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十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（文科）专题15解析几何选择题（文科）（Word版附解析）
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这是一份十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（文科）专题15解析几何选择题（文科）（Word版附解析），共35页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc142991456" 题型一： 直线的方程 PAGEREF _Tc142991456 \h 1
\l "_Tc142991457" 题型二： 圆的方程 PAGEREF _Tc142991457 \h 3
\l "_Tc142991458" 题型三： 直线和圆的综合问题 PAGEREF _Tc142991458 \h 5
\l "_Tc142991459" 题型四： 椭圆 PAGEREF _Tc142991459 \h 8
\l "_Tc142991460" 题型五： 双曲线 PAGEREF _Tc142991460 \h 15
\l "_Tc142991462" 题型六： 抛物线 PAGEREF _Tc142991462 \h 29
\l "_Tc142991466" 题型七：圆锥曲线的综合问题 PAGEREF _Tc142991466 \h 32
题型一： 直线的方程
一、选择题
1．(2020年高考课标Ⅲ卷文科·第8题)点(0，﹣1)到直线距离的最大值为( )
A．1B．C．D．2
【答案】B
【解析】由可知直线过定点，设，
当直线与垂直时，点到直线距离最大，
即为．
故选：B．
2．(2014高考数学四川文科·第9题)设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是( )
A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]
【答案】B
解析:由题意可知，定点，且两条直线互相垂直，
则其交点落在以为直径的圆周上，
所以，即|
又＝≤＝，
所以，故选B．
3．(2014高考数学上海文科·第18题)已知与是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是( )．
A．无论、、如何，总是无解B．无论、、如何，总有唯一解
C．存在、、，使之恰有两解D．存在、、，使之有无穷多解
【答案】B
解析：易得原点不在直线上，所以不在同一直线上，故向量与向量不平行，所以，方程组有唯一解，故选B．
4．(2014高考数学福建文科·第6题)已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：由题意可得所求直线过点,斜率为1,故所求直线为,即．
5．(2016高考数学北京文科·第7题)已知．若点在线段上，则的最大值为( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：由题意得，AB：，
∴，当时等号成立，即的最大值为7，故选C．
6．(2014高考数学福建文科·第12题)在平面直角坐标系中，两点间的“L-距离”定义为则平面内与x轴上两个不同的定点的“L-距离”之和等于定值(大于)的点的轨迹可以是( )
【答案】A
解析：设,再设动点,动点到定点的“L-距离”的距离之和等于,由题意可得,即．
当时,方程化为;
当时,方程化为;
当时,方程化为;
当时,方程化为;
当时,方程化为;
当时,方程化为．
结合题目中给出的四个选项可知,选项A中的图象符合要求．
题型二： 圆的方程
一、选择题
1．(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第8题)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为．
由题意可得，可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为．
故选：B．
2．(2020北京高考·第5题)已知半径为的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为( )．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设圆心，则，化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，故选：A．
3．(2014高考数学课标2文科·第12题)设点，若在圆O：上存在点N，使得，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：如图
因为圆O关于直线对称，若存在点，则圆上还存在一点，点与点关于直线对称，且。所以。先考虑临界状态，当的坐标为时，的坐标是，。当时，如图，，，，与圆不相交，找不到符合条件的点。根据对称性，。
4．(2014高考数学湖南文科·第6题)若圆与圆外切，则( )
A．21B．19C．9D．-11
【答案】C
解析：由已知两圆的圆心分别为，，半径分别为，，则由解得，故选C
5．(2014高考数学北京文科·第7题)已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则的最大值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：圆C：的圆心，半径为，
∵圆心C到的距离为，
∴圆C上的点到点O的距离的最大值为．
再由，以A为直径的圆和圆C有交点，可得，故有，
故选：B．
x
C
y
O
6．(2015高考数学新课标2文科·第7题)已知三点,则△外接圆的圆心到原点的距离为( )
【答案】B
解析：△外接圆圆心在直线BC垂直平分线上即直线上,设圆心D,由DA=DB得 ,所以圆心到原点的距离． 故选B．
7．(2015高考数学北京文科·第2题)圆心为且过原点的圆的方程是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
解析：由题意可得圆的半径为，则圆的标准方程为，故选D．
题型三： 直线和圆的综合问题
一、选择题
1．(2020年高考课标Ⅰ卷文科·第6题)已知圆，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，
设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时
根据弦长公式得最小值为．
故选：B．
2．(2022高考北京卷·第3题)若直线是圆的一条对称轴，则( )
A．B．C．1D．
【答案】A
解析:由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选,A．
3．(2021高考北京·第9题)已知直线(为常数)与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：由题可得圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离，
则弦长为，
则当时，弦长取得最小值为，解得．
故选：C．
4．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(文)·第8题)直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：由直线得，∴，圆的圆心为，∴圆心到直线的距离为，∴点到直线的距离的取值范围为，即，∴． 故选A．
8．(2014高考数学浙江文科·第5题)已知圆截直线所得弦的长度为，则实数的值是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析:由圆的方程可得，圆心为，半径，圆心到直线的距离为．由得，所以．故选B．
5．(2014高考数学安徽文科·第6题)过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：设直线，即，由题知：圆心到直线的距离，解得，所以直线的倾斜角的取值范围是，故选D．
6．(2015高考数学安徽文科·第8题)直线与圆相切，则( )
A．-2或12B．2或-12C．-2或-12D．2或12
【答案】D
解析：∵直线与圆心为(1,1),半径为1的圆相切，∴＝1或12,故选D．
7．(2016高考数学山东文科·第7题)已知圆：截直线所得线段的长度是，则圆与圆：的位置关系是( )
A．内切B．相交C．外切D．相离
【答案】B
解析：由()得()，所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以，解得，圆的圆心为，半径为，所以，，，因为，所以圆与圆相交，故选B．
8．(2016高考数学课标Ⅱ卷文科·第6题)圆的圆心到直线的距离为1，则( )．
A．−B．−C．D．2
【答案】A
【解析】 圆心为，半径，所以，解得，故选A．
9．(2016高考数学北京文科·第5题)圆的圆心到直线的距离为( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：圆心坐标为 ,由点到直线的距离公式可知 ,故选C．
题型四： 椭圆
一、选择题
1．(2015高考数学浙江文科·第7题)如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是( )
A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支
【答案】C
解析：由题可知，当点运动时，在空间中，满足条件的绕旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成角的平面截圆锥，所得图形为椭圆．故选C．
2．(2023年全国甲卷文科·第7题)设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则( )
A．1B．2C．4D．5
【答案】B
解析：方法一：因为，所以，
从而，所以．故选：B．
方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．故选：B．
3．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第5题)设椭圆的离心率分别为．若，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：由，得，因此，而，所以．故选：A
4．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第5题)已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A．B两点，若面积是面积的2倍，则( )．
A．B．C．D．
【答案】C
解析：将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，，解得或(舍去)，故选：C．
5．(2021年新高考Ⅰ卷·第5题)已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为( )
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
解析:由题，，则，
所以(当且仅当时，等号成立)．故选：C．
6．(2021年全国高考乙卷文科·第11题)设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为( )
A．B．C．D．2
【答案】A
解析：设点，因为，，所以
，
而，所以当时，的最大值为．故选：A．
7．(2022年全国高考甲卷数学(文)·第11题)已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以．
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为．故选：B．
8．(2019·全国Ⅱ·文·第9题)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则( )
A．2B．3C．4D．8
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
9．(2019·全国Ⅰ·文·第12题)已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，，设，则，，根据椭圆的定义，所以，因此点即为椭圆的下顶点，因为，所以点坐标为，将坐标代入椭圆方程得，解得.
10．(2018年高考数学上海·第13题)设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )
A．B．B．D．
【答案】B
解析：，根据椭圆的定义，椭圆上任一点到两焦点的距离之和为．
11．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(文)·第11题)已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，可得椭圆的焦点坐标，所以．可得：，可得，可得，解得．故选D．
12．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(文)·第4题)已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：，所以离心率．
13．(2014高考数学大纲文科·第9题)已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线交C与A．B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析: 由题意知，的周长，，又，，，故选A．
14．(2015高考数学广东文科·第8题)已知椭圆()的左焦点为，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：由题意得：，因为，所以，故选B．
15．(2015高考数学福建文科·第11题)已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：设左焦点为，连接，．则四边形是平行四边形，故，所以
，所以，设，则，故，从而，，
，所以椭圆的离心率的取值范围是，故选A．
16．(2017年高考数学浙江文理科·第2题)椭圆的离心率是( )
A．B．C．D．
【答案】 B
【解析】法一:由椭圆方程得,,所以,所以,,
．故选B．
法二:．故选B．
17．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷文科·第11题)已知椭圆,的左、右顶点分别为,且以线段为直径的圆与直线相切,则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】法一：以线段为直径的圆的圆心为原点，半径为，该圆与直线相切，所以圆心到直线的距离，整理可得
所以，故选A．
法二：以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，即，即 ，，故选A．
18．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科·第12题)设是椭圆长轴的两个端点,若上存在点满足,则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设是椭圆上的动点,椭圆上存在点满足等价于的最大值大于或等于． 可以猜测:当点为椭圆短轴上的顶点时,取得最大值(证明放在最后)
当,焦点在轴上,要使上存在点满足,则,
即,得;
当,焦点在轴上,要使上存在点满足,则,得,故的取值范围为,故选A．
命题:设,是椭圆长轴的两个端点,
是椭圆上任意一点,为椭圆短轴上一顶点,求证:．
如图,设,则
则,
故,又由于,在递增
所以当时,取得最大值．
19．(2016高考数学课标Ⅲ卷文科·第12题)已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】法1：由题意得，，，根据对称性，不妨，设，
∴，，∴直线又∵直线经过中点，
∴，故选A．
法2． 如图：记的中点为，因为，所以
又因为，所以，解得．故选A．
20．(2016高考数学课标Ⅰ卷文科·第5题)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，由题意得在椭圆中，
在中，，且，代入解得
，所以椭圆得离心率得：，故选B．
题型五： 双曲线
一、选择题
1．(2023年全国甲卷文科·第9题)已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A．B两点，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：由，则，
解得，
所以双曲线的一条渐近线不妨取，
则圆心到渐近线的距离，
所以弦长．
故选：D
2．(2021年高考浙江卷·第9题)已知，函数．若成等比数列，则平面上点的轨迹是( )
A．直线和圆B．直线和椭圆C．直线和双曲线D．直线和抛物线
【答案】C
解析:由题意得，即，
对其进行整理变形：
，
，，
，所以或，其中为双曲线，为直线,故选C．
3．(2023年天津卷·第9题)双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
解析：如图，
因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以．
设则，所以，所以．
因,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为.故选：D
4．(2021年高考全国甲卷文科·第5题)点到双曲线的一条渐近线的距离为( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：．故选：A．
5．(2020年高考课标Ⅰ卷文科·第11题)设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为( )
A．B．3C．D．2
【答案】B
【解析】由已知，不妨设，
则，因为，
所以点在以为直径的圆上，
即是以P为直角顶点的直角三角形，
故，
即，又，
所以，
解得，所以
故选：B
6．(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第9题)设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为( )
A．4B．8C．16D．32
【答案】B
【解析】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B．
7．(2020年浙江省高考数学试卷·第8题)已知点O(0，0)，A(–2，0)，B(2，0)．设点P满足|PA．–|PB．=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即． 故选：D．
8．(2021高考天津·第8题)已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A．B两点，交双曲线的渐近线于C．D两点，若．则双曲线的离心率为( )
A．B．C．2D．3
【答案】A
解析：设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，所以双曲线的离心率．
故选：A．
9．(2021高考北京·第5题)若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为． 故选：B
10．(2020天津高考·第7题)设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
11．(2019·浙江·文理·第2题)渐近线方程为的双曲线的离心率是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，则双曲线是等轴双曲线，离心率．故选C．
12．(2019·天津·文·第6题)已知抛物线的焦点为，准线为．若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且为原点)，则双曲线的离心率为( )
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】因为，准线的方程为，，，从而，进而，由此能求出双曲线的离心率．
【解析】法一：因为抛物线的焦点为，准线为．所以，准线的方程为，因为与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且为原点)，所以，，所以，即，所以，所以双曲线的离心率为．故选D．
12．(2019·全国Ⅲ·文·第9题)已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若，则△OPF的面积为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】如图，不妨设为双曲线的右焦点，为第一象限点．
由双曲线方程可得，，，则，
则以为圆心，以3为半径的圆的方程为．
联立，解得．．则．
故选：B．
13．(2019·全国Ⅱ·文·第12题)设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点．若，则的离心率为( )
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心，．，又点在圆上，
，即．，故选A．
14．(2019·全国Ⅰ·文·第10题)双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意可知，所以，
离心率.
15．(2019·北京·文·第5题)已知双曲线的离心率是，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由双曲线，得，又，得，即，解得，．故选D．
16．(2018年高考数学浙江卷·第2题)双曲线的焦点坐标是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：双曲线的焦点在轴上，且，所以，所以焦点坐标为．
17．(2018年高考数学天津(文)·第7题)已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点．设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
解析：如图，过点分别向渐近线作垂线，垂足分别为，则是梯形的中位线，所以，又为点到渐近线
的距离，所以，所以，由离心率，所以，
，所以，所以双曲线方程为．
18．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(文)·第10题)已知双曲线()的离心率为，则点到的渐近线的距离为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：由题意，则，故渐近线方程为，则点到渐近线的距离为．故选D．
19．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(文)·第6题)双曲线的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：∵双曲线的离心率为，则，即双曲线的渐近线方程为，故选A．
20．(2014高考数学重庆文科·第8题)设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为( )
A．B．C．4D．
【答案】D．
解析:由题意
，同除以得或(舍去)，从而
21．(2014高考数学天津文科·第6题)已知双曲线(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：由已知得，所以，在方程中令，得，所以，则，，，所以所求的双曲线的方程为．
22．(2014高考数学课标1文科·第4题)已知双曲线的离心率为2，则( )
A．2B．C．D．1
【答案】D
解析：由双曲线的离心率可得，解得，选D．
23．(2014高考数学江西文科·第10题)过双曲线的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于．若以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过两点(为坐标原点),则双曲线的方程为( )
B．C．D．
【答案】A
解析:因为的渐近线为,所以或因此OA=c=4,从而三角形OAC为正三角形,即双曲线的方程为．
24．(2014高考数学湖北文科·第8题)设,是关于的方程的两个不等实根，则过，两点的直线与双曲线的公共点的个数为( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
解析:由方程t2csθ＋tsinθ＝0，解得t1＝0，t2＝－tanθ，不妨设点A(0，0)，B(－tanθ，tan2θ)，则过这两点的直线方程为y＝－xtanθ，该直线恰是双曲线eq \f(x2,cs2θ)－eq \f(y2,sin2θ)＝1的一条渐近线，所以该直线与双曲线无公共点．故选A．
25．(2014高考数学广东文科·第8题)若实数满足，则曲线与曲线的( )
A．实半轴长相等B．虚半轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
【答案】D
解析：∵ ，则，双曲线的实半轴长为4，虚半轴长为，焦距为，离心率为，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，因此，两双曲线的焦距相等，故选D．
26．(2014高考数学大纲文科·第11题)双曲线C:的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于( )
A．2B．C．4D．
【答案】C
解析: 由已知可知渐近线的斜率，且解得，所以，故选C．
27．(2015高考数学重庆文科·第9题)设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是,过作的垂线与双曲线交于两点．若,则双曲线的渐近线的斜率为( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：由已知得右焦点 (其中，
，，
从而，又因为，
所以，即，
化简得到，即双曲线的渐近线的斜率为，
故选C．
28．(2015高考数学天津文科·第5题)已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：由双曲线的渐近线与圆相切得,由,解得,故选D．
29．(2015高考数学四川文科·第7题)过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于两点，则( )
B．C．6D．
【答案】D
解析：由题意：， 渐近线的方程为
将代入渐近线方程，得
故，选D
30．(2015高考数学湖南文科·第6题)若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：因为双曲线的一条渐近线经过点(3，-4)，
31．(2015高考数学湖北文科·第9题)将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则( )
A．对任意的，B．当时，；当时，
C．对任意的，D．当时，；当时，
【答案】B．
解析：不妨设双曲线的焦点在轴上，即其方程为：，则双曲线的方程为：
，所以，，当时，
，所以，所以，所以；当时，，所以，所以，所以；故应选B．
32．(2015高考数学安徽文科·第6题)下列双曲线中，渐近线方程为的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A．
33．(2017年高考数学天津文科·第5题)已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，△是边长为2的等边三角形(为原点)，则双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】 D
【解析】 因为△是边长为2的等边三角形，所以， 不妨设点在第一象限内，则点，又因为点在双曲线的渐近线上，所以，由得，所以，则双曲线的方程为，故选D．
34．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科·第5题)若,则双曲线的离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】 C
【解析】本题考查双曲线的性质．由题知,a>1,又所以,
则．故选C．
35．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科·第5题)已知是双曲线的右焦点,是上一点,且与轴垂直,点的坐标是,则的面积为( )
A．B．C．D．
【答案】 D
【解析】由得,所以,将代入,得,所以,又的坐标是,故的面积为,故选D．
36．(2016高考数学天津文科·第4题)已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：由题意得则,所以双曲线的方程为．
题型六： 抛物线
一、选择题
1．(2023年北京卷·第6题)已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则( )
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
解析：因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故．
故选：D．
2．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第3题)抛物线的焦点到直线的距离为，则( )
A．1B．2C．D．4
【答案】B
解析:抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去)，故选B．
3．(2020年高考课标Ⅲ卷文科·第7题)设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为直线与抛物线交于两点，且，
根据抛物线的对称性可以确定，所以，
代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，
故选：B．
4．(2022年高考全国乙卷数学(文)·第6题)设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则( )
A．2B．C．3D．
【答案】B
解析：由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以．
故选：B
5．(2020北京高考·第7题)设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线( )．
A．经过点B．经过点
C．平行于直线D．垂直于直线
【答案】B
【解析】如图所示：．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点．故选：B．
6．(2014高考数学辽宁文科·第8题)已知点在抛物线的准线上，记的焦点为，则直线的斜率为( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：由点在抛物线的准线上,得，
的焦点为，所以直线的斜率为，故选C
7．(2014高考数学课标1文科·第10题)已知抛物线C：的焦点为,A是C上一点，|AF|= EQ \F(5,4)，则=( )
A．1B．2C．4D．8
【答案】Ａ
解析：根据抛物线的定义可知，解之得． 选A．
8．(2014高考数学安徽文科·第3题)抛物线的准线方程是( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：可化为，故，所以抛物线的准线方程为，故选A．
9．(2015高考数学新课标1文科·第5题)已知椭圆的中心为坐标原点，离心率为，的右焦点与抛物线的焦点重合，是的准线与的两个交点，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
分析：∵抛物线的焦点为(2,0)，准线方程为，∴椭圆E的右焦点为(2,0)，
∴椭圆E的焦点在x轴上，设方程为，c=2，
∵，∴，∴，∴椭圆E方程为，
将代入椭圆E的方程解得A(-2,3)，B(-2，-3)，∴|AB|=6，故选B．
10．(2015高考数学陕西文科·第3题)已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，
所以抛物线焦点坐标为，故答案选
11．(2016高考数学四川文科·第3题)抛物线的焦点坐标是( )
(A)(B)(C)(D)
【答案】D
解析：由题意，的焦点坐标为，故选D．
12．(2016高考数学课标Ⅱ卷文科·第5题)设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则( )．
A．B．1C．D．2
【答案】D
【解析】，又因为曲线与交于点，轴，所以，所以，选D．
题型七：圆锥曲线的综合问题
一、选择题
1．(2015高考数学四川文科·第10题)设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点，且为线段的中点．若这样的直线恰有4条，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：不妨设直线：，代入抛物线方程有：
则又中点则
即(当时)
代入，可得，即
又圆心到直线的距离等于半径，
可得
由，可得．选D
2．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科·第12题)过抛物线的焦点,且斜率为的直线于点(在轴上方),为的准线,点在上,且⊥,则到直线的距离为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题知,与抛物线联立得,解得
所以,因为,所以,因为,所以
所以到的距离为
方法二:设,,,由题知:．
解得:．则,．
,则到直线的距离为． 故选C．
3．(2014高考数学课标2文科·第10题)设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为的直线交C于A．B两点，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：方法一：设， ，，由抛物线的定义和直角三角形知识可得，，，∴，。∴选Ｃ。
方法二：设直线方程为，点A(，)，B(，)
由 得，
,故选C
4．(2014高考数学四川文科·第10题)已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，(其中为坐标原点)，则面积之和的最小值是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析:由题意可知，．设，∴，解得或．又因为两点位于轴两侧，所以，即．
当时，所在直线方程为
令，得，即直线过定点．
于是＝＝＝(9||＋8||)≥×2，当且仅当且时，等号成立．当＝时，取y1＝，y2＝－，则所在直线的方程为，此时求得＝而>3，故选B．
5．(2023年全国乙卷文科·第12题)设A．B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以．
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D．
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc142991456" 题型一： 直线的方程 PAGEREF _Tc142991456 \h 1
\l "_Tc142991457" 题型二： 圆的方程 PAGEREF _Tc142991457 \h 3
\l "_Tc142991458" 题型三： 直线和圆的综合问题 PAGEREF _Tc142991458 \h 5
\l "_Tc142991459" 题型四： 椭圆 PAGEREF _Tc142991459 \h 8
\l "_Tc142991460" 题型五： 双曲线 PAGEREF _Tc142991460 \h 15
\l "_Tc142991462" 题型六： 抛物线 PAGEREF _Tc142991462 \h 29
\l "_Tc142991466" 题型七：圆锥曲线的综合问题 PAGEREF _Tc142991466 \h 32
题型一： 直线的方程
一、选择题
1．(2020年高考课标Ⅲ卷文科·第8题)点(0，﹣1)到直线距离的最大值为( )
A．1B．C．D．2
【答案】B
【解析】由可知直线过定点，设，
当直线与垂直时，点到直线距离最大，
即为．
故选：B．
2．(2014高考数学四川文科·第9题)设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是( )
A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]
【答案】B
解析:由题意可知，定点，且两条直线互相垂直，
则其交点落在以为直径的圆周上，
所以，即|
又＝≤＝，
所以，故选B．
3．(2014高考数学上海文科·第18题)已知与是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是( )．
A．无论、、如何，总是无解B．无论、、如何，总有唯一解
C．存在、、，使之恰有两解D．存在、、，使之有无穷多解
【答案】B
解析：易得原点不在直线上，所以不在同一直线上，故向量与向量不平行，所以，方程组有唯一解，故选B．
4．(2014高考数学福建文科·第6题)已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：由题意可得所求直线过点,斜率为1,故所求直线为,即．
5．(2016高考数学北京文科·第7题)已知．若点在线段上，则的最大值为( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：由题意得，AB：，
∴，当时等号成立，即的最大值为7，故选C．
6．(2014高考数学福建文科·第12题)在平面直角坐标系中，两点间的“L-距离”定义为则平面内与x轴上两个不同的定点的“L-距离”之和等于定值(大于)的点的轨迹可以是( )
【答案】A
解析：设,再设动点,动点到定点的“L-距离”的距离之和等于,由题意可得,即．
当时,方程化为;
当时,方程化为;
当时,方程化为;
当时,方程化为;
当时,方程化为;
当时,方程化为．
结合题目中给出的四个选项可知,选项A中的图象符合要求．
题型二： 圆的方程
一、选择题
1．(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第8题)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为．
由题意可得，可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为．
故选：B．
2．(2020北京高考·第5题)已知半径为的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为( )．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设圆心，则，化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，故选：A．
3．(2014高考数学课标2文科·第12题)设点，若在圆O：上存在点N，使得，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：如图
因为圆O关于直线对称，若存在点，则圆上还存在一点，点与点关于直线对称，且。所以。先考虑临界状态，当的坐标为时，的坐标是，。当时，如图，，，，与圆不相交，找不到符合条件的点。根据对称性，。
4．(2014高考数学湖南文科·第6题)若圆与圆外切，则( )
A．21B．19C．9D．-11
【答案】C
解析：由已知两圆的圆心分别为，，半径分别为，，则由解得，故选C
5．(2014高考数学北京文科·第7题)已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则的最大值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：圆C：的圆心，半径为，
∵圆心C到的距离为，
∴圆C上的点到点O的距离的最大值为．
再由，以A为直径的圆和圆C有交点，可得，故有，
故选：B．
x
C
y
O
6．(2015高考数学新课标2文科·第7题)已知三点,则△外接圆的圆心到原点的距离为( )
【答案】B
解析：△外接圆圆心在直线BC垂直平分线上即直线上,设圆心D,由DA=DB得 ,所以圆心到原点的距离． 故选B．
7．(2015高考数学北京文科·第2题)圆心为且过原点的圆的方程是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
解析：由题意可得圆的半径为，则圆的标准方程为，故选D．
题型三： 直线和圆的综合问题
一、选择题
1．(2020年高考课标Ⅰ卷文科·第6题)已知圆，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，
设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时
根据弦长公式得最小值为．
故选：B．
2．(2022高考北京卷·第3题)若直线是圆的一条对称轴，则( )
A．B．C．1D．
【答案】A
解析:由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选,A．
3．(2021高考北京·第9题)已知直线(为常数)与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：由题可得圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离，
则弦长为，
则当时，弦长取得最小值为，解得．
故选：C．
4．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(文)·第8题)直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：由直线得，∴，圆的圆心为，∴圆心到直线的距离为，∴点到直线的距离的取值范围为，即，∴． 故选A．
8．(2014高考数学浙江文科·第5题)已知圆截直线所得弦的长度为，则实数的值是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析:由圆的方程可得，圆心为，半径，圆心到直线的距离为．由得，所以．故选B．
5．(2014高考数学安徽文科·第6题)过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：设直线，即，由题知：圆心到直线的距离，解得，所以直线的倾斜角的取值范围是，故选D．
6．(2015高考数学安徽文科·第8题)直线与圆相切，则( )
A．-2或12B．2或-12C．-2或-12D．2或12
【答案】D
解析：∵直线与圆心为(1,1),半径为1的圆相切，∴＝1或12,故选D．
7．(2016高考数学山东文科·第7题)已知圆：截直线所得线段的长度是，则圆与圆：的位置关系是( )
A．内切B．相交C．外切D．相离
【答案】B
解析：由()得()，所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以，解得，圆的圆心为，半径为，所以，，，因为，所以圆与圆相交，故选B．
8．(2016高考数学课标Ⅱ卷文科·第6题)圆的圆心到直线的距离为1，则( )．
A．−B．−C．D．2
【答案】A
【解析】 圆心为，半径，所以，解得，故选A．
9．(2016高考数学北京文科·第5题)圆的圆心到直线的距离为( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：圆心坐标为 ,由点到直线的距离公式可知 ,故选C．
题型四： 椭圆
一、选择题
1．(2015高考数学浙江文科·第7题)如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是( )
A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支
【答案】C
解析：由题可知，当点运动时，在空间中，满足条件的绕旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成角的平面截圆锥，所得图形为椭圆．故选C．
2．(2023年全国甲卷文科·第7题)设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则( )
A．1B．2C．4D．5
【答案】B
解析：方法一：因为，所以，
从而，所以．故选：B．
方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．故选：B．
3．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第5题)设椭圆的离心率分别为．若，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：由，得，因此，而，所以．故选：A
4．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第5题)已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A．B两点，若面积是面积的2倍，则( )．
A．B．C．D．
【答案】C
解析：将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，，解得或(舍去)，故选：C．
5．(2021年新高考Ⅰ卷·第5题)已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为( )
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
解析:由题，，则，
所以(当且仅当时，等号成立)．故选：C．
6．(2021年全国高考乙卷文科·第11题)设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为( )
A．B．C．D．2
【答案】A
解析：设点，因为，，所以
，
而，所以当时，的最大值为．故选：A．
7．(2022年全国高考甲卷数学(文)·第11题)已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以．
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为．故选：B．
8．(2019·全国Ⅱ·文·第9题)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则( )
A．2B．3C．4D．8
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
9．(2019·全国Ⅰ·文·第12题)已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，，设，则，，根据椭圆的定义，所以，因此点即为椭圆的下顶点，因为，所以点坐标为，将坐标代入椭圆方程得，解得.
10．(2018年高考数学上海·第13题)设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )
A．B．B．D．
【答案】B
解析：，根据椭圆的定义，椭圆上任一点到两焦点的距离之和为．
11．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(文)·第11题)已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，可得椭圆的焦点坐标，所以．可得：，可得，可得，解得．故选D．
12．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(文)·第4题)已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：，所以离心率．
13．(2014高考数学大纲文科·第9题)已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线交C与A．B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析: 由题意知，的周长，，又，，，故选A．
14．(2015高考数学广东文科·第8题)已知椭圆()的左焦点为，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：由题意得：，因为，所以，故选B．
15．(2015高考数学福建文科·第11题)已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：设左焦点为，连接，．则四边形是平行四边形，故，所以
，所以，设，则，故，从而，，
，所以椭圆的离心率的取值范围是，故选A．
16．(2017年高考数学浙江文理科·第2题)椭圆的离心率是( )
A．B．C．D．
【答案】 B
【解析】法一:由椭圆方程得,,所以,所以,,
．故选B．
法二:．故选B．
17．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷文科·第11题)已知椭圆,的左、右顶点分别为,且以线段为直径的圆与直线相切,则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】法一：以线段为直径的圆的圆心为原点，半径为，该圆与直线相切，所以圆心到直线的距离，整理可得
所以，故选A．
法二：以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，即，即 ，，故选A．
18．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科·第12题)设是椭圆长轴的两个端点,若上存在点满足,则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设是椭圆上的动点,椭圆上存在点满足等价于的最大值大于或等于． 可以猜测:当点为椭圆短轴上的顶点时,取得最大值(证明放在最后)
当,焦点在轴上,要使上存在点满足,则,
即,得;
当,焦点在轴上,要使上存在点满足,则,得,故的取值范围为,故选A．
命题:设,是椭圆长轴的两个端点,
是椭圆上任意一点,为椭圆短轴上一顶点,求证:．
如图,设,则
则,
故,又由于,在递增
所以当时,取得最大值．
19．(2016高考数学课标Ⅲ卷文科·第12题)已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】法1：由题意得，，，根据对称性，不妨，设，
∴，，∴直线又∵直线经过中点，
∴，故选A．
法2． 如图：记的中点为，因为，所以
又因为，所以，解得．故选A．
20．(2016高考数学课标Ⅰ卷文科·第5题)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，由题意得在椭圆中，
在中，，且，代入解得
，所以椭圆得离心率得：，故选B．
题型五： 双曲线
一、选择题
1．(2023年全国甲卷文科·第9题)已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A．B两点，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：由，则，
解得，
所以双曲线的一条渐近线不妨取，
则圆心到渐近线的距离，
所以弦长．
故选：D
2．(2021年高考浙江卷·第9题)已知，函数．若成等比数列，则平面上点的轨迹是( )
A．直线和圆B．直线和椭圆C．直线和双曲线D．直线和抛物线
【答案】C
解析:由题意得，即，
对其进行整理变形：
，
，，
，所以或，其中为双曲线，为直线,故选C．
3．(2023年天津卷·第9题)双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
解析：如图，
因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以．
设则，所以，所以．
因,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为.故选：D
4．(2021年高考全国甲卷文科·第5题)点到双曲线的一条渐近线的距离为( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：．故选：A．
5．(2020年高考课标Ⅰ卷文科·第11题)设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为( )
A．B．3C．D．2
【答案】B
【解析】由已知，不妨设，
则，因为，
所以点在以为直径的圆上，
即是以P为直角顶点的直角三角形，
故，
即，又，
所以，
解得，所以
故选：B
6．(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第9题)设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为( )
A．4B．8C．16D．32
【答案】B
【解析】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B．
7．(2020年浙江省高考数学试卷·第8题)已知点O(0，0)，A(–2，0)，B(2，0)．设点P满足|PA．–|PB．=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即． 故选：D．
8．(2021高考天津·第8题)已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A．B两点，交双曲线的渐近线于C．D两点，若．则双曲线的离心率为( )
A．B．C．2D．3
【答案】A
解析：设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，所以双曲线的离心率．
故选：A．
9．(2021高考北京·第5题)若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为． 故选：B
10．(2020天津高考·第7题)设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
11．(2019·浙江·文理·第2题)渐近线方程为的双曲线的离心率是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，则双曲线是等轴双曲线，离心率．故选C．
12．(2019·天津·文·第6题)已知抛物线的焦点为，准线为．若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且为原点)，则双曲线的离心率为( )
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】因为，准线的方程为，，，从而，进而，由此能求出双曲线的离心率．
【解析】法一：因为抛物线的焦点为，准线为．所以，准线的方程为，因为与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且为原点)，所以，，所以，即，所以，所以双曲线的离心率为．故选D．
12．(2019·全国Ⅲ·文·第9题)已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若，则△OPF的面积为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】如图，不妨设为双曲线的右焦点，为第一象限点．
由双曲线方程可得，，，则，
则以为圆心，以3为半径的圆的方程为．
联立，解得．．则．
故选：B．
13．(2019·全国Ⅱ·文·第12题)设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点．若，则的离心率为( )
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心，．，又点在圆上，
，即．，故选A．
14．(2019·全国Ⅰ·文·第10题)双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意可知，所以，
离心率.
15．(2019·北京·文·第5题)已知双曲线的离心率是，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由双曲线，得，又，得，即，解得，．故选D．
16．(2018年高考数学浙江卷·第2题)双曲线的焦点坐标是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：双曲线的焦点在轴上，且，所以，所以焦点坐标为．
17．(2018年高考数学天津(文)·第7题)已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点．设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
解析：如图，过点分别向渐近线作垂线，垂足分别为，则是梯形的中位线，所以，又为点到渐近线
的距离，所以，所以，由离心率，所以，
，所以，所以双曲线方程为．
18．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(文)·第10题)已知双曲线()的离心率为，则点到的渐近线的距离为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：由题意，则，故渐近线方程为，则点到渐近线的距离为．故选D．
19．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(文)·第6题)双曲线的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：∵双曲线的离心率为，则，即双曲线的渐近线方程为，故选A．
20．(2014高考数学重庆文科·第8题)设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为( )
A．B．C．4D．
【答案】D．
解析:由题意
，同除以得或(舍去)，从而
21．(2014高考数学天津文科·第6题)已知双曲线(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：由已知得，所以，在方程中令，得，所以，则，，，所以所求的双曲线的方程为．
22．(2014高考数学课标1文科·第4题)已知双曲线的离心率为2，则( )
A．2B．C．D．1
【答案】D
解析：由双曲线的离心率可得，解得，选D．
23．(2014高考数学江西文科·第10题)过双曲线的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于．若以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过两点(为坐标原点),则双曲线的方程为( )
B．C．D．
【答案】A
解析:因为的渐近线为,所以或因此OA=c=4,从而三角形OAC为正三角形,即双曲线的方程为．
24．(2014高考数学湖北文科·第8题)设,是关于的方程的两个不等实根，则过，两点的直线与双曲线的公共点的个数为( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
解析:由方程t2csθ＋tsinθ＝0，解得t1＝0，t2＝－tanθ，不妨设点A(0，0)，B(－tanθ，tan2θ)，则过这两点的直线方程为y＝－xtanθ，该直线恰是双曲线eq \f(x2,cs2θ)－eq \f(y2,sin2θ)＝1的一条渐近线，所以该直线与双曲线无公共点．故选A．
25．(2014高考数学广东文科·第8题)若实数满足，则曲线与曲线的( )
A．实半轴长相等B．虚半轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
【答案】D
解析：∵ ，则，双曲线的实半轴长为4，虚半轴长为，焦距为，离心率为，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，因此，两双曲线的焦距相等，故选D．
26．(2014高考数学大纲文科·第11题)双曲线C:的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于( )
A．2B．C．4D．
【答案】C
解析: 由已知可知渐近线的斜率，且解得，所以，故选C．
27．(2015高考数学重庆文科·第9题)设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是,过作的垂线与双曲线交于两点．若,则双曲线的渐近线的斜率为( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：由已知得右焦点 (其中，
，，
从而，又因为，
所以，即，
化简得到，即双曲线的渐近线的斜率为，
故选C．
28．(2015高考数学天津文科·第5题)已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：由双曲线的渐近线与圆相切得,由,解得,故选D．
29．(2015高考数学四川文科·第7题)过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于两点，则( )
B．C．6D．
【答案】D
解析：由题意：， 渐近线的方程为
将代入渐近线方程，得
故，选D
30．(2015高考数学湖南文科·第6题)若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：因为双曲线的一条渐近线经过点(3，-4)，
31．(2015高考数学湖北文科·第9题)将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则( )
A．对任意的，B．当时，；当时，
C．对任意的，D．当时，；当时，
【答案】B．
解析：不妨设双曲线的焦点在轴上，即其方程为：，则双曲线的方程为：
，所以，，当时，
，所以，所以，所以；当时，，所以，所以，所以；故应选B．
32．(2015高考数学安徽文科·第6题)下列双曲线中，渐近线方程为的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A．
33．(2017年高考数学天津文科·第5题)已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，△是边长为2的等边三角形(为原点)，则双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】 D
【解析】 因为△是边长为2的等边三角形，所以， 不妨设点在第一象限内，则点，又因为点在双曲线的渐近线上，所以，由得，所以，则双曲线的方程为，故选D．
34．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科·第5题)若,则双曲线的离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】 C
【解析】本题考查双曲线的性质．由题知,a>1,又所以,
则．故选C．
35．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科·第5题)已知是双曲线的右焦点,是上一点,且与轴垂直,点的坐标是,则的面积为( )
A．B．C．D．
【答案】 D
【解析】由得,所以,将代入,得,所以,又的坐标是,故的面积为,故选D．
36．(2016高考数学天津文科·第4题)已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：由题意得则,所以双曲线的方程为．
题型六： 抛物线
一、选择题
1．(2023年北京卷·第6题)已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则( )
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
解析：因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故．
故选：D．
2．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第3题)抛物线的焦点到直线的距离为，则( )
A．1B．2C．D．4
【答案】B
解析:抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去)，故选B．
3．(2020年高考课标Ⅲ卷文科·第7题)设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为直线与抛物线交于两点，且，
根据抛物线的对称性可以确定，所以，
代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，
故选：B．
4．(2022年高考全国乙卷数学(文)·第6题)设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则( )
A．2B．C．3D．
【答案】B
解析：由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以．
故选：B
5．(2020北京高考·第7题)设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线( )．
A．经过点B．经过点
C．平行于直线D．垂直于直线
【答案】B
【解析】如图所示：．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点．故选：B．
6．(2014高考数学辽宁文科·第8题)已知点在抛物线的准线上，记的焦点为，则直线的斜率为( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：由点在抛物线的准线上,得，
的焦点为，所以直线的斜率为，故选C
7．(2014高考数学课标1文科·第10题)已知抛物线C：的焦点为,A是C上一点，|AF|= EQ \F(5,4)，则=( )
A．1B．2C．4D．8
【答案】Ａ
解析：根据抛物线的定义可知，解之得． 选A．
8．(2014高考数学安徽文科·第3题)抛物线的准线方程是( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：可化为，故，所以抛物线的准线方程为，故选A．
9．(2015高考数学新课标1文科·第5题)已知椭圆的中心为坐标原点，离心率为，的右焦点与抛物线的焦点重合，是的准线与的两个交点，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
分析：∵抛物线的焦点为(2,0)，准线方程为，∴椭圆E的右焦点为(2,0)，
∴椭圆E的焦点在x轴上，设方程为，c=2，
∵，∴，∴，∴椭圆E方程为，
将代入椭圆E的方程解得A(-2,3)，B(-2，-3)，∴|AB|=6，故选B．
10．(2015高考数学陕西文科·第3题)已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，
所以抛物线焦点坐标为，故答案选
11．(2016高考数学四川文科·第3题)抛物线的焦点坐标是( )
(A)(B)(C)(D)
【答案】D
解析：由题意，的焦点坐标为，故选D．
12．(2016高考数学课标Ⅱ卷文科·第5题)设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则( )．
A．B．1C．D．2
【答案】D
【解析】，又因为曲线与交于点，轴，所以，所以，选D．
题型七：圆锥曲线的综合问题
一、选择题
1．(2015高考数学四川文科·第10题)设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点，且为线段的中点．若这样的直线恰有4条，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：不妨设直线：，代入抛物线方程有：
则又中点则
即(当时)
代入，可得，即
又圆心到直线的距离等于半径，
可得
由，可得．选D
2．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科·第12题)过抛物线的焦点,且斜率为的直线于点(在轴上方),为的准线,点在上,且⊥,则到直线的距离为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题知,与抛物线联立得,解得
所以,因为,所以,因为,所以
所以到的距离为
方法二:设,,,由题知:．
解得:．则,．
,则到直线的距离为． 故选C．
3．(2014高考数学课标2文科·第10题)设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为的直线交C于A．B两点，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：方法一：设， ，，由抛物线的定义和直角三角形知识可得，，，∴，。∴选Ｃ。
方法二：设直线方程为，点A(，)，B(，)
由 得，
,故选C
4．(2014高考数学四川文科·第10题)已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，(其中为坐标原点)，则面积之和的最小值是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析:由题意可知，．设，∴，解得或．又因为两点位于轴两侧，所以，即．
当时，所在直线方程为
令，得，即直线过定点．
于是＝＝＝(9||＋8||)≥×2，当且仅当且时，等号成立．当＝时，取y1＝，y2＝－，则所在直线的方程为，此时求得＝而>3，故选B．
5．(2023年全国乙卷文科·第12题)设A．B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以．
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D．
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