河北省保定市部分高中2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题

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新高二年级开学考数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册，选择性必修第一册第一章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，则z的虚部为（    ）．A．1 B． C． D．72．已知向量，，若，则（    ）．A． B．4 C． D．13．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（    ）．A． B． C． D．34．下列说法正确的是（    ）．A．若一条直线与一个平面有公共点，则这条直线在该平面内B．若平面外一条直线有两个点到该平面的距离相等，则这条直线与该平面平行C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行D，垂直于同一条直线的两个平面互相平行5．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ）．A．，，     B．，，C．，，     D．，，6．已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为，，母线长为2，则该圆台的体积为（    ）．A． B． C． D．7．如图，，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（    ）．A． B． C． D．8．正方体的棱长为2，P是空间内的动点，且，则的最小值为（    ）．A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在空间直角坐标系中，已知，，，则（    ）．A．点A关于平面对称的点是B．点B关于x轴对称的点是C．D．10．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．某地8月1日到10日的PM2.5日均值（单位：）分别为36，32，38，34，32，88，42，36，30，32，则关于这10天中PM2.5日均值的说法正确的是（    ）．A．众数为32  B．第80百分位数是38C．平均数是40  D．前4天的方差比后4天的方差小11．已知甲盒中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙盒中有五个相同的小球，标号为3，4，5，6，7．现从甲、乙两盒中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号相同”，事件B＝“抽取的两个小球标号之和为奇数”，事件C＝“抽取的两个小球标号之和大于8”，则（    ）．A．事件A与事件B是互斥事件     B．事件A与事件B是对立事件C．     D．12．如图，在菱形中，，，将沿直线翻折成（P不在平面内），则（    ）．A．B．点B到直线的距离为定值C．当与所成的角为时，二面角的余弦值为D．当与平面所成的角最大时，三棱锥外接球的表面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．在中，，，，则__________．14．在空间直角坐标系中，，，，，若四边形为平行四边形，则__________．15．已知空间中有三点，，，则直线与的夹角的余弦值为__________；点A到直线的距离为__________．．（本题第一空2分，第二空3分）16．已知复数z满足，为z的共轭复数，则的最大值为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在底面为菱形的四棱锥中，底面，F为的中点，且，．以B为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出A，B，D，E四点的坐标；（2）求．18．（12分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．（1）求；（2）若，求的面积．19．（12分）为了解网民对某专辑的满意度，某机构从网络上随机选取了1000名网民进行问卷调查，并将问卷中的这1000人根据其满意度评分值（百分制，满意度评分值均在内）分成，，，，5组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值，并求出满意度评分值的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）；（2）用分层抽样的方法从满意度评分值在，内的网民中抽出6人，再从这6人中随机抽取3人进行专访，求抽到的3人满意度评分值均在内的概率．20．（12分）如图1，在直角梯形中，，，，，A，B分别为，的中点．将直角梯形沿，，折起，使得，，重合于点P，得到如图2所示的三棱锥．图1         图2（1）证明：．（2）求点B到平面的距离．21．（12分）投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏．假设甲、乙、丙、丁是四位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中的机会是均等的，丁每次投壶时，投中的慨率为．甲、乙、丙、丁每人每次投壶是否投中相互独立，互不影响．（1）若甲、乙、丙、丁每人各投壶1次，求只有一人投中的概率；（2）甲、丁进行投壶比赛，若甲、丁每人各投壶2次，投中次数多者获胜，求丁获胜的概率．22．（12分）如图，在直四棱柱中，底面是菱形，，E为棱上一点，F为的中点．（1）若E为棱的中点，证明：．（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．  新高二年级开学考数学参考答案1．B   因为，所以z的虚部为．2．D   因为，所以，解得．3．A因为，所以．设外接圆的半径为R，因为，所以．4．D若一条直线与一个平面有公共点，则这条直线在该平面内或与该平面相交，A不正确．若平面外一条直线有两个点到该平面的距离相等，则这条直线与该平面平行或与该平面相交，B不正确．垂直于同一条直线的两条直线可能平行，异面或相交，C不正确．垂直于同一条直线的两个平面互相平行，D正确．5．C   因为，所以，，共面．6．C因为圆台的上底面和下底面的面积分别为，，所以该圆台上底面和下底面的半径分别为，，所以该圆台的高为，故该圆台的体积．7．C如图，取在下底面的投影C，作，垂足为D．连接，，，则，在上的投影向量是．设上底面的半径为r，则，．故在上的投影向量是．8．C取的中点M，连接（图略），则，则，即，故动点P的轨迹为以M为球心，为半径的球．由正方体的棱长为2，可知正方体外接球的半径为3，即动点P的轨迹为正方体的外接球．取的中点N，连接（图略），则．由题可知，，则，，则．9．ACD点A关于平面对称的点是，A正确．点B关于x轴对称的点是，B不正确．，，，，，D均正确．10．ACD这10天PM2.5日均值（单位：）从小到大为30，32，32，32，34，36，36，38，42，88，所以众数为32，故A正确；因为第80百分位数为，所以B错误；因为平均数为，所以C正确；因为前4天的均值为，所以前4天的方差为，因为后4天的均值为，所以后4天的方差为，故D正确．11．AC事件A的所有基本事件为甲3乙3，甲4乙4，甲5乙5，共3个；事件B的所有基本事件为甲1乙4，甲1乙6，甲2乙3，甲2乙5，甲2乙7，甲3乙4，甲3乙6，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙6，共12个；事件C的所有基本事件为甲2乙7，甲3乙6，甲3乙7，甲4乙5，甲4乙6，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙5，甲5乙6，甲5乙7，共10个．从甲、乙两盒中各取1个小球共有25个基本事件．因为事件A与事件B不可能同时发生，所以事件A与事件B互斥，故A正确；因为，，，所以B错误；因为事件的所有基本事件共有12个，所以，所以，故C正确；因为事件的所有基本事件共有6个，所以，所以，故D错误．12．AD连接交于点O，连接，则，．因为，且，均在平面内，所以平面．因为平面，所以，故A正确．在中，，为变量，所以点B到直线的距离不为定值，故B错误．连接（图略）．因为，所以与所成的角为，当时（当时，点P与点C重合，舍去），．易知二面角的平面角为．在中，由余弦定理得．因为二面角的平面角为，所以二面角的余弦值为，故C错误．因为与平面所成的角最大，即点P到平面的距离最大，所以平面平面．如图，设M为三棱锥外接球的球心，N为外接圆的圆心，连接，．设外接球的半径为R，易知，，所以，所以三棱锥外接球的表面积为，故D正确．13．   ．14．，，因为四边形为平行四边形，所以，所以，，则．15．；因为，，所以．所以直线与的夹角的余弦值为．因为，，所以．因为，所以点A到直线的距离为．16．18设，则的几何意义为z在复平面内所对应的点到的距离为，所以z所对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而可看作该圆上的点到原点的距离的平方，所以．17．解：（1）依题意可得为正三角形，因为，所以，（1分）所以，，，．（5分）（2）因为，，（7分）所以．（10分）18．解：（1）因为，，所以．（2分）因为，所以，（3分）则，即，（4分）所以．（5分）（2），，．（8分）由，，可得，．（10分）．（12分）19．解：（1）由，解得．（2分）满意度评分值的平均数．（4分）设满意度评分值的中位数为x，则，，解得，即满意度评分值的中位数为75．（6分）（2）这1000名网民中，满意度评分值在内的有人，满意度评分值在内的有人．（7分）抽取的6人中满意度评分值在内的有2人，记这2人分别为A，B，满意度评分值在内的有4人，记这4人分别为a，b，c，d，（8分）从6人中随机抽取3人的情况为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种．（10分）其中3人满意度评分值均在内的情况为，，，，共4种，（11分）所以抽到的3人满意度评分值均在内的概率为．（12分）20．（1）证明：在图1中，，，所以在图2中，，．（2分）因为，所以平面（3分）又平面，所以．（5分）（2）解：在图1中，由题可知，．由，得，．（6分）在图2中，，，，，所以，（8分）所以．（9分），（10分）设点B到平面的距离为d，由，得，（11分）解得，即点B到平面的距离为．（12分）21．解：设甲、乙、丙、丁各自在一次投壶中投中分别记为事件A，B，C，D，则，．（1分）（1）设只有一人投中为事件E，则，（3分）．（6分）（2）若甲投中0次，则丁至少投中1次；若甲投中1次，则丁投中2次．（8分）设丁获胜为事件M，则．（12分）22．（1）证明：连接，，，．在中，E，F分别为，的中点，所以为的中位线，所以．（1分）因为平面，平面，所以．因为为菱形，所以．因为，且，均在平面，所以平面．（3分）因为平面，所以，所以．（4分）（2）解：在菱形中，，所以．如图，以D为坐标原点，以，的方向分别为y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，．设，（5分）设平面的法向量为，则，令，得．（6分）在中，，，可得．点E到平面的距离．（8分）因为三棱锥的体积为，所以，所以．（9分）设平面的法向量为，则，令，得，（10分）所以，所以平面与平面夹角的余弦值为．（12分）