广西贵港市名校2023-2024学年高二上学期入学联考数学试题
展开2023年秋季高二年级入学检测卷
数学
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容:北师大版必修第一、二册,选择性必修第一册第一章。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若复数,则z的实部为( )
A.13 B.11 C.-1 D.1
2.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
3.某学校为了解学生对乒乓球、羽毛球运动的喜爱程度,用按比例分配的分层随机抽样法从高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查,已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示,若抽取的样本中高三年级的学生有45人,则样本容量为( )
A.125 B.100 C.150 D.120
4.要得到函数的图象,需将函数的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度
5.在,,这3个函数中,奇函数的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为,,母线长为2,则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知向量,,则“,的夹角为锐角”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.若直线的倾斜角为,直线的倾斜角为,则( )
A. B.5 C. D.
二、选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知向量,,,,则( )
A. B.
C. D.在上的投影向量为
10.已知直线是函数图象的一条对称轴,则( )
A. B.的图象关于点对称
C.的图象关于直线对称 D.在上单调递减
11.已知一个正八面体ABCEDF如图所示,,则( )
A.平面ADF B.点D到平面AFCE的距离为1
C.异面直线AE与BF所成的角为45° D.四棱锥外接球的表面积为
12.一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛中心为圆心、半径为20km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西25km处,为确保轮船没有触礁危险,则该轮船的行驶路线可以是( )
A.南偏西45°方向 B.南偏西30°方向
C.北偏西30°方向 D.北偏西25°方向
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.若直线与直线垂直,则________.
14.已知圆C:的半径为3,则________.
15.的最小值为________.
16.已知函数若从集合中随机选取一个元素m,则函数恰有7个零点的概率是________.
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.
17.(10分)
已知△ABC的三个顶点为,,,D为BC的中点,AD所在的直线为l.
(1)求l的一般式方程;
(2)若直线经过点B,且,求在y轴上的截距.
18.(12分)
小晟统计了他6月份的手机通话明细清单,发现自己该月共通话100次,小晟将这100次通话的通话时间(单位:分钟)按照,,,,,分成6组,画出的频率分布直方图如图所示.
(1)求a的值;
(2)求通话时间在区间内的通话次数;
(3)试估计小晟这100次通话的平均时间(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
19.(12分)
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.
(1)求A;
(2)若,求△ABC周长的取值范围.
20.(12分)
投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏.假设甲、乙、丙、丁是四位投壶游戏参与者,且甲、乙、丙每次投壶时,投中与不投中的机会是均等的,丁每次投壶时,投中的概率为.甲、乙、丙、丁每人每次投壶是否投中相互独立,互不影响.
(1)若甲、乙、丙、丁每人各投壶1次,求只有一人投中的概率;
(2)甲、丁进行投壶比赛,若甲、丁每人各投壶2次,投中次数多者获胜,求丁获胜的概率.
21.(12分)
已知大气压强p(帕)随高度h(米)的变化满足关系式,是海平面大气压强.
(1)世界上有14座海拔8000米以上的高峰,喜马拉雅承包了10座,设在海拔4000米处的大气压强为,求在海拔8000米处的大气压强(结果用和表示).
(2)我国陆地地势可划分为三级阶梯,其平均海拔如下表:
| 平均海拔/米 |
第一级阶梯 | |
第二级阶梯 | 1000~2000 |
第三级阶梯 | 200~1000 |
若用平均海拔的范围直接代表海拔的范围,设在第二级阶梯某处的压强为,在第三级阶梯某处的压强为,,证明:.
22.(12分)
如图,在四棱锥中,,,,,平面ABCD,E,F分别为PD,BC的中点.
(1)证明:平面平面PCD.
(2)设PC与平面AEF交于点Q,作出点Q(说明作法),并求PQ的长.
2023年秋季高二年级入学检测卷
数学参考答案
1.A
因为,所以z的实部为13.
2.B
因为,,所以.
3.A
由图可知高三年级学生人数占总人数的36%,抽取的样本中高三年级的学生有45人,则样本容量为.
4.B
将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象.
5.D
因为,,这3个函数均为奇函数,所以奇函数的个数为3.
6.C
因为圆台的上底面和下底面的面积分别为,,所以该圆台上底面和下底面的半径分别为,,所以该圆台的高为,故该圆台的体积.
7.A
若,的夹角为锐角,则且,不同向,可得且,故“,的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件.
8.D
依题意可得,则,,故.
9.AC
,A正确.因为,所以,则,所以,B错误.因为,所以,C正确.在上的投影向量为,D错误.
10.BCD
因为直线是图象的一条对称轴,所以,.又,所以.A不正确.当时,,所以的图象关于点对称.B正确.因为,所以C正确.当时,,单调递减.D正确.
11.ABD
将正八面体ABCEDF置于一个正方体中,如图所示,该正八面体的顶点为正方体六个面的中心,由图可知,,因为平面ADF,平面ADF,所以平面ADF,A正确.连接BD(图略).由图可知,点D到平面AFCE的距离为,B正确.
由图可知,,则直线AE与BF所成角即CF与BF所成角,因为△BCF为正三角形,所以,C错误.
四棱锥外接球的球心为正方形ABCD的中心,所以外接球的半径为1,故四棱锥外接球的表面积为,D正确.
12.BCD
如图,以小岛的中心为原点O,东西方向为x轴,1km为单位长度,建立如图所示的直角坐标系,则轮船所在的位置为,受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为,设轮船航线所在直线的方程为,即,
由,得或.因为,所以该轮船的行驶路线可以是南偏西30°方向,北偏西30°方向,北偏西25°方向.
13.-12
因为直线与直线垂直,所以,解得.
14.-4
将圆C的方程转化为,因为圆C的半径为3,所以,即.
15.1
,当且仅当,
即时,等号成立,所以,故的最小值为1.
16.
由,得,0,4,当时,的最小值为-4.
由,得,0,4,即,m,,因为,
所以.而,当时,方程,,的实数解的个数分别为3,3,2;当时,方程,,的实数解的个数分别为3,2,2;当时,方程,,的实数解的个数均为2.所以当时,函数恰有7个零点,故所求概率为.
17.解:(1)由题意得,……1分
则l的方程为,……3分
即.……5分
(2)设的方程为,……6分
将代入,得,即,……8分
所以在y轴上的截距为3.……10分
18.解:(1)由,……2分
得.……4分
(2)因为通话时间在区间内的频率为,……6分
所以通话时间在区间内的通话次数为.……8分
(3)这100次通话的平均时间的估计值为分钟.……12分
19.解:(1)因为,所以.……1分
又,……3分
所以.……4分
因为,所以.……5分
又,所以.……6分
(2)由(1)可知,,所以.……7分
由,得,则,……8分
则.……9分
因为,所以,,……10分
则,故△ABC周长的取值范围为.……12分
20.解:设甲、乙、丙、丁各自在一次投壶中投中分别记为事件A,B,C,D,
则,.……1分
(1)设只有一人投中为事件E,则
……3分
.……6分
(2)若甲投中0次,则丁至少投中1次;若甲投中1次,则丁投中2次.……8分
设丁获胜为事件M,则.……12分
21.(1)解:设在海拔8000米处的大气压强为,
……2分
所以,解得.……5分
(2)证明:设在第二级阶梯某处的海拔为,在第三级阶梯某处的海拔为,
则……6分
两式相减可得.……8分
因为,,所以,……9分
则,……10分
即,……11分
故.……12分
22.(1)证明:因为,E为PD的中点,所以.……1分
又因为平面ABCD,平面ABCD,所以,……2分
因为,,所以,,……3分
所以平面PAD,则,……4分
又,所以平面PCD.……5分
因为平面AEF,所以平面平面PCD.……6分
(2)解:如图所示,延长AF与CD并交于点M,连接EM,则EM与PC的交点即点Q.……7分
……9分
过E作交PC于T,因为,所以,根据相似可得,则,过Q作交CD于R,根据相似可得,……10分
因为,所以.……12分
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