十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（文科）专题04导数小题（文科）（Word版附解析）

这是一份十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（文科）专题04导数小题（文科）（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了曲线在点处切线方程为，若过点可以作曲线的两条切线，则，已知曲线在点处的切线方程为，则，曲线在点处的切线方程为，·第6题)设函数等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc142247603" 题型一： 导数的概念及其几何意义 PAGEREF _Tc142247603 \h 1
\l "_Tc142247604" 题型二： 导数与函数的单调性 PAGEREF _Tc142247604 \h 9
\l "_Tc142247605" 题型三： 导数与函数的极值、最值 PAGEREF _Tc142247605 \h 11
\l "_Tc142247606" 题型四： 导数与函数的零点 PAGEREF _Tc142247606 \h 14
\l "_Tc142247607" 题型五： 导数的综合应用 PAGEREF _Tc142247607 \h 15
题型一： 导数的概念及其几何意义
1．(2023年全国甲卷文科·第8题)曲线在点处切线方程为( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：设曲线在点处的切线方程为，
因为，
所以，
所以
所以
所以曲线在点处的切线方程为．
故选：C
2．(2021年新高考Ⅰ卷·第7题)若过点可以作曲线的两条切线，则( )
A．B．
C．D．
【答案】D
解析:在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则．
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点,故选D．
3．(2019·全国Ⅲ·文·第6题)已知曲线在点处的切线方程为，则( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】的导数为，由在点处的切线方程为，
可得，解得，
又切点为，可得，即，故选：D．
4．(2019·全国Ⅱ·文·第10题)曲线在点处的切线方程为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，，即点在曲线上．
则在点处的切线方程为，即．故选C．
5．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(文)·第6题)设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解法1：由基本函数，，的奇偶性，结合为奇函数，易知．
则，求导数，得，，由点斜式得，即．
解法2：为奇函数， ，
即，得．
则，求导数，得，，由点斜式得，即．
6．(2015高考数学北京文科·第8题)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每千米平均耗油量为( )
A．升B．升C．升D．升
【答案】B
解析：因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量升． 而这段时间内行驶的里程数千米． 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升，故选B．
7．(2016高考数学四川文科·第10题)设直线分别是函数图象上点处的切线，与垂直相交于点，且分别与轴相交于点,则的面积的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：设(不妨设)，则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即．分别令得又与的交点为，故选A．
8．(2016高考数学山东文科·第10题)若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为负一．
当时，，有，所以在函数图象存在两点使条件成立，故A正确；函数的导数值均非负，不符合题意，故选A．
9．(2015高考数学安徽文科·第10题)函数的图像如图所示，则下列结论成立的是( )
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：由函数的图象可知，令
又，可知是的两根
由图可知
∴；故A正确．
10．(2017年高考数学浙江文理科·第7题)函数的导函数的图象如图所示,则函数的图象可能是
x
y
O
(第7题图)
x
y
O
x
y
O
A B( )
x
y
O
x
y
O
C D
【答案】 D
【解析】(定义法)导数大于零,原函数递增,导数小于零,原函数递减,对照导函数图象和原函数图象．故选D．
(特例法)取导函数,勾画原函数图象．故选D．
11．(2020年高考课标Ⅰ卷文科·第15题)曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________．
【答案】
【解析】设切线的切点坐标为，
，所以切点坐标为，
所求的切线方程为，即．
故答案为：．
12．(2020年高考课标Ⅲ卷文科·第15题)设函数．若，则a=_________．
【答案】1
【解析】由函数的解析式可得：，
则：，据此可得：，
整理可得：，解得：．
故答案为：．
13．(2022新高考全国II卷·第14题)曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】①． ②．
解析： 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；
14．(2022新高考全国I卷·第15题)若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【答案】
解析：∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
15．(2019·天津·文·第11题)曲线在点处的切线方程为________．
【答案】
【思路分析】本题就是根据对曲线方程求导，然后将代入导数方程得出在点处的斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程．
【解析】由题意，可知，因为．
曲线在点处的切线方程：，整理得：．故答案为：．
16．(2019·全国Ⅰ·文·第13题)曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】，结合导数的几何意义曲线在点处的切线方程的斜率，切线方程为.
17．(2019·江苏·文理·第11题)在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点(为自然对数的底数)，则点的坐标是______.
【答案】
【解析】设切点，因为，所以切线的斜率，
又切线过点，所以，即，解得，则点的坐标是.
18．(2018年高考数学天津(文)·第10题)已知函数，为的导函数，则的值为 ．
【答案】
解析：．
19．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(文)·第13题)曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
解析：，当时，，曲线在点处的切线方程为．故答案为．
20．(2014高考数学江西文科·第11题)若曲线处的切线平行于直线的坐标是_______．
【答案】
分析:因为,设切点,则又
21．(2014高考数学广东文科·第11题)曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
解析：，所求切线斜是，切线方程是，即．
22．(2014高考数学江苏·第11题)在平面直角坐标系中，若曲线(a，b为常数)过点，且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值是 ．
【答案】
解析：曲线过点，则①，
又，所以②，由①、②解得 所以．
23．(2015高考数学新课标2文科·第16题)已知曲线在点 处的切线与曲线 相切,则 ．
【答案】8
分析：由可得曲线在点处的切线斜率为2,故切线方程为,与 联立得,显然,所以由 ．
24．(2015高考数学新课标1文科·第14题)已知函数的图像在点的处的切线过点，则 ．
【答案】1
分析：∵，∴，即切线斜率，
又∵，∴切点为(1，)，∵切线过(2,7)，∴，解得1．
25．(2015高考数学天津文科·第11题)已知函数 ,其中为实数,为的导函数,若 ,则的值为 ．
【答案】3
解析：
因为 ,所以．
26．(2015高考数学陕西文科·第15题)函数在其极值点处的切线方程为____________．
【答案】
解析：，令，此时
函数在其极值点处的切线方程为
27．(2017年高考数学天津文科·第10题)已知，设函数的图象在点(1，)处的切线为l，则l在y轴上的截距为____________．
【答案】1
【基本解法1】，切点为，，则切线的斜率为，切线方程为：，令得出，在轴的截距为．
28．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科·第14题)曲线在处的切线方程为________________．
【答案】
【解析】设,则,所以,所以在处的切线方程为
,即;
29．(2016高考数学天津文科·第10题)已知函数为的导函数，则的值为__________．
【答案】3
解析：由题意得则得．
30．(2016高考数学课标Ⅲ卷文科·第16题)已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_____．
【答案】 【解析】当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．
题型二： 导数与函数的单调性
1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第6题)已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为( )．
A．B．eC．D．
【答案】C
解析：依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
2．(2014高考数学课标2文科·第11题)若函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：∵函数在上单调递增，∴恒成立。∴恒成立，∵，∴。∴选D。
3．(2015高考数学陕西文科·第9题)设，则( )
A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数
【答案】B
解析：
又的定义域为是关于原点对称，所以是奇函数；
是增函数．
故答案选
4．(2016高考数学课标Ⅰ卷文科·第12题)若函数在单调递增，则a的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C【解析一】对恒成立，
故，即恒成立，
即对恒成立
构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，
故只需保证，解得．故选C．
【解析二】用特殊值法：取，，
但，不具备在单调递增，排除A，B，D．故选C．
题型三： 导数与函数的极值、最值
1．(2021年全国高考乙卷文科·第12题)设，若为函数的极大值点，则( )
AB．C．D．
【答案】D
解析：若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故．
依题意，为函数的极大值点，
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故．
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故．
综上所述，成立．
故选：D
2．(2022年全国高考甲卷数学(文)·第8题)当时，函数取得最大值，则( )
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B．
3．(2014高考数学课标2文科·第3题)函数在处导数存在，若：；：是的极值点，则( )
Ａ．是的充分必要条件Ｂ．是的充分条件，但不是的必要条件( )
Ｃ．是的必要条件，但不是的充分条件Ｄ．既不是的充分条件，也不是的必要条件
【答案】C
解析:∵,而，∴选Ｃ．
4．(2014高考数学辽宁文科·第12题)当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：方法一，取特殊值，排除法
令
，故排除B，
又当时，

，成立，排除A，D，故选C
方法二，分类讨论，分离参数法
当时 ，显然成立 ；
当时 ，可化为
当时 ，可化为，
令
当时，
当时，
，综上，故选C
方法三，利用导数求极值，求区间端点值。
对恒成立
必要性
，记，

综上，当时，对有f(x)的最小值非负， 所以，故选C
5．(2016高考数学四川文科·第6题)已知为函数的极小值点，则( )
(A)(B)(C)(D)
【答案】D
解析：，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值为，有已知得，故选D．
题型四： 导数与函数的零点
1．(2023年全国乙卷文科·第8题)函数存在3个零点，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：，则，
若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，
令，解得或，
且当时，，
当，，
故的极大值为，极小值为，
若要存在3个零点，则，即，解得，
故选：B．
2．(2014高考数学课标1文科·第12题)已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：由已知，，令，得或，
当时，；
且，有小于零的零点，不符合题意。
当时，
要使有唯一的零点且＞0，只需，即，．选C
解析：由已知，=有唯一的正零点，等价于
有唯一的正零根，令，则问题又等价于有唯一的正零根，即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧，记
，由，，，
，要使有唯一的正零根，只需，选C
题型五： 导数的综合应用
1．(2014高考数学湖南文科·第9题)若，则( )
A．B．
C．D．
【答案】C
解析：令，则,
在(0,1)上不单调，A,B,错；
令 ，则，在(0,1)上单调递减，故，即答案为C
2．(2018年高考数学江苏卷·第11题)若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ．
【答案】–3
解析：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此，，从而函数在上，单调递增，在上单调递减，所以，，最大值与最小值的和为．
3．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第16题)已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
【答案】
解析:由题意，，则，
所以点和点，,所以，所以，所以，
同理,所以．故答案为．加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
年月日
年月日