点的坐标是

A.  B.  C.  D.

5.（5分）过两直线和的交点且斜率为的直线方程为

A.  B.  C.  D.

6.（5分）已知直线经过两条直线：，：的交点，且直线的一个方向向量，则直线的方程是

A.  B.
C.  D.

7.（5分） 过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是

A.  B.
C.  D.

8.（5分）已知直线恒过定点，则点的坐标为

A.  B.  C.  D.

9.（5分）已知两点，，直线：与线段相交，则的取值范围是

A.  B.
C.  D.

10.（5分）若三条直线，，，交于一点，则的值为     ．

A.  B.  C.  D.

11.（5分）已知直线经过两条直线：，：的交点，且直线的一个方向向量，则直线的方程是

A.  B.
C.  D.

12.（5分）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是

A.  B.
C.  D.

13.（5分）直线所过定点的坐标为

A.  B.  C.  D.

二 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）直线：与直线：的交点坐标为______．

15.（5分）经过两条直线和的交点，且与直线平行的直线方程是_______.

16.（5分）已知，及直线若沿的方向延长线段与直线有交点不含点，则的取值范围是________.

17.（5分）斜率为，且过两条直线和交点的直线方程为 ______.

18.（5分）在平面直角坐标系中，已知定点，动直线与动直线相交于点，则的最大值为______.

三 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）已知直线相交于点

求交点的坐标；

直线，分别求过点且与直线平行和垂直的直线方程.

20.（12分）求经过两条直线：与：的交点，且垂直于直线：直线的方程．

21.（12分）已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线． 
求直线的方程；     
求直线与两坐标轴围成的三角形的面积．

22.（12分）已知过点的直线绕点按逆时针方向旋转角，得直线为，若继续按逆时针方向旋转角，得直线，求直线的方程．

23.（12分）过点的直线被两平行直线：与：所截线段的中点恰在直线上，求直线的方程．

答案和解析

1.【答案】C;

【解析】 
此题主要考查了两条直线的交点坐标，也考查了转化思想，难度较易，属于基础题．根据题意知、两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式，求出解集即可． 
 
解：根据题意，若直线：与线段相交，则、在直线的异侧或在直线上，则有， 
即，解得或， 
即的取值范围是， 
故选
 

2.【答案】B;

【解析】 
该题考查了直线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 
联立，解得，，即可得出结论． 
 
解：联立，解得，， 
交点在第二象限． 
故选：． 
 
 

 

3.【答案】A;

【解析】解：由题意可得，解得，， 
且， 
， 
故选： 
联立两个直线方程，解出交点坐标，横坐标大于零，纵坐标小于零，即可解出． 
此题主要考查了直线交点，不等式的解法，属于基础题．
 

4.【答案】A;

【解析】此题主要考查两直线的交点坐标，两直线垂直时斜率的关系，考查学生的逻辑推理与数学运算素养，属于基础题. 
求出过点且垂直于已知直线的直线方程，与题设直线方程联立求交点即可得结果. 
解：根据题意，可知所求点即过点且垂直于已知直线的直线与已知直线的交点. 
因为已知直线的斜率为， 
所以过点且垂直于已知直线的直线的斜率为， 
又，所以该直线的方程为，即 
与已知直线联立，得，解得， 
所以直线上到点距离最近的点的坐标是 
故选
 

5.【答案】C;

【解析】解：联立，解得，即交点， 
要求的直线方程为：，即， 
故选：． 
联立直线方程解得交点，利用点斜式即可得出． 
该题考查了直线方程的交点、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

6.【答案】C;

【解析】 
此题主要考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的交点、直线的方向向量的性质的合理运用． 
联立得，，直线过点，由直线的一个方向向量得到直线的斜率，由此能求出直线 的方程． 
 
解：联立，解得，， 
直线过点， 
直线 的一个方向向量， 
直线的斜率， 
则直线的方程是，即． 
故选：． 

 

7.【答案】D;

【解析】 
该题考查了直线的垂直关系．考查求直线方程问题，是一道基础题． 
求出交点的坐标，根据直线的垂直关系求出直线的斜率，从而求出直线方程即可． 
 
解：由题意得： 
， 
解得， 
直线的斜率是， 
故其垂线的斜率是：， 
所求方程是：， 
即， 
故选D． 
 

 

8.【答案】D;

【解析】解：将直线变形为， 
联立方程，解得，， 
所以直线恒过定点 
故选： 
将已知的直线方程进行化简变形得到，然后联立方程组，求解即可得到答案． 
此题主要考查了恒过定点的直线问题，解答该题的关键是掌握为什么就过定点，过定点的直线怎么求，属于基础题．
 

9.【答案】B;

【解析】解：直线：过定点， 
，， 
直线：与线段相交， 
直线：的斜率为， 
或，解得或 
的取值范围是 
故选： 
直线：过定点，求出，，由此利用直线：与线段相交，直线：的斜率为，能求出的取值范围． 
此题主要考查实数的取值范围的求法，考查直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

10.【答案】B;

【解析】 
该题考查了直线的交点、方程组的解法，属于基础题． 
联立，，解得，由于三条直线，，相交于一点，把点代入，即可解得的值． 
 
解：联立，， 
， 
解得， 
三条直线，，相交于一点， 
把点代入，可得， 
解得． 
故选：．
 

11.【答案】C;

【解析】

 
此题主要考查直线的点斜式方程和两直线的交点，属于基础题. 
先求直线和的交点，再求直线的斜率，最后写出直线的方程.

 
解：由题意，直线经过两条直线：，：的交点， 
解方程组，得，， 
所以两直线的交点为， 
即直线经过点，

因为直线的一个方向向量，所以直线的斜率，

所以直线的方程为，即 
故选

12.【答案】B;

【解析】 
该题考查直线方程的求解，涉及直线的交点和直线的垂直问题，属基础题． 
先解方程组求出交点，然后利用垂直得到斜率，然后求出方程即可． 
 
解：联立方程，解得，， 
故所求直线过点， 
由直线的斜率为， 
可知的斜率为， 
由点斜式方程可得：，即， 
故选B．
 

13.【答案】D;

【解析】解：直线，化为， 
联立方程组，解得，， 
所以直线经过的定点为 
故选： 
将直线变形为，求解两条直线的交点即可得到答案． 
此题主要考查了直线恒过定点问题，两条直线交点坐标的求解，解答该题的关键是将直线方程变形，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
 

14.【答案】（1，1）;

【解析】解：联立，得， 
直线：与：的交点坐标为． 
故答案是：． 
联立，能求出直线：与：的交点坐标． 
该题考查两直线的交点坐标的求法，考查直线方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
 

15.【答案】;

【解析】 
此题主要考查两直线的交点及两直线平行的条件，属于基础题． 
联立两直线方程求得交点，再由已知直线方程求出所求直线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案． 
 
解：联立，解得，  
直线和的交点为， 
又所求直线和直线平行， 
所求直线的斜率为， 
则所求直线的方程为，化为一般方程为 
故答案为
 

16.【答案】;

【解析】

此题主要考查恒过定点的直线系方程的应用，直线与直线的位置关系，考查数形结合与计算能力．

直线：是过点的直线系，斜率为参变数，画出图形，即可利用直线的斜率求出的范围．

解：直线：是过点的直线系，斜率为参变数，

易知，，的斜率分别为：，，

若与延长线相交，由图可知，

解得

故答案为

17.【答案】x+y+3=0;

【解析】解：联立直线和， 
解得，， 
所以两条直线和交点为， 
又直线的斜率为， 
所以所求直线的方程为，即 
故答案为： 
先求出两条直线的交点坐标，由直线方程的点斜式求解即可． 
此题主要考查了直线方程的求解，两条直线交点坐标的求解，直线点斜式方程的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
 

18.【答案】 
;

【解析】 
此题主要考查两直线交点坐标，直线的倾斜角与斜率，基出不等式求最值，有一定综合性，属于较难题目. 
 
解：由 解得 ，， 
则，设， 定点 
， 
不妨设， 
则，当且仅当时取等号， 
 
， 
故答案为
 

19.【答案】

解：联立两直线方程，得，解得， 
； 
，， 
与平行直线方程，即， 
与垂直直线方程，即;

【解析】

此题主要考查直线与直线 的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． 
联立方程，即可求交点的坐标； 
利用两直线平行和垂直的斜率关系，即可求出直线方程．
 

20.【答案】解：解方程组，得交点． 
又由，且，  
因为两直线垂直得斜率乘积为，  
得到，  
直线的方程为，即．;

【解析】 
联立两个直线解析式先求出和的交点坐标，然后利用直线与直线垂直，根据斜率乘积为得到直线的斜率，写出直线方程即可．  
考查学生求两条直线交点坐标的方法，会利用两直线垂直时斜率乘积等于解题的能力，会根据一个点和斜率写出直线一般式方程．属于基础题．
 

21.【答案】解：由 
解得，由于点的坐标是 
则所求直线与垂直，可设直线的方程为． 
把点的坐标代入得，即． 
所求直线的方程为即． 
由直线的方程知它在轴，轴上的截距分别是，， 
所以直线与两坐标轴围成三角形的面积．;

【解析】该题考查直线的一般式方程的求法，属于基础题． 
联立两直线方程得到方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据直线与垂直，利用两直线垂直时斜率乘积为，可设出直线的方程，把代入即可得到直线的方程； 
分别令和求出直线与轴和轴的截距，然后根据三角形的面积公式，即可求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 
 

 

22.【答案】解：由得P（1，-1） 
据题意，直线l与直线2x+y-1=0垂直， 
故l斜率 
∴直线l方程为 ， 
即x-2y-3=0．;

【解析】 
联立两直线的方程求出的坐标，根据题意判断出直线与直线垂直，求出的斜率，利用直线的点斜式写出直线的方程． 
该题考查两直线交点的求法、直线垂直斜率的关系及直线的点斜式形式，属于基础题．
 

23.【答案】解：设线段AB的中点坐标为M（a，b），  
由M（a，b）到两平行直线L1：2x-y+2=0与L2：2x-y-3=0的距离相等，  
得：，  
整理，得4a-2b-1=0，  
又∵M（a，b）在直线2x-4y+13=0上，  
∴2a-4b+13=0，  
解方程组，得a=，b=，  
又直线L过点（2，4），  
∴直线L的方程为，整理，得x-y+2=0．  
∴直线L的方程为x-y+2=0．;

【解析】 
设线段的中点坐标为，则，由在直线上，得， 
由此得，，又直线过点，从而能求出直线的方程． 
此题主要考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．