十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（文科）专题16解析几何填空题（文科）（Word版附解析）

这是一份十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（文科）专题16解析几何填空题（文科）（Word版附解析），共45页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc142997152" 题型一： 直线的方程 PAGEREF _Tc142997152 \h 1
\l "_Tc142997153" 题型二： 圆的方程 PAGEREF _Tc142997153 \h 4
\l "_Tc142997154" 题型三： 直线和圆的综合问题 PAGEREF _Tc142997154 \h 8
\l "_Tc142997155" 题型四： 椭圆 PAGEREF _Tc142997155 \h 15
\l "_Tc142997162" 题型五： 双曲线 PAGEREF _Tc142997162 \h 21
\l "_Tc142997163" 题型六： 抛物线 PAGEREF _Tc142997163 \h 31
\l "_Tc142997164" 题型七：圆锥曲线的综合问题 PAGEREF _Tc142997164 \h 35
题型一： 直线的方程
一、填空题
1．(2017年高考数学上海(文理科)·第16题)如图,用35个单位正方形拼成一个矩形,点、、、以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处,设集合,点,过作直线,使得不在上的“”的点分布在的两侧． 用和分别表示一侧和另一侧的“”的点到的距离之和．若过的直线中有且只有一条满足,则中所有这样的为________．
【答案】、．
【解析】设记为“”的四个点为,线段的中点分别为,易知为平行四边形,且记点到直线的距离为,,,,根据题意,四个点不在的同侧,那么就有两种可能:
(1)若的两侧分别有两个点,如图2,点和分别在的两侧,若,则有,即和所在的线段平行且相等,于是可构成相应的平行四边形,因此直线必过的中点．
若点和分别在直线的两侧,同理可知直线必过的中点．
于是,直线必过平行四边形的对角线的交点．
(2)若的一侧有三个点,另一侧有一个点,如图3,点和分别在的两侧,若,即,由平面几何知识有,,且,则有,即和所在的线段平行且相等,于是可构成相应的平行四边形,因此直线必过的中点．
若点和分别在直线的两侧,同理可知直线必过的中点．
于是,直线必过平行四边形的对角线的交点．
综上,满足已知条件的直线肯定要经过和的交点．
2．(2016高考数学上海文科·第13题)设，若关于的方程组无解，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵方程组无解等价于两直线平行，∴，且，又∵为正数∴(，且)，即的取值范围是．
3．(2016高考数学上海文科·第3题)已知平行直线，则的距离 ．
【答案】
【解析】利用两平行线间距离公式得
4．(2014高考数学安徽文科·第15题)若直线与曲线满足下列两个条件：
(ⅰ)直线在点处与曲线相切；
(ⅱ)曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线．
下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①直线：在点处“切过”曲线：；
②直线：在点处“切过”曲线：；
③直线：在点处“切过”曲线：；
④直线：在点处“切过”曲线：；
⑤直线：在点处“切过”曲线：．
【答案】①③④
解析：由在某点处的切过曲线的定义可知，在曲线上，曲线C在过的切线的两侧，所以①曲线：在点处的切线为直线，且曲线穿过，所以说法正确；②曲线：在点处的切线为直线，又恒成立，故②说法错误；③曲线：在点处的切线为，又当时，，当时，，故③说法正确；④曲线：在在点处的切线为，又当时，，当时，，故④说法正确；⑤曲线：在点处的切线为，令，，当时，当，当时，，所以在单调递减，在单调递增，且，所以曲线C在切线同一侧，故⑤说法错误．综上可得正确的是①③④．
5．(2020北京高考·第15题)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
【答案】①②③
【解析】表示区间端点连线斜率的负数，
在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；
甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；
在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③
题型二： 圆的方程
1．(2020年浙江省高考数学试卷·第15题)设直线，圆，，若直线与，都相切，则_______；b=______．
【答案】(1)． (2)．
解析：由题意，到直线的距离等于半径，即，，
所以，所以(舍)或者，
解得．
2．(2022年全国高考甲卷数学(文)·第14题)设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
【答案】
【解析】∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为．
故答案为：
3．(2022新高考全国II卷·第15题)设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
解析：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
4．(2022年高考全国乙卷数学(文)·第15题)过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】或或或
；
解析：依题意设圆的方程为，
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆方程为，即；
故答案为：或或或；
5．(2020江苏高考·第14题)在平面直角坐标系中，已知，，是圆上的两个动点，满足，则面积的最大值是__________．
【答案】
【解析】
设圆心到直线距离为，则
所以
令(负值舍去)
当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为，
故答案为：
6．(2018年高考数学天津(文)·第12题)在平面直角坐标系中，经过三点的圆的方程为 ．
【答案】
解析：设所求圆的方程为，把三点的坐标代入方程，得：
，解得，所以所求圆的方程为．
7．(2016高考数学四川文科·第15题)在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义 的“伴随点”为 ；当是原点时，定义 的“伴随点”为它自身．现有下列命题：
若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点 ；
单元圆上的“伴随点”仍在单位圆上；
若两点关于轴对称，则它们的“伴随点”关于轴对称；
④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线．
其中的真命题是 (写出所有真命题的序号)．
【答案】②③
解析：对于①，若令，则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故错误；对于②，令单位圆上点的坐标为其伴随点为仍在单位圆上，故正确；③设曲线关于轴对称，则对曲线表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为与的图象关于轴对称，所以正确；对于④，直线上取点后得其伴随点消参后轨迹是圆，故错误．所以正确的为序号为②③．
题型三： 直线和圆的综合问题
一、填空题
1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第15题)已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______．
【答案】(中任意一个皆可以)
解析：设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案为：(中任意一个皆可以)．
2．(2022新高考全国I卷·第14题)写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【答案】或或
解析：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或．
3．(2021高考天津·第12题)若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
【答案】
解析：设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，因为，故．
故答案为：．
4．(2020天津高考·第12题)已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．
【答案】5
【解析】因为圆心到直线的距离，
由可得，解得．故答案为：．
5．(2019·浙江·文理·第12题)已知圆的圆心坐标是，半径长是．若直线与圆相切于点，则 ， ．
【答案】，
【解析】由于直线与圆相切，故，则，直线：代入可得，故．
6．(2018年高考数学江苏卷·第12题)在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为 ．
【答案】3
解析：设，则圆心 ，易得圆C：，与联立解得点D的横坐标，所以．所以，
，由得，，
解得a＝3或a＝－1，因为a＞0，所以a＝3．
7．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(文)·第15题)直线与圆交于，两点，则 ．
【答案】
解析：解法1：将代入，化简得：，解得或，
所以，所以．
解法2：圆的标准方程为，圆心为，半径，圆心到直线的距离
，所以．
8．(2014高考数学重庆文科·第14题)已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________．
【答案】=0或=6．
解析：将圆的方程转换成标准方程得，圆C的圆心为(-1,2)，半径为3．因为直线与圆C的交点A,B满足，所以为等腰直角三角形，则弦AB的长度为，且C到AB的距离为，而由点到直线的距离公式得C到AB的距离为，所以，解得=0或=6．
9．(2014高考数学上海文科·第14题)已知曲线直线． 若对于点存在上的点和上
的点使得,则的取值范围为_____________．
【答案】
解析:由已知得曲线为以原点为圆心,2为半径的左半圆．为的中点．
设,则．因为在曲线上,则即．
10．(2014高考数学山东文科·第14题)圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为 ．
【答案】
解析：因为圆心在直线上，所以可设圆心坐标为,因为圆与轴相切，所以,半径为,又因为圆截轴所得弦长为,所以,解得,故所求圆的方程为．
11．(2014高考数学湖北文科·第17题)已知圆和点，若定点和常数满足：对圆上任意一点，都有，则
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)－eq \f(1,2) (2)eq \f(1,2)
解析：设点M(csθ，sinθ)，则由|MB|＝λ|MA|得(csθ－b)2＋sin2θ＝λ2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（csθ＋2）2＋sin2θ))，即－2bcsθ＋b2＋1＝4λ2csθ＋5λ2对任意的θ都成立，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2b＝4λ2，,b2＋1＝5λ2.))又由|MB|＝λ|MA|，得λ>0，且b≠－2，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－\f(1,2)，,λ＝\f(1,2).))
12．(2014高考数学江苏·第9题) 在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 ．
【答案】
解析：圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为，所求弦长为．
13．(2014高考数学大纲文科·第16题)直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于________．
【答案】
解析:方法1:由已知条件易知过点的切线的斜率是存在的，设切线的斜率为，在过的的切线方程为，化简得，，则由圆心到直线的距离等于半径可得
或，设两直线的夹角为，由两直线的夹角计算公式可得
．
方法2:由图可知，ABO为直角三角形，AO=，OB=，则AB=，则tan，设两直线的夹角为，则
14．(2015高考数学重庆文科·第12题)若点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点处的切线方程为___________．
【答案】
解析：由点在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：，所以该圆在点P处的切线方程为即，故填：．
考点：圆的切线．
15．(2015高考数学山东文科·第13题)过点作圆 QUOTE 的两条切线，切点分别为，则 QUOTE = ．
【答案】
解析：如图，连接，在直角三角形中，所以，，，故．
16．(2015高考数学湖南文科·第13题)若直线与圆相交于两点，且(为坐标原点)，则=_____．
【答案】
解析：如图直线与圆 交于A、B两点，O为坐标原点，且，则圆心(0，0)到直线的距离为 ，．故答案为2．
17．(2015高考数学湖北文科·第16题)如图，已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点，(在的上方)，且．
(Ⅰ)圆的标准方程为_________；
(Ⅱ)圆在点处的切线在轴上的截距为_________．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．
解析：设点的坐标为，则由圆与轴相切于点知，点的横坐标为，即，半
径．又因为，所以，即，所以圆的标准方程为，
令得：．设圆在点处的切线方程为，则圆心到其距离为：
，解之得．即圆在点处的切线方程为，于是令可得
，即圆在点处的切线在轴上的截距为，故应填和．
18．(2015高考数学江苏文理·第10题)在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_______．
【答案】
解析：由题意得：半径等于，当且仅当时取等号，所以半径最大为，所求圆为
19．(2017年高考数学北京文科·第11题)已知,且,则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】解法一:代入消元转化为二次函数在闭区间上最值问题; ,所以当或时,取最大值;当时,取最小值;因此取值范围为．
解法二:利用数形结合,如图,表示:线段上的动点到原点的距离,由图易知有,故有．
解法三:利用三角换元,令,由,知且代入得化简得且知,得,故有．
20．(2016高考数学浙江文科·第10题)已知，方程表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______．
【答案】；5
解析：由题意或2，时方程为，即，圆心为，半径为5，时方程为，不表示圆．
21．(2016高考数学天津文科·第12题)已知圆的圆心在轴的正半轴上，点在圆上，且圆心到直线的距离为，则圆的方程为__________．
【答案】
解析：设圆心为，则圆心到直线的距离，
得，半径，所以圆方程为．
22．(2016高考数学课标Ⅲ卷文科·第15题)已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则=______．
【答案】 4
【解析】法1：由，得，代入圆的方程，并整理，得，解得，所以，所以．又直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．
法2：根据垂径定理得弦长，因此．
23．(2016高考数学课标Ⅰ卷文科·第15题)设直线与圆相交于A，B两点，若，则圆的面积为 ．
【答案】
【解析】圆，即，圆心为，由到直线的距离为，所以由得所以圆的面积为．
题型四： 椭圆
一、填空题
1．(2021年高考全国甲卷文科·第16题)已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
【答案】
解析：因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于．
故答案为：．
2．(2022新高考全国I卷·第16题)已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
【答案】13
解析：∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为故答案为：13．
三、解答题
1．(2019·全国Ⅲ·文·第14题)设为椭圆C：的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为___________．
【答案】
【解析】设，，，椭圆的，，，，
由于为上一点且在第一象限，可得，
△为等腰三角形，可能或，
即有，即，；
，即，舍去．可得．故答案为：．
2．(2018年高考数学浙江卷·第17题)已知点，椭圆上两点满足，则当
时，点横坐标的绝对值最大．
【答案】5
解析：解法1：本题的通法为应用圆锥曲线中非对称结构应用韦达定理的模型，设，
当直线的斜率不存在时，此时；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，联立方程，
可得，由题意，得，
由韦达定理得：，，
由可得，
联立后解得：，
所以，(当且仅当时取等号)，
此时，得，
经验证符合题意，所以当时，点的横坐标的绝对值最大．
解法2：联立求解，设，由，可得，
由均在椭圆上可知，
，先消，得，
再代入得 ，
当时，有最大值4，即点的横坐标的绝对值的最大值为2．
解法3：三角换元，设，因为，则，
所以，即，
所以，即，
当时，点的横坐标的绝对值最大．
解法4：借助常用的椭圆的两斜率之积等于模型
当直线的斜率不存在时，此时；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，设，中点为，
由，可得，由，
得，解得(当且仅当时取等号)，
当时，代入椭圆方程可得．
3．(2014高考数学辽宁文科·第15题)已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则______________
【答案】12
解析：如图所示，
所以

第15题解析图
4．(2014高考数学江西文科·第14题)设椭圆的左右焦点为,作作轴的垂线与交于两点,与轴交于点,若,则椭圆的离心率等于________．
【答案】
分析:因为平行于,所以为中点,又,所以设则因此
5．(2015高考数学浙江文科·第15题)椭圆()的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．
【答案】
解析：设关于直线的对称点为，则有，解得，所以在椭圆上，即有，解得，所以离心率．
6．(2016高考数学江苏文理科·第10题)如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是 ．
【答案】．
解析：由题意得，直线与椭圆方程联立可得，，由可得，，，则，由可得，则．
三、解答题
1．(2021高考天津·第18题)已知椭圆右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
【答案】(1)；(2)．
解析：(1)易知点、，故，
因为椭圆的离心率为，故，，
因此，椭圆的方程为；
(2)设点为椭圆上一点，先证明直线的方程为，
联立，消去并整理得，，
因此，椭圆在点处的切线方程为．
在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，
直线的斜率为，所以，直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
因为，则，即，整理可得，
所以，，因为，，故，，
所以，直线的方程为，即．
题型五： 双曲线
二、填空题
1．(2023年北京卷·第12题)已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________．
【答案】
解析：令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，
由双曲线的离心率为，得，解得，则，
所以双曲线的方程为．
故答案为：
2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第16题)已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________．
【答案】
解析：方法一：依题意，设，则，
在中，，则，故或(舍去)，
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故．
方法二:依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或(舍去)，故．
故答案为：．
3．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第13题)已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________
【答案】
解析:因为双曲线的离心率为2，所以，所以，
所以该双曲线的渐近线方程为．故答案为．
4．(2021年全国高考乙卷文科·第14题)双曲线的右焦点到直线的距离为________．
【答案】
解析：由已知，，所以双曲线的右焦点为，
所以右焦点到直线的距离为．
故答案为：
5．(2020年高考课标Ⅲ卷文科·第14题)设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为_________．
【答案】
【解析】由双曲线方程可得其焦点在轴上，
因为其一条渐近线为，
所以，．
故答案为：
6．(2022高考北京卷·第12题)已知双曲线的渐近线方程为，则__________．
【答案】
解析:对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，
则，，又双曲线的渐近线方程为，
所以，即，解得；故答案为：
7．(2022年浙江省高考数学试题·第16题)已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．
【答案】
解析:过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率．
故答案为：．
8．(2022年全国高考甲卷数学(文)·第15题)记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．
【答案】2(满足皆可)
【解析】，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，
故答案为：2(满足皆可)
9．(2020江苏高考·第6题)在平面直角坐标系中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是____．
【答案】
【解析】双曲线，故．由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，所以双曲线的离心率为．故答案为：
10．(2020北京高考·第12题)已知双曲线，则的右焦点的坐标为_________；的焦点到其渐近线的距离是_________．
【答案】(1)． (2)．
【解析】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为，
双曲线的渐近线方程为，即，
所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为．故答案为：；．
11．(2019·江苏·文理·第7题)在平面直角坐标系中，若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程是 .
【答案】
【解析】由已知得，所以，又，所以渐近线方程为.
12．(2018年高考数学江苏卷·第8题)在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是 ．
【答案】2
解析：因为双曲线的焦点到渐近线，即的距离为，所以，因此，．
13．(2018年高考数学上海·第2题)双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
解析：由题意知：，所以渐近线方程为．
14．(2018年高考数学北京(文)·第12题) 若双曲线的离心率为，则 ．
【答案】4
解析：在双曲线中，，且，
所以，因为，所以
15．(2014高考数学浙江文科·第17题)设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点．若点满足，则该双曲线的离心率是______．
【答案】
解析:由于双曲线的渐近线方程为．由得，由得，所以线段的中点的坐标为．设直线：
，因为，所以，所以，化简得，又，
消去，得双曲线的离心率．
16．(2014高考数学四川文科·第11题)双曲线的离心率等于____________．
【答案】．
解析:．
17．(2014高考数学山东文科·第15题)已知双曲线的焦距为，右顶点为A，抛物线的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
解析：由已知,所以,把代入双曲线方程，得,所以直线被双曲线截得的弦长为,从而,,所以,所以,因此渐近线方程为．
18．(2014高考数学北京文科·第10题)设双曲线的两个焦点为，，一个顶点式，则的方程为
．
【答案】
解析：双曲线C的两个焦点为，，一个顶点是，
∴，，∴，∴C的方程为．故答案为：．
19．(2015高考数学新课标2文科·第15题)已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为 ．
【答案】
解析：根据双曲线渐近线方程为,可设双曲线的方程为 ,把代入得．所以双曲线的方程为．
20．(2015高考数学新课标1文科·第16题)已知是双曲线的右焦点，是左支上一点， ，当周长最小时，该三角形的面积为 ．
【答案】
解析：设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，
∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|++|AF|=|PA|++|AF|+，
由于是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|+最小，即P、A、共线，
∵，(－3,0)，∴直线的方程为，即代入整理得，解得或(舍)，所以P点的纵坐标为，
∴==．
21．(2015高考数学上海文科·第12题)已知双曲线、的顶点重合，的方程为．若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为 ．
【答案】
解析：设的方程为，可得的一条渐近线方程为，的一条渐近线方程为． 由题意可知，故的方程为．
22．(2015高考数学山东文科·第15题)过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点．若点的横坐标为,则的离心率为 ．
【答案】
解析：双曲线的右焦点为．不妨设所作直线与双曲线的渐近线平行，其方程为，代入求得点的横坐标为，由，得，解之得，(舍去，因为离心率)，故双曲线的离心率为．
23．(2015高考数学北京文科·第12题)已知是双曲线()的一个焦点，则 ．
【答案】
解析：由题意知，，所以．
24．(2015高考数学江苏文理·第12题)在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点，若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为_______．
【答案】
解析：设，因为直线平行于渐近线，所以点到直线的距离恒大于直线与渐近线之间距离，因此c的最大值为直线与渐近线之间距离，为
25．(2017年高考数学上海(文理科)·第10题)设双曲线的焦点为、,为该双曲线上的一点,若,
则________．
【答案】11
【解析】．
26．(2017年高考数学山东文科·第15题)在平面直角坐标系xOy中,双曲线的右支与焦点为F的抛物线交于两点．若,则该双曲线的渐近线方程为__________．
【答案】
【解析】由抛物线定义可得:,
因为,所以渐近线方程为．
27．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷文科·第14题)双曲线的一条渐近线方程为,则=_______．
【答案】
【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为： ，而该双曲线的一条渐近线方程为，而，所以．
28．(2017年高考数学江苏文理科·第8题)在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,,其焦点是,则四边形的面积是______．
【答案】
解析:右准线方程为,渐近线为,
则,,,,则．
29．(2017年高考数学北京文科·第10题)若双曲线的离心率为,则实数 _________．
【答案】
【解析】法一:基本量法,由,即．
法二:由,即．
30．(2016高考数学浙江文科·第13题)设双曲线的左、右焦点分别为．若点在双曲线上，且为锐角三角形，则的取值范围是_______．
【答案】
解析：由已知，则，设是双曲线上任一点，由对称性不妨设P在右支上，则，为锐角，则，即，解得，所以，．
31．(2016高考数学山东文科·第14题)已知双曲线：．矩形的四个顶点在上，的中点为的两个焦点，且，则的离心率是_______．
【答案】
解析：依题意，不妨设，作出图象如下图所示
则故离心率
32．(2016高考数学江苏文理科·第3题)在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是 ．
【答案】．
解析：，因此焦距为．
33(2016高考数学北京文科·第12题)已知双曲线()的一条渐近线为，一个焦点为，则 _______；_____________．
【答案】
解析：依题意有,结合,解得．
题型六： 抛物线
一、填空题
1．(2023年全国乙卷文科·第13题)已知点在抛物线C：上，则A到C准线的距离为______．
【答案】
解析：由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为．
故答案为：．
2．(2021年新高考Ⅰ卷·第14题)已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______．
【答案】
解析:不妨设
因为，所以的准线方程为,故答案为．
3．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第13题)斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
【答案】
解析：∵抛物线的方程为，∴抛物线焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解得，所以
4．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第14题)斜率为直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
【答案】
解析：∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解法一：解得
所以
解法二：
设，则,
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示．
故答案为：
5．(2021高考北京·第12题)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴与于点．若，则点的横坐标为_______； 的面积为_______．
【答案】 ①． 5 ②．
解析：因为抛物线的方程为，故且．
因为，，解得，故，
所以，
故答案为：5；．
6．(2019·上海·文理·第9题)过的焦点并垂直于轴的直线分别与交于，在上方，为抛物线上一点，，则______.
【答案】3
【解析】依题意求得：，，设M坐标
有：，代入有：
即：.
7．(2019·北京·文·第11题)设抛物线的焦点为，准线为，则以为圆心，且与相切的圆的方程为 ．
【答案】
【解析】如图，抛物线的焦点为
因为所求圆的圆心，且与准线相切，所以圆的半径为，则所求圆的方程为．
8．(2018年高考数学北京(文)·第10题) 已知直线过点且垂直于轴，若被抛物线截得的线段长为，则抛物线的焦点坐标为
【答案】
解析：由题可得，点在抛物线上，将代入中，解得，所以．
由抛物线方程可得，所以焦点坐标为．
9．(2014高考数学上海文科·第4题)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则抛物线的准线方程为__．
【答案】
解析:易知焦点为,则准线方程为．
10．(2014高考数学陕西文科·第11题)抛物线的准线方程为________．
【答案】
解析：由已知可知准线方程为．
11．(2014高考数学湖南文科·第14题)平面上一机器人在行进中始终保持与点的距离和到直线的距离相等．若机器人接触不到过点且斜率为的直线，则的取值范围是 ．
【答案】
解析：由抛物线定义可知，机器人在曲线上，且抛物线与直线无交点，联立得方程无解，即
12．(2015高考数学上海文科·第7题)抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则 ．
【答案】2
解析：根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点运动到原点时，才与抛物线焦点的距离的最小，所以有．
题型七：圆锥曲线的综合问题
1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第10题)设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
【答案】AC
解析：A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为．
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误．
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确．
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误．
故选：AC．

2．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第9题)已知曲线．( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
解析：对于A，若，则可化为，因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD．
3．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第10题)已知曲线．( )
A．若m>n>0，则C椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
解析：对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD．
4．(2022新高考全国II卷·第10题)已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A．B两点，其中A在第一象限，点，若，则( )
A．直线的斜率为B．
C．D．
【答案】ACD
解析：
对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，又，则，D正确．故选：ACD．
5．(2022新高考全国I卷·第11题)已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则( )
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
【答案】BCD
解析:将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确．
故选：BCD
6．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第11题)已知直线与圆，点，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
解析:圆心到直线l的距离，若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，所以，直线l与圆C相切，故D正确．故选：ABD．
二、填空题
1．(2021年高考浙江卷·第16题)已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________．
【答案】 (1)． (2)．
解析:
如图所示：不妨假设，设切点为，
，
所以, 由，所以，，于是，即，所以．
故答案为；．
2．(2022新高考全国II卷·第16题)已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．
【答案】
解析：令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，所以，
即，解得或(舍去)，
又，即，解得或(舍去)，
所以直线，即；
故答案为：
3．(2021高考天津·第18题)已知椭圆右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于 点．若，求直线的方程．
【答案】(1)；(2)．
解析：(1)易知点、，故，
因为椭圆的离心率为，故，，
因此，椭圆的方程为；
(2)设点为椭圆上一点，先证明直线的方程为，
联立，消去并整理得，，
因此，椭圆在点处的切线方程为．
在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，
直线的斜率为，所以，直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
因为，则，即，整理可得，
所以，，因为，，故，，
所以，直线的方程为，即．
三、解答题
1．(2019·浙江·文理·第15题)已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方．若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是 ．
【答案】
【解析】解法一：由题意可知，又在中．由椭圆定义知．在等腰△中，，，为中点，所以
．
解法二：应用焦半径公式，由题意可知，由中位线定理可得，即．求得，所以．
解法三：联立求点P坐标，由题意可知，由中位线定理可得，设可得，与方程联立，解得，(舍)．所以，所以．
2．(2017年高考数学天津文科·第12题)设抛物线的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若，则圆的方程为____________．
【答案】
设坐标原点为,由题意得：
，∠，，，∴
∴圆的方程为：
3．(2023年天津卷·第12题)过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为_________．
【答案】
解析：易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，
所以，解得：，由解得：或，
所以，解得：．
当时，同理可得．
故答案为：．
4．(2019·上海·文理·第11题)已知数列满足()，在双曲线上，则_______.
【答案】
【解析】法一：由得：，∴，
，利用两点间距离公式求解极限。
法二(极限法)：当时，与渐近线平行，在x轴投影为1，渐近线倾斜角满足：，所以.