江苏省南通市海安高级中学2023-2024学年高三上学期阶段测试(一)数学试题
展开高三阶段性测试(一)
数 学
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2. 命题“,”的否定为( )
A. , B. ,
C. , D. ,
3. 已知复数,(为虚数单位),在复平面上对应的点分别为A,B,C.若四边形OABC为平行四边形(O为复平面的坐标原点),则复数为( )
A. B. C. D.
4. 设,均为锐角,则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 南沿江高铁即将开通,某小区居民前往高铁站有①,②两条路线可走,路线①穿过市区路程较短但交通拥挤,经测算所需时间(单位:分钟)服从正态分布;路线②骑共享单车到地铁站,乘地铁前往,路程长,但意外阻塞较少,经测算所需时间(单位:分钟)服从正态分布.该小区的甲、乙两人分别有70分钟与64分钟可用,要使两人按时到达车站的可能性更大,则甲、乙选择的路线分别为( )
A. ①、① B. ①、② C. ②、② D. ②、①
6. 若函数的值域为,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 设常数a使方程在区间上恰有五个解,则( )
A. B. C. D.
8. 若函数有三个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,至少有两项是符合题目要求的.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 若,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10. 已知与均为单位向量,其夹角为,则( )
A. B.
C. D.
11. 已知定义在上的奇函数图象连续不断,且满足,则下列结论正确的是( )
A. 函数的周期 B.
C. 在上有4个零点 D. 是函数图象的一个对称中心
12. 已知数列,的项数均为k(k为确定的正整数,),若,,则( )
A. B. 中可以有项为1
C. 可能是以为公比的等比数列 D. 可能是以2为公比的等比数列
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 某班共有30名学生,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______.
14. 已知函数.不论a为何值,曲线均存在一条固定的切线,则这条切线的方程是______.
15. 若,,且,则的最小值为______.
16. 写出一个同时满足下列三个性质的函数______.
①是奇函数;②在单调递增;③有且仅有3个零点.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(根据生产条件要求,x满足),每小时可获得的利润是元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围;
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.
18.(本小题满分12分)
已知在中,角A,B,C的对边为a,b,c,向量,,.
(1)求角C;
(2)若,试求的值.
19.(本小题满分12分)
已知等差数列前三项的和为-3,前三项的积为8.
(1)求的通项公式;
(2)若,,成等比数列,求数列的前n项和.
20.(本小题满分12分)
如图,直三棱柱中,,,,D为AB中点,E为上一点,且.
(1)当时,求证:平面;
(2)若直线CE与平面所成的角为,求的值.
21.(本小题满分12分)
若函数为定义域D上单调函数,且存在区间(其中),使得当时,的取值范围恰为,则称函数是D上的正函数,区间叫做等域区间.
(1)是否存在实数m,使得函数是上的正函数?若存在,请求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
(2)若,且不等式的解集恰为,求函数的解析式.并判断是否为函数的等域区间.
22.(本小题满分12分)
设函数(其中常数,且).
(1)若常数,当时,解关于x的方程;
(2)若函数在上存在最小值,且最小值是一个与a无关的常数,求实数a的取值范围.
江苏省海安高级中学2024届高三阶段性测试一
数学答案
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. A 2. C 3. A 4. C 5. D 6. B 7. C 8. D
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,至少有两项是符合题目要求的,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. ACD 10. ABD 11. ABD 12. BC
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 12 14. 15. 16. (答案不唯一)
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
解析:(1)根据题意,,即,……2分
解得:(负舍),……3分
又,所以.……5分
(2)设利润为y元,则,……7分
,
所以当时,利润取最大值457500元.……10分
18.(本小题满分12分)
解析:(1)由,得,……2分
所以,,
即或,……4分
因为,所以.……6分
(2)因为,且,
所以
……8分
.……12分
19.(本小题满分12分)
解析:(1)设等差数列的公差为d,则,,
因为,
解得或.……3分
所以,或.
即,或.……5分
(2)当时,,,分别为-1,-4,2,不成等比数列,
当时,,,分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.
故.……7分
记数列的前n项和为.
当时,;当时,;……9分
当时,
.……11分
当时,满足此式.
综上,.……12分
20.(本小题满分12分)
解析:(1)建立空间直角坐标系如图所示,
则,,,,,,,
因为,所以,故,……2分
又,,
所以,,……4分
又因为,
所以平面;……6分
(2)由题知,,,
所以,
所以平面的一个法向量为……8分
由,
即,……10分
解得.……12分
21.(本小题满分12分)
解析:(1)因为函数是上的减函数,
所以当时,,即.……2分
两式相减得,即,
代入得,
由,且得,
故关于a的方程在区间内有实数解,……4分
记,
则,解得.……6分
(2)由不等式的解集恰为,且为二次函数,
得,且.
所以,①,②将代入①,
得.又,a,,
从而或.所以或.……8分
当时,,.……9分
当时,,所以不是的等域区间.……10分
当时,,.……11分
当时,,所以不是的等域区间.……12分
22.(本小题满分12分)
解析:(1).
(i)当时,.
因为,由,得,……2分
(ii)当时,.由得,
所以.解得.
当时,,……4分
所以,
故当时,方程有两解和.……5分
(2)(i)若,当时,;
当时,.令,
则,在上单调递减,
所以当,即时取得最小值为3.
当时,取得最大值为.
此时在上的值域是,没有最小值.……7分
(ii)若,当时,;
当时.令,,则.
①若,在上单调递减,
所以当即时取最小值,最小值与a有关;……9分
②,在上单调递减,在上单调递增,
所以当即时取最小值,最小值与a无关.
综上,当时,在上的最小值与a无关.……12分
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