福建省南安市华侨中学2023-2024学年高二上学期8月月考数学试题

这是一份福建省南安市华侨中学2023-2024学年高二上学期8月月考数学试题，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
华侨中学2025届高二年第一次质检数学学科试题一、单选题1．如图，在三棱锥中，分别为线段的中点，则下列说法正确的是（    ）A．    B．    C．    D．2．已知是不共线的向量，，当且仅当下列何种条件成立时，三点共线？（    ）A．     B．    C．     D．3．设是空间两条不同的直线，是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若，则；    ②若，则；③若，则；    ④若，则．其中正确的是（    ）A．①②    B．②③    C．②④    D．②④4．在正四面体中，点分别为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ）A．    B．    C．    D．5．已知点是边长为1的等边三角形的中心，则等于（    ）A．    B．    C．    D．6．已知长方体中，，点为中点，设平面，则线段长度为（    ）A．     B．    C．    D．57．在三棱锥中，．若与面所成角的最大值为，则的值为（    ）A．    B．    C．    D．8．已知点是所在平面内点，有下列四个等式：甲：；    乙：；丙：；    丁：．如果只有一个等式不成立，则该等式为（    ）A．甲    B．乙    C．丙    D．丁二、多选题9．下面四个结论正确的是（    ）A．已知向量，若，则B．若空间四个点，则三点共线C．己知向量，若为钝角，则且D．已知为非零向量，满足，则向量共线10．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（    ）A．                        B．C．与为相交直线或异面直线    D．在向量上的投影向量为11．在直三棱柱中，分别是的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（    ）A．平面B．若是上的中点，则C．直线与平面所成角的正弦值为D．直线与直线所成角最小时，线段长为12．如图，正方体的棱长为4，是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且，则下列结论正确的有（    ）A．平面被正方体截得截面为三角形B．若，直线C．若在上，的最小值为D．若，点的轨迹长度为三、填空题13．已知，则点到直线的距离为____________________．14．如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，是的中点，在上，且，则向量与向量所成角的余弦值为____________________________．15．三棱锥的顶点都在球的表面上，线段是球的直径，，则球的表面积为_________________________________________________________．16．己知平面向量，且满足，若为平面单位向量，则的最大值为_____．四、解答题17．如图，在中，，角平分线，求此三角形面积．18．如图，平面．（1）求证：平面；（2）若二面角的余弦值为，求线段的长．19．如图，在三棱柱中，侧面底面和都是边长为2的正三角形．（1）过作出三棱柱的截面，使截面垂直于，并证明；（2）求与平面所成角的正弦值．20．如图，在正方体中，为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；21．如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为．（1）证明：平面；（2）已知为上的点且，，求与平面所成；22．如图，四边形为梯形，，点在线段上，且．现将沿翻折到的位置，使得．（1）证明：；（2）点是线段上的一点（不包含端点），是香存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，则求出；若不存在，请说明理由．保密★启用前华侨中学2025届高二年第一次质检数学学科参考答案一、单选题  1~8  C D C A    D C C B二、多选题  9~12  ABC  BC  ACD  CD三、填空题  13．     14．    15．     16．四、解答题17．解：设，是的角平分线，．设，则．在与中，分别利用余弦定理可得：，．，解得：．，．∴此三角形的面积为：．18．解：（1）依题意，是平面的一个法向量，又，可得，则，又因为直线平面，所以平面．（2）设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得．由题意，有，解得．经检验，符合题意．所以，线段的长为．19．解：（1）设中点为，连，则截面为所求，分别为的中线，所以，又为平面内的两条相交直线，所以平面，（2）以为原点，方向为轴方向建立如图所示的空间直角坐标系，易求得，设平面的一个法向量为，由，取，则，解得平面的一个法向量为，，所以与平面所成角的正弦值为．20．解：（1），且，∴四边形为平行四边形，，平面平面，平面．（2）以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，设平面的一个法向量为，则，令，则，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为．21．解：（1）过在平面内作直线，由，可得，即为平面和平面的交线，平面平面，又，平面，设平面中有任一直线，则直线，直线，所以由线面垂直的定义得平面；（2）由（1）得如图，以为坐标原点，直线所在的直线为轴，建立空间直角坐标系则，设，所以，设平面的法向量为，则，所以，取，可得，所以，所以与平面所成角的正弦值为，因为，当且仅当，即时取等号，所以，即与平面所成角的正弦值的最大值为．22．解：（1）证明：因为四边形为梯形．，，所以，即，在中，过作，垂足为，连接．在中，，所以．在中，，由余弦定理得，所以，所以，所以，即．又平面，所以平面．又平面，所以．（2）在中，．又平面平面．又平面．又平面平面．以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，所以．设，则．设平面的一个法向量为，则，即，令，则．设平面的一个法向量为，则，即令，则．因为二面角的余弦值为，所以，解得或（舍），所以存在点，使得二面角的余弦值为，此时．