十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（文科）专题21数列解答题（文科）（Word版附解析）

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十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—数列解答题
目录
题型一： 数列的概念和通项公式 1
题型二：等差数列的定义与性质 3
题型三：等比数列的定义与性质 12
题型四：数列的求和 17
题型五：数列中的新定义问题 24
题型六：数列中的证明问题 34
题型七：数列与其他知识交汇 43
题型八：数列的综合应用 53


题型一： 数列的概念和通项公式
一、解答题
1．(2014高考数学大纲文科·第17题) 数列满足，，．
(1)设，证明是等差数列；
(2)求的通项公式．
【答案】(Ⅰ)由，，即，又．
所以是首项为1，公差为2的等差数列．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，即，
于是．
所以，即，又所以的通项公式．
2．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（文）·第17题) (12分)已知数列满足，． 设．
(1)求，，；
(2)判断数列是否为等比数列，并说明理由；
(3)求的通项公式．
【答案】解：(1)由条件可得．将代入得，，而，所以，．
将代入得，，所以，．从而，，．
(2)是首项为，公比为的等比数列．
由条件可得，即，又，所以是首项为，公比为的等比数列．
(3)由(2)可得，所以．
3．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科·第17题) 记为等比数列的前项和,已知．
(1)求的通项公式;
(2)求,并判断是否成等差数列．
【答案】(1);(2),成等差数列,证明见解析．
【解析】(1)设首项,公比,依题意,,由,
,解得:,
(2),


所以成等差数列．
方法二:分析法:要证成等差数列,只需证:,
只需证:,只需证:,
只需证:(*),由(1)知(*)式显然成立,成等差数列．
4．(2016高考数学课标Ⅲ卷文科·第17题) (本小题满分12分)已知各项都为正数的数列满足，．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)求的通项公式．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(Ⅰ)由题设易得．
(Ⅱ)由得．
因为数列的各项都为正数，所以．
故数列是以首项为1，公比为的等比数列，因此．

5．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷文科·第17题) 设数列满足．
(1)求的通项公式;
(2)求数列 的前项和．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)因为
当时，；
当时，有……①
………………②
两式相减可得，所以，当时，
所以数列的通项公式为，．
(2)由(1)可得．
记数列 的前项和为
所以．

题型二：等差数列的定义与性质
一、解答题
1．(2022年全国高考甲卷数学（文）·第18题) 记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析； (2)．
【解析】(1)因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
(2)解：由(1)可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时．
2．(2019·全国Ⅰ·文·第18题) 记为等差数列的前项和，已知．
(1)若，求的通项公式；
(2)若，求使得的的取值范围．
【答案】(1)设的公差为d．由得．由a3=4得．于是．因此的通项公式为．
(2)由(1)得，故.
由知，故等价于，解得1≤n≤10．
所以n的取值范围是．
3．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（文）·第17题) (12分)记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值．
【答案】解析：(1)设的公差为，由题意得．
由，得．
所以的通项公式为．
(2)由(1)得．
所以当时，取得最小值，最小值为．
4．(2014高考数学浙江文科·第19题) (本题满分14分)
已知等差数列的公差，设的前n项和为，，．
(Ⅰ) 求及；
(Ⅱ) 求()的值，使得．
【答案】解：(Ⅰ)由题意知，将代入上式解得或．因为，所以．从而，．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，
所以．
由知，故所以
5．(2014高考数学湖北文科·第19题) 已知等差数列满足：，且,,成等比数列．
(1)求数列的通项公式．
(2)记为数列的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2．；
(2)当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；
当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41．
解析：(1)设数列{an}的公差为d，
依题意知，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，
化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4，
当d＝0时，an＝2；
当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，
从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2．
(2)当an＝2时，Sn＝2n，显然2n<60n＋800，
此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立．
当an＝4n－2时，Sn＝＝2n2．
令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，
解得n>40或n<－10(舍去)，
此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41．
综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；
当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41．
6．(2016高考数学课标Ⅰ卷文科·第17题) (本题满分12分)已知是公差为3的等差数列，数列满足，．
(I)求的通项公式；
(II)求的前n项和．
【答案】 (I)(II)
【官方解答】(I)由已知，得得，
所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为．
(II)由(I)和 ，得，因此是首项为1，公比为的等比数列．
记的前项和为，则
7．(2014高考数学福建文科·第17题) (本小题满分12分)
在等比数列中，．
(1)求；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】解析：(Ⅰ)设的公比为,依题意得解得,因此
(Ⅱ)因为,所以数列的前项和
8．(2015高考数学重庆文科·第16题) 已知等差数列满足，前3项和．
(Ⅰ)求的通项公式；
(Ⅱ)设等比数列满足=，=，求前项和．
【答案】(Ⅰ)，(Ⅱ)．
分析：(Ⅰ)由已知及等差数列的通项公式和前n项和公式可得关于数列的首项a1和公式d的二元一次方程组，解此方程组可求得首项及公差的值，从而可写出此数列的通项公式，
(Ⅱ)由(Ⅰ)的结果可求出b1和b4的值，进而就可求出等比数列的公比，再由等比数列的前n项和公式即可求得数列前n项和．
解析： (1)设的公差为，则由已知条件得
化简得解得
故通项公式，即．
(2)由(1)得．
设的公比为q,则,从而．故的前n项和
．
9．(2015高考数学北京文科·第16题) (本小题满分13分)已知等差数列满足，．
(Ⅰ)求的通项公式；
(Ⅱ)设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)与数列的第项相等．
分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．(Ⅰ)利用等差数列的通项公式，将转化成和，解方程得到和的值，直接写出等差数列的通项公式即可；(Ⅱ)先利用第一问的结论得到和的值，再利用等比数列的通项公式，将和转化为和，解出和的值，得到的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出的值，即项数．
解析：(Ⅰ)设等差数列的公差为．
因为，所以．
又因为，所以，故．
所以 ．
(Ⅱ)设等比数列的公比为．
因为，，
所以，．
所以．
由，得．
所以与数列的第项相等．
10．(2023年全国乙卷文科·第18题) 记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
解析：【小问1详解】
设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
【小问2详解】
因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：．

11．(2015高考数学福建文科·第17题) (本小题满分12分)等差数列中，，．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设，求的值．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．
解析：(Ⅰ)设等差数列的公差为．
由已知得，
解得．
所以．
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得．
所以



．
12．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第20题)设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
【答案】(1)
(2)
解析：(1)，，解得，
，
又，
，
即，解得或(舍去)，
．
(2)为等差数列，
，即，
，即，解得或，
，，
又，由等差数列性质知，，即，
，即，解得或(舍去)
当时，，解得，与矛盾，无解；
当时，，解得．
综上，．
13．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第17题)记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)求使成立的n的最小值．
【答案】解析:(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：．
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为．
14．(2021年新高考Ⅰ卷·第17题)已知数列满足，
(1)记，写出，，并求数列的通项公式；
(2)求的前20项和．
【答案】；．
解析:(1)由题设可得
又，，故即即
所以为等差数列，故．
(2)设的前项和为，则，
因为，
所以
．
15．(2021年高考全国甲卷文科·第18题)记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列．
【答案】证明见解析．
解析：∵数列是等差数列，设公差为
∴，
∴，
∴当时，
当时，，满足，
∴的通项公式为，
∴
∴是等差数列．
16．(2021年全国高考乙卷文科·第19题)设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
(1)求和的通项公式；
(2)记和分别为和的前n项和．证明：．
【答案】(1)，；(2)证明见解析．
解析：因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以．
(2)证明：由(1)可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以．
17．(2019·北京·文·第16题)设是等差数列，，且，，成等比数列．
(Ⅰ)求的通项公式；
(Ⅱ)记的前项和为，求的最小值．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．
【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为，因为，且，，成等比数列
所以即，解得
所以的通项公式为．
(Ⅱ)法一：由，，得：
所以当或时，取最小值．
法二：由，时，
所以当或时，取得最小值，此时
．
题型三：等比数列的定义与性质
一、解答题
1．(2020年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第18题) 已知公比大于的等比数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)．
解析：(1)由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，
所以，所以数列的通项公式为．
(2)由于，所以
对应的区间为：，则；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个．
所以．
2．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第18题) 已知公比大于的等比数列满足．
(1)求通项公式；
(2)求．
【答案】(1)；(2)
解析：(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则，
整理可得：，
，
数列的通项公式为：．
(2)由于：，故：


．
3．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（文）·第17题) (12分)等比数列中，．
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和．若，求．
【答案】【官方解析】(1)设的公比为，由题设得．
由已知得，解得(舍去)，或．
故或．
(2)若，则．由，得，此方程没有正整数解．
，则．由，得，解得．
综上，．
4．(2019·全国Ⅱ·文·第18题) 已知是各项均为正数的等比数列，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】解：(1)设的公比为，由题设得，即.
解得(舍去)或.
因此的通项公式为.
(2)由(1)得，因此数列的前项和为.
5．(2016高考数学天津文科·第18题) (本小题满分13分)已知是等比数列，前项和为，且．
(Ⅰ)求的通项公式；
(Ⅱ)若对任意的是和的等差中项，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)．
解析：(Ⅰ)设数列公比为．由已知，有，解得，或。
又由，知，所以，得．所以
(Ⅱ)由题意，得，
即是首项为，公差为1的等差数列．设数列的前项和为，
则

6．(2014高考数学北京文科·第15题) (本小题满分13分)已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)．；(2) ．
解析：(I)设等差数列的公差为，由题意得：，
所以，
设等比数列的公比为，由题意得：，解得．
所以，从而．
(II)由(1)知，，
数列的前项和为，数列的前项和为，
所以数列的前项和为．
7．(2015高考数学广东文科·第19题) (本小题满分14分)设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．
(1)求的值；
(2)证明：为等比数列；
(3)求数列的通项公式．
【答案】分析：(1)令可得的值；(2)先将()转化为，再利用等比数列的定义可证是等比数列；(3)先由(2)可得数列的通项公式，再将数列的通项公式转化为数列是等差数列，进而可得数列的通项公式．
解析：(1)当时，，即，解得：
(2)因为()，所以()，即()，因为，所以，因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列
(3)由(2)知：数列是以为首项，公比为的等比数列，所以
即，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，即，所以数列的通项公式是
8．(2015高考数学安徽文科·第18题) 已知数列是递增的等比数列，且
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设为数列的前项和，，求数列的前项和．
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
解析：
(Ⅰ)由题设可知，
又， 可解的或(舍去)
由得公比，故．
(Ⅱ)
又
所以
．
9．(2020年高考课标Ⅲ卷文科·第17题)设等比数列{an}满足，．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记为数列{log3an}前n项和．若，求m．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)设等比数列的公比为，
根据题意，有，解得，
所以；
(2)令，
所以，
根据，可得，
整理得，因为，所以，



题型四：数列的求和
一、解答题
1．(2015高考数学四川文科·第16题) 设数列的前项和满足，且，，成等差数列．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)记数列的前项和，求．
【答案】解析： (1) 由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)
即an＝2an－1(n≥2)从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，
又因为a1，a2＋1，a3成等差数列即a1＋a3＝2(a2＋1)所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2
所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n．
(2)由(Ⅰ)得所以
2．(2015高考数学湖南文科·第19题) (本小题满分13分)设数列的前项和为，已知，且
，
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)求。
【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)
分析：(Ⅰ)当时，由题可得，，两式子相减可得，即，然后验证当n=1时，命题成立即可； (Ⅱ)通过求解数列的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前n项和的通项公式．
解析：(Ⅰ)由条件，对任意，有，
因而对任意，有，
两式相减，得，即，
又，所以，
故对一切，。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，所以，于是数列是首项，公比为3的等比数列，数列是首项，公比为3的等比数列，所以，
于是

从而，
综上所述，。
3．(2014高考数学重庆文科·第16题) 已知是首相为1，公差为2的等差数列，表示的前项和．
(I)求及；
(II)设是首相为2的等比数列，公比满足，求的通项公式及其前项和．
【答案】
解析:(1)因为是首项公差的等差数列，所以。
所以
(2)由(1)知，，故，又因为所以在等比数列中

4．(2018年高考数学浙江卷·第20题) 已知等比数列的公比，且，是的等差中项．数列满足，数列的前项和为．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)由题知，
，，解得或，
， ．
(2)方法一：错位相减法
设，数列前项和为，由，解得．
由(1)知 ，所以， 故，


设，

，，
方法二：构造常数列
设，数列前项和为，由，解得．
由(1)知 ，所以，
而，
所以，
所以数列是一个常数列。即，
所以．
说明：其中是采用待定系数法求出的
可设待定求出．
5．(2014高考数学山东文科·第19题) (本小题满分12分)在等差数列中，已知公差，是与的等比中项．
(Ｉ)求数列的通项公式；
(II)设，记，求．
【答案】解析：(I)由题意知，即，解得
所以，数列的通项公式为
(Ⅱ)由题意知所以，
因为，，可得，当为偶数时，


当为奇数时，

所以，
6．(2014高考数学课标1文科·第17题) 已知是递增的等差数列，，是方程的根。
(I)求的通项公式；
(II)求数列的前项和．
【答案】解析：(1)因为是方程的两个根，
且使递增的等差数列，
所以
设首项为，公差为，依题意可得
解得
所以
(2)由(1)知
所以 ①
②
①-②得
所以，
7．(2014高考数学湖南文科·第16题) 已知数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
解析：(1)当时，
当时，
故数列的通项公式为
(2)由(1)知，,记得前2n项和为，则

8．(2015高考数学山东文科·第19题) (本小题满分12分)已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设，求数列的前项和．
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
解析：
(Ⅰ)设数列的公差为，
令得，所以．
令得，所以．
解得，所以
(Ⅱ)由(Ⅰ)知所以
所以
两式相减，得

所以
9．(2017年高考数学山东文科·第19题) 已知是各项均为正数的等比数列,且．
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和．
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)设的公比为,由题意知:．
又,
解得:, 所以．
(Ⅱ)由题意知:,
又所以
则
所以

①-②得
所以

10．(2016高考数学浙江文科·第17题) (本题满分15分)设数列的前项和为．已知．
(I)求通项公式；
(II)求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)由题意可得：，则
又当时，由，得，
所以，数列的通项公式为．
(2)设，当时，由于
故，设数列的前项和为
则，
当时，，
所以，
11．(2019·天津·文·第18题)设是等差数列，是等比数列，公比大于0．已知，，．
(1)求和的通项公式；
(2)设数列满足求．
【答案】【思路分析】(1)由等差等比数列通项公式和前项和的求解和的通项公式即可．
(2)利用分组求和和错位相减法得答案．
【解析】(1)是等差数列，是等比数列，公比大于0．
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，．
由题意可得：①；②，解得：，，
故，
(2)数列满足，


令①，
则②，
②①得：；
故

题型五：数列中的新定义问题
一、 解答题
1.(2017年高考数学江苏文理科·第19题) 对于给定的正整数,若数列满足
对任意正整数总成立,则称数列是“数列”．
(1)证明:等差数列是“数列”;
(2)若数列既是“数列”,又是“数列”,证明:是等差数列．
【答案】(1)见解析(2)见解析
解析:证明:(1)因为是等差数列,设公差为d,则,
从而,当时,

所以,
因此等差数列是“数列”;
(2)数列既是“数列”,又是“数列”,因此,
当时,,①
当时,．②
由①知,,③
,④
将③④代入②,得,
所以是等差数列,设其公差为
在①中,取,则,所以,
在①中,取,则,所以,
所以是等差数列．
2．(2022高考北京卷·第21题)已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．
(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若为连续可表数列，且，求证：．
【答案】解析:(1)，，，，，所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表数列．
(2)若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾；
当时,数列，满足，，，，，，，， ．
(3)，若最多有种，若，最多有种，所以最多有种，
若，则至多可表个数，矛盾,
从而若,则，至多可表个数，
而，所以其中有负的，从而可表1~20及那个负数(恰 21个)，这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为 ，
则所有数之和，，
，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个，
(仅一种方式)，
与2相邻，
若不在两端,则形式，
若，则(有2种结果相同，方式矛盾)，
， 同理 ，故在一端，不妨为形式，
若,则 (有2种结果相同，矛盾)，同理不行，
，则 (有2种结果相同，矛盾)，从而，
由于,由表法唯一知3,4不相邻,、
故只能，①或，②
这2种情形，
对①：，矛盾，
对②：，也矛盾，综上


3．(2019·上海·文理·第21题)数列有项，，对任意，存在，若与前项中某一项相等，则称具有性质.
(1)若，求可能的值；
(2)若不为等差数列，求证：中存在满足性质；
(3)若中恰有三项具有性质，这三项和为，使用表示.
【答案】(1)3,5,7；(2);(3)
【解析】(1)由题意，
①若具有性质，则
②若具有性质而不具有性质，则即；
③若不具有性质，则必有即；
此时若具有性质，则；若不具有性质，则
综上所述，可能的值为3、5、7
（2） 假设中不存在满足性质的项，即对任意均有；
下面数学归纳法证明，是等差数列；
①当时，成立；
②设当且时，；
则当时，因为不具有性质，故
而又存在故，，即；
综上所述，当中不存在满足性质的项时，时等差数列成立；
故其逆否命题：当不是等差数列时，中存在满足性质的项成立.
（3） 由题意，不妨设这三项为，其中;且
故数列为等差数列；为等差数列；
为等差数列，为等差数列；
若存在或或的情况
则去掉相应的、、每组等差数列的公差均为；
且、、
故当数列去掉这三项后，构成首项为，公差为，项数97项的等差数列；
故这97项的和；
故这100个数的和
4．(2019·江苏·文理·第20题)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“－数列”.
(1)已知等比数列满足：，求证:数列为“－数列”；
(2)已知数列{bn}满足:，其中为数列的前项和．
①求数列的通项公式；
②设为正整数，若存在“－数列” ，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值．
【答案】见解析
【解析】(1)设等比数列的公比为，所以，
由，得，解得．
因此数列为“M—数列”.
(2)①因为，所以
由得，则
由，得
当时，由，得
整理得．
所以数列是首项和公差均为1的等差数列.
因此，数列的通项公式为.
②由①知，，.
因为数列为“–数列”，设公比为，所以，.
因为，所以，其中.
当时，有；
当时，有．
设f(x)=，则．
令，得.列表如下：
x
(1，e)
e
(e，+∞)

+
0
–
f(x)

极大值

因为，所以．
取，当时，，即，
经检验知也成立．
因此所求的最大值不小于5．
若，分别取，得，且，从而，且，
所以不存在.因此所求的最大值小于6.
5．(2018年高考数学江苏卷·第26题)(本小题满分10分)设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s (1)求的值；
(2)求的表达式(用n表示)．
【答案】(1)2 5；(2)n≥5时，．
解析：(1)记为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有
，
所以．
对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，．
(2)对一般的n(n≥4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，所以．
逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以．
为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，．
当n≥5时，

，
因此，n≥5时，．
6．(2018年高考数学上海·第21题)(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与 “接近”．
(1)设是首项为1，公比为的等比数列，，，判断数列是否与接近，并说明理由；
(2)设数列的前四项为：，，，，是一个与接近的数列，记集合，求中元素的个数；
(3)已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，且在，，…，中至少有100个为正数，求的取值范围．
【答案】(1)接近；(2)3或4；(3)．
解析：(1)易得，．所以．
因为，所以．则对任意，都有．
所以与“接近”．
(2)由题设知，，，．
注意观察，，．
再考虑集合的特点以及“元素的互异性”知：
①各不相同时，；②时，此时必有与它们不同，则；
③时，此时必有与它们不同，则．
综上所述，或4．
(3)由题意知：，则．同理．
要使，则．(在左侧相交)．所以，即．因为是公差为的等差数列，所以．
7．(2014高考数学江苏·第20题)设数列的前项和为．若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“H数列”．
(1)若数列的前n项和(N)，证明: 是“H数列”；
(2)设是等差数列，其首项，公差．若 是“H数列”，求的值；
(3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得
(N)成立．
【答案】解析：(1)证明：由已知，当时，，于是对任意的正整数n，总存在正整数，使得，所以是“H数列”．
(2)解法一：由已知，得，因为是“H数列”，所以存在正整
数m，使得，即，于是．
因为，所以，故，从而．
当时，，是小于2的整数，．
于是对任意的正整数n，总存在正整数，使得，
所以是“H数列”，因此的值为．
解法二：由是首项为1的等差数列，则，，
又数列是“H数列”，不妨取时，存在满足条件的正整数，
使得，即，
(i)当时，此时，不符合题意，应舍去；
(ii)当时，不存在满足条件的；
(iii)当时，． 此时数列的通项公式为，
下面我们一起来验证为“H数列”:
；，此时，容易验证为正整数．
解法三：由题意设；又等差数列的前n项和；
由题意知对任意正整数，总存在正整数，使得，(*)；
那么随着的变化而变化，可设满足函数关系式．
又，那么要使(*)对任意自然数恒成立，则；
代入得：，即有；
又当时，，即，由此可以解得．
此时．
解法四：由是首项为1的等差数列，且数列是“H数列”，
则，又，所以，则，从而，
此时，，由得，为正整数，
从而数列是“H数列”．
(3)解法一：设等差数列的公差为，
则．
令，则．
下证是“H数列”．
设的前n项和为，则，
于是对任意的正整数n，总存在正整数，使得，所以是“H数列”．
同理可证也是“H数列”．
所以，对任意的等差数列，总存在两个“H数列” 和，使得成立．
解法二：由(2)的解答过程可知：等差数列中若时， 是“数列”，
则．
同理等差数列中若时，是“数列”，．
任意的等差数列，则可表示为．
令，，此时，．
所以对任意的等差数列，总存在两个等差“数列”和，
使得成立．
8．(2016高考数学上海文科·第22题)(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
对于无穷数列与，记，，若同时满足条件：①，均单调递增；②且，则称与是无穷互补数列．
(1)若=，=，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由；
(2)若=且与是无穷互补数列，求数列的前16项的和；
(3)若与是无穷互补数列，为等差数列且，求与得通项公式．
【答案】(1)与不是无穷互补数列；(2)；(3)，．
【解析】(1)因为，，所以，从而与不是无穷互补数列．
(2)因为，所以．
数列的前项的和为
．
(3)设的公差为，，则．
由，得或．
若，则，，与“与是无穷互补数列”矛盾；
若，则，，．综上，，．

9．(2016高考数学江苏文理科·第20题)记．对数列()和的子集，若，定义；
若，定义．例如：时，．
现设()是公比为的等比数列，且当时，．
(1)求数列的通项公式；
(2)对任意正整数()，若，求证：；
(3)设，，，求证：．
【答案】(1)；(2)(3)详见解析；
【官方解答】(1)由已知得．
于是当时，．
又，故，即．
所以数列的通项公式为．
(2)因为，，
所以，
因此，．
(3)下面分三种情况说明．
①若是的子集，则．
②若是的子集，则．
③若不是的子集，且不是的子集．
令，，则，，．
于是，，进而由得．
设为中的最大数，为中的最大数，则，，．
由(2)知，．于是，所以，即．
又，故．从而
，
故，所以，即．
综合①②③得，．
民间解答：(1)当时，
因此，从而，；
(2)；
(3)设，
则，，，
因此原题就等价于证明．
由条件可知．
①若，则，所以．
②若，由可知，设中最大元素为，中最大元素为
若，则由第⑵小题，，矛盾．
因为，所以，所以，
，即．
综上所述，，因此
题型六：数列中的证明问题
一、解答题

1．(2022新高考全国I卷·第17题) 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
解析：(1)∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,∴当时，，
∴,整理得：,
即,∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
(2)
∴
2．(2020年浙江省高考数学试卷·第20题) 已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．
(Ⅰ)若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与an的通项公式；
(Ⅱ)若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．
【答案】(I)；(II)证明见解析．
解析：(I)依题意，而，即，由于，所以解得，所以．
所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以．
所以()．
所以
(II)依题意设，由于，
所以，
故
．
所以
．
由于，所以，所以．
即，．
3．(2014高考数学江西文科·第17题) 已知数列的前项和．
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:对任意,都有,使得成等比数列．
【答案】(1)(2)详见解析．
分析:(1)由和项求通项,主要根据进行求解． 因为所以当时又时,所以(2)证明存在性问题,实质是确定要使得成等比数列,只需要,即．而此时,且所以对任意,都有,使得成等比数列．
解析:(1)因为所以当时又时,所以(2)要使得成等比数列,只需要,即．而此时,且所以对任意,都有,使得成等比数列．
4．(2020天津高考·第19题) 已知为等差数列，为等比数列，．
(Ⅰ)求和的通项公式；
(Ⅱ)记的前项和为，求证：；
(Ⅲ)对任意的正整数，设求数列的前项和．
【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)．
【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由，，可得．
从而的通项公式为．由，又，可得，解得，
从而的通项公式为．
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，
故，，
从而，所以．
(Ⅲ)当为奇数时，，
当为偶数时，，
对任意的正整数，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
从而得：．
因此，．所以，数列的前项和为．
5．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第18题)已知为等差数列，，记，分别为数列，前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
解析：(1)
设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是．
(2)
方法1：由(1)知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，．
方法2：由(1)知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，．
6．(2019·浙江·文理·第20题)设等差数列的前项和为，，．数列满足：对任意，，，成等比数列．
(Ⅰ)求数列，的通项公式；
(Ⅱ)记，，证明：，．
【答案】【意图】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力。满分15分。
【解析】(Ⅰ)设数列的公差为，由题意得 解得，，
从而，，所以，．
解法一：由，，成等比数列得，
解得，所以，．
解法二：由，，成等比数列得，两边同减去，得
，即，再两边同减去，得，所以，
即，所以，．
(Ⅱ)解法一：由于，
从而．
解法二：由于，．
我们用数学归纳法证明：
①当时，，不等式成立；
②假设时不等式成立，即．
则当时，

，
即时，不等式也成立．
根据①和②，不等式对任意成立．
7．(2018年高考数学江苏卷·第20题)(本小题满分16分)设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．
(1)设，若对均成立，求d的取值范围；
(2)若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围(用表示)．
【答案】解析：(1)由条件知：，，
因为对n=1，2，3，4均成立，
即对n=1，2，3，4均成立，
即1≤1，1≤d≤3，3≤2d≤5，7≤3d≤9，得．
因此，d的取值范围为．
(2)由条件知：，．
若存在d，使得(n=2，3，···，m+1)成立，
即(n=2，3，···，m+1)，
即当n=2，3，···，m+1时，d满足，
因为，则，
从而，，对n=2，3，···，m+1均成立，
因此，取d=0时，对n=2，3，···，m+1均成立．
下面讨论数列的最大值和数列的最小值(n=2，3，···，m+1)，
①当2≤n≤m时， ，
当时，有，从而，
因此，当时，数列单调递增，
故数列的最大值为．
①设，当时，，
所以单调递减，从而．
当时，，
因此，当时，数列单调递减，
故数列的最小值为．
因此，d的取值范围为，
8．(2014高考数学广东文科·第19题)设各项均为正数的数列的前和为,且满足 ．
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)证明:对一切正整数,有．
【答案】解：(1)令得：即
即
(2)由得：
从而
当时，
又
(3)解法一：当时，




解法二：以下略．
9．(2017年高考数学浙江文理科·第22题)已知数列满足:,．
证明:当时,
(Ⅰ);
(Ⅱ);
(Ⅲ)．
【答案】详见解析
【解析】
(1)当时,;
假设时,,
那么时,若,则矛盾,
故,即．
(2)由,得．
设函数
则,
故函数在上单调递增,于是有,
因此即．
(3),．
由(2)知,,则,
故．
综上,得证．
题型七：数列与其他知识交汇
一、 解答题

1．(2022新高考全国II卷·第17题) 已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．

【答案】(1)证明见解析；
(2)．
解析：(1)设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
（2） 由(1)知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
2．(2016高考数学课标Ⅱ卷文科·第17题) (本小题满分12分)等差数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如，．
【答案】(1);(2)前项和为．
【官方解答】(1)设数列的公差为，由题意有，．
解得，．所以的通项公式为．
(2)由(1)知，．
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以数列的前项和为．
【民间解答】(1)设等差数列的公差为
则由，可得，解得……………………4分
所以………………………………………………6分
(2)设数列的前项和为，又
所以

………………………………12分．
3．(2016高考数学四川文科·第19题) 已知数列的首项为1， 为数列的前n项和， ，其中，．
(Ⅰ)若 成等差数列，求的通项公式；
(Ⅱ)设双曲线 的离心率为， 且，求．
【答案】(1)；(2)．
解析：(1)由已知， 两式相减得到．
又由得到，故对所有都成立．
所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列． 从而．
由成等差数列，可得，所以，故．
所以．
(2)由(1)可知，．所以双曲线的离心率．
由解得．所以，

4．(2014高考数学四川文科·第19题) 设等差数列的公差为，点在函数的图像上．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)若，函数的图像在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和．
【答案】(1)详见解析；(2)．
解析:(1)由已知，．．
当时，．
所以，数列是首项为，公比为的等比数列．
(2)函数在点处的切线方程为，
其在轴上的截距为。
由题意知，，解得，
所以．
其前项和：①
两边乘以4得：②
①－②得：，所以，．
5．(2015高考数学江苏文理·第20题) 设是各项为正数且公差为的等差数列．
(1)证明：依次构成等比数列；
(2)是否存在，使得依次构成等比数列？并说明理由；
(3)是否存在及正整数，使得依次构成等比数列？并说明理由．
【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【答案】(1)详见解析(2)不存在(3)不存在
分析(1)根据等比数列定义只需验证每一项与前一项的比值都为同一个不为零的常数即可(2)本题列式简单，变形较难，首先令将二元问题转化为一元，再分别求解两个高次方程，利用消最高次的方法得到方程：，无解，所以不存在(3)同(2)先令将二元问题转化为一元，为降次，所以两边取对数，消去n,k得到关于t的一元方程，从而将方程的解转化为研究函数零点情况，这个函数需要利用二次求导才可确定其在上无零点
解析：(1)证明：因为(，，)是同一个常数，
所以，，，依次构成等比数列．
(2)令，则，，，分别为，，，(，，)．
假设存在，，使得，，，依次构成等比数列，
则，且．
令，则，且(，)，
化简得()，且．将代入()式，
，则．
显然不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，
因此不存在，，使得，，，依次构成等比数列．
(3)假设存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列，
则，且．
分别在两个等式的两边同除以及，并令(，)，
则，且．
将上述两个等式两边取对数，得，
且．
化简得，
且．
再将这两式相除，化简得()．
令，
则．
令，
则．
令，则．
令，则．
由，，
知，，，在和上均单调．
故只有唯一零点，即方程()只有唯一解，故假设不成立．
所以不存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列．
6．(2023年北京卷·第21题) 已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数．
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)证明：存在，满足 使得．
【答案】(1)，，，
(2)
(3)证明见详解
解析：(1)由题意可知：，
当时，则，故；
当时，则，故；
当时，则故；
当时，则，故；
综上所述：，，，．
(2)由题意可知：，且，
因为，则，当且仅当时，等号成立，
所以，
又因为，则，即，
可得，
反证：假设满足的最小正整数为，
当时，则；当时，则，
则，
又因为，则，
假设不成立，故，
即数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以．
(3)
(ⅰ)若，构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有
①若存在正整数，使得，即，
可取，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，使得；
(ⅱ)若，构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有．
①若存在正整数，使得，即，
可取，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，使得；
综上所述：存在使得．
7．(2014高考数学江西文科·第21题)将连续正整数从小到大排列构成一个数,为这个数的位数(如时,此数为,共有15个数字,),现从这个数中随机取一个数字,为恰好取到0的概率．
(1)求;
(2)当时,求的表达式;
(3)令为这个数中数字0的个数,为这个数中数字9的个数,,,求当时的最大值．
【答案】(1)(2)(3)
分析:(1)解概率应用题,关键要正确理解事件． 当时,这个数中有9个一位数,90个二位数,一个三位数,总共有192个数字,其中数字0的个数为9+2=11,所以恰好取到0的概率为(2)按(1)的思路,可分类写出的表达式:,(3)同(1)的思路,分一位数,二位数,三位数进行讨论即可,当当当即同理有
由可知,当时,当时,,当时,由关于k单调递增,故当,最大值为又,所以当时,最大值为
解析:(1)解:当时,这个数中总共有192个数字,其中数字0的个数为11,所以恰好取到0的概率为(2)(3)当当当即同理有
由可知所以当时,,当时,当时,,当时,由关于k单调递增,故当,最大值为又,所以当时,最大值为
8．(2015高考数学上海文科·第23题)(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
已知数列与满足．
(1)若，且，求的通项公式；
(2)设的第项是最大项，即，求证：的第项是最大项；
(3)设，求的取值范围，使得对任意，且．
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)；
解析：(1)由可得：，又，
所以数列为以1为首项，6为公差的等差数列，
即有．
(2)【法一】由可得：




将上述式子累加可得：，当时，左式也成立，
所以，由此可得，
由于为常数，所以当的第项是最大项时，最大，
即的第项是最大项；
【法二】任取，不妨设，
由可得
即，
∴，
同理可证当时，．
所以故对任意的，可得对任意的都有，
故的第项是其最大项．
(3)由和累加法可得，
即，
结合可得，
若对任意，且，则要求数列各项符号相同，且的最大项与最小项之比属于，分三种情况进行讨论：
①当时，则为偶数时，为奇数时，此情况不满足条件“数列各项符号相同”；
②当时，当足够大时，中奇数项为负，偶数项为正，不满足条件“数列各项符号相同”；
③当时，
此时为奇数时，为负，据题意要求为偶数时的也要恒为负，
由于中偶数项单调递减，所以只需最大项即可，解之；
又，
当为奇数时，上式为正；当为偶数时，上式为负，
即中数项递增，偶数项递减，
又和可得：，
故数列中小项为，最大项为，
∴的最大项与最小项之比为，
解之，
综上可得符合条件的．
9．(2015高考数学陕西文科·第21题)设
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)证明：在内有且仅有一个零点(记为)，且．
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析，详见解析．
分析：(Ⅰ)由题设，所以，此式等价于数列的前项和，由错位相减法求得；
(Ⅱ)因为，，所以在内至少存在一个零点，又，所以在内单调递增，因此，在内有且只有一个零点，由于，所以，由此可得，故，继而得．
解析：(Ⅰ)由题设，
所以 ①
由 ②
①②得，
所以
(Ⅱ)因为
，
所以在内至少存在一个零点，
又
所以在内单调递增，
因此，在内有且只有一个零点，
由于，
所以
由此可得
故
所以

题型八：数列的综合应用
一、 解答题

1．(2022年浙江省高考数学试题·第20题) 已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【答案】解析:(1)因为，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
(2)因为，，成等比数列，
所以，
，
，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又
所以
2.(2017年高考数学北京文科·第15题) 已知等差数列和等比数列满足
．
(1)求的通项公式; (2)求和:．
【答案】(1) ;(2)．
【解析】(1)设公差为, ,所以,所以．
(2)设的公比为,,所以,
所以是以为首项,为公比的等比数列,
所以．
3．(2018年高考数学北京（文）·第15题) 设是等差数列，且
(I)求的通项公式；
(II)求．
【答案】(I)；(II)
解析：(I)设等差数列的公差为，
∵，
∴，
又，∴．
∴．
(II)因为，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴．
∴．
4．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科·第17题) 已知等差数列的前项和为,等比数列的前项和为,,．
(1) 若,求的通项公式;
(2)若,求
【答案】 (Ⅰ);(Ⅱ)当时,．当时,．
【试题分析】(1)根据等差数列及等比数列通项公式,表示条件,得关于公差与公比的方程组,解方程组得公比,代入等比数列通项公式即可,(2)由等比数列前三项的和求公比,分类讨论,求公差,再根据等差前三项求和．
【试题解析】由题知:．
(1)或 (舍去)
所以: ．
(2) 因为,所以:,解得:．
当时,又,所以:．
此时,;
当时,又,所以:．
此时,．
5.(2018年高考数学天津（文）·第18题) (本小题满分13分)设是等差数列，其前项和为；是等比数列，公比大于0，其前项和为．
已知．
(1)求和；
(2)若，求正整数的值．
【答案】解析：(1)设等比数列的公比为，由，可得．
因为，可得，故，所以．
设等差数列的公差为．由，可得．由，可得 从而，故，所以．
(2)由(1)，知
由可得，
整理得 解得(舍)，或．所以的值为4．
6.(2014高考数学安徽文科·第18题) (本小题满分12分)数列满足，
，．
(Ⅰ)证明：数列是等差数列；
(Ⅱ)设，求数列的前项和．
【答案】解：(Ⅰ)证：由已知可得，即，
所以是以为首项，1为公差的等差数列．
(Ⅱ)解：由(I)得，所以． 从而，
． ①
． ②
①②得
所以．
7．(2015高考数学浙江文科·第17题) (本题满分15分)已知数列和满足，．
(1)求与；
(2)记数列的前项和为，求．
【答案】(1)；(2)
分析：(1)根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式；(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和．
解析：(1)由，得．
当时，，故．
当时，，整理得，
所以．
(2)由(1)知，
所以

所以
所以．
8．(2015高考数学天津文科·第18题) (本小题满分13分)已知是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且,．
(Ⅰ)求和的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和．
【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)
解析：
(Ⅰ)列出关于q与d的方程组,通过解方程组求出q,d,即可确定通项;(Ⅱ)用错位相减法求和．
试题解析:(Ⅰ)设的公比为q,的公差为d,由题意 ,由已知,有 消去d得 解得 ,所以的通项公式为, 的通项公式为．
(Ⅱ)由(Ⅰ)有 ,设的前n项和为 ,则


两式相减得
所以．
9．(2015高考数学湖北文科·第19题) (本小题满分12分)设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．
(Ⅰ)求数列，的通项公式；
(Ⅱ)当时，记，求数列的前项和．
【答案】解析：(Ⅰ)由题意有， 即，解得 或
故或．
(Ⅱ)由，知，，故，于是
， ①
． ②
①-②可得，
故．
10．(2017年高考数学天津文科·第18题) 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，
．
(Ⅰ)求和的通项公式；
(Ⅱ)求数列的前n项和．
【答案】(I)，；(II)．
【基本解法1】(Ⅰ)解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由已知，得，而，所以．又因为，解得．所以，．
由，可得．由，可得，联立①②，解得，由此可得．
所以，的通项公式为，的通项公式为．
【基本解法1】(Ⅱ)解：设数列的前项和为，由，有
，
，
上述两式相减，得
．
得．
所以，数列的前项和为．
【基本解法2】(II)考虑数列{n·2}的前n项和P，
设f(x)＝x+x+…+ x，则f(x)＝，两边求导得f ′(x)＝,
∴1·2+2·2+3·2+…+n·2==1+(n－1)·2，
∴T=12P－=(3n－4)·2+16．
【基本解法3】∵(6n－2)2=(3n－4)·2－(3(n－1)－4)·2,
∴T=(3×1－4)·2－(－4)·2+(3×2－4)·2－(3×1－4)·2+…+(3n－4)·2－(3(n－1)－4)·2=(3n－4)·2+16．
11．(2017年高考数学上海（文理科）·第19题) (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
根据预测,某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和(单位:辆),其中,,第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差．
(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量;
(2)已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量(单位:辆)．设在某月底,共享单车保有量达到最大,问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量?
【答案】(1);
(2),即第42个月底,保有量达到最大
,∴此时保有量超过了容纳量．
12．(2016高考数学山东文科·第19题) (本小题满分12分)已知数列的前项和，是等差数列，且．
(I)求数列的通项公式；
(II)令．求数列的前项和．
【答案】解析：(Ⅰ)由题意当时，
当时，
所以；
设数列的公差为，由，即，解之得
所以．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
又，即
所以
以上两式两边相减得

所以
13．(2016高考数学北京文科·第15题) 已知 是等差数列，是等差数列，且．
(Ⅰ)求的通项公式；
(Ⅱ)设 ，求数列的前 项和．
【答案】(1)(，，，)；(2)
解析：(Ⅰ)等比数列的公比，
所以，．
设等差数列的公差为．
因为，，
所以，即．
所以(，，，)．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，．
因此．
从而数列的前项和


．
14．(2023年天津卷·第19题) 已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)已知为等比数列，对于任意，若，则，
(Ⅰ)当时，求证：；
(Ⅱ)求的通项公式及其前项和．
【答案】(1)，；
(2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)，前项和为．
解析：(1)由题意可得，解得，
则数列的通项公式为，
求和得

．
(2)(Ⅰ)由题意可知，当时，，
取，则，即，
当时，，
取，此时，
据此可得，
综上可得：．
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
据此猜测，
否则，若数列的公比，则，
注意到，则不恒成立，即不恒成立，
此时无法保证，
若数列的公比，则，
注意到，则不恒成立，即不恒成立，
此时无法保证，
综上，数列的公比为，则数列的通项公式为，
其前项和为：．
15．(2021年高考浙江卷·第20题)已知数列前n项和为，，且．
(1)求数列通项；
(2)设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求的范围．
【答案】(1)；(2)．
解析:(1)当时，，，
当时，由①，得②，①②得
，又是首项为，公比为的等比数列，
；
(2)由，得，
所以，
，
两式相减得

，
所以，由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以．
16．(2014高考数学上海文科·第23题)已知数列满足，，．
(1)若，，，求的取值范围；
(2)若是等比数列，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应的公比；
(3)若成等差数列，求数列的公差的取值范围．
【答案】解析：(1)由条件得且，解得．
所以的取值范围是[3,6]．……3分
(2)设的公比为．由，且，得．
因为，所以．
从而，，解得．……7分
时，．
所以，的最小值为8，时，的公比为．……9分
(3)设数列的公差为．
则，，．
①当时，，所以，即．……12分
②当时，，符合条件．……14分
③当时，，所以，
，又，所以．
综上，的公差的取值范围为．……18分