十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（理科）专题09三角函数填空题（理科）（Word版附解析）

这是一份十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（理科）专题09三角函数填空题（理科）（Word版附解析），共25页。试卷主要包含了已知命题若为第一象限角，且，则，的值是________，已知，，则的值为_______，若 则______等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-1" \h \u 题型一：三角函数的概念 PAGEREF _Tc7254 \h 1
题型二：三角恒等变换2
题型三：三角函数的图像与性质7
题型四：正余弦定理13
题型五：三角函数的综合应用20
题型一：三角函数的概念
1．(2020年浙江省高考数学试卷·第14题)已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为_______．
【答案】1
解析：设圆锥底面半径为，母线长为，则
，解得．
2．(2021高考北京·第14题)若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___．
【答案】(满足即可)
解析：与关于轴对称，即关于轴对称，
，则，当时，可取的一个值为．
故答案为：(满足即可)．
3．(2023年北京卷·第13题)已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________．
【答案】①． ②．
解析：因为在上单调递增，若，则，
取，
则，即，
令，则，
因为，则，
即，则．
不妨取，即满足题意．
故答案为：．
4．(2020年浙江省高考数学试卷·第13题)已知，则________；______．
【答案】(1)． (2)．
解析：，
，
5．(2014高考数学陕西理科·第13题)设，向量，若∥，则_______．
【答案】
解析: ，,因为，所以，
，即．
题型二：三角恒等变换
1．(2022年浙江省高考数学试题·第13题)若，则__________，_________．
【答案】 ①． ②．
解析:，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则．
故答案为：；．
2．(2020江苏高考·第8题)已知 ，则的值是____．
【答案】
【解析】
,故答案为：
3．(2019·江苏·第13题)已知，则的值是 .
【答案】
【解析】法1：，解得，或.
所以＝
＝＝.
法2：令，则，即，
解得，所以.
4．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第15题)已知，，则__________．
【答案】
解析：因为，
所以，，
相加得，所以．
5．(2014高考数学江苏·第5题) 已知函数与()，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是 ．
【答案】
解析：由题意，即，所以或，即或．又，所以．
6．(2015高考数学四川理科·第12题)的值是________
【答案】．
解析：法一、．
法二、．
法三、．
7．(2015高考数学江苏文理·第8题)已知，，则的值为_______．
【答案】3
解析：
8．(2017年高考数学江苏文理科·第5题)若 则______．
【答案】
解析:,故答案为．
9．(2017年高考数学北京理科·第12题)在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称．若,则___________．
【答案】
【解析】因为和关于轴对称,所以,那么,,
这样．
【
10．(2016高考数学浙江理科·第10题)已知，则 ， ．
【答案】
【命题意图】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的基本性质等知识，意在考查学生的运算求解能力．
解析：由于，所以，．
11．(2016高考数学四川理科·第11题) _________．
【答案】
【解析】．
12．(2016高考数学上海理科·第7题)方程在区间上的解为___________．
【答案】，
解析：，即，所以，解得或(舍去)，所以在区间上的解为．
13．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第13题)的内角的对边分别为，若，，，则 ．
【答案】
【解析】由平方关系可得：
所以
再由正弦定理得：．
14．(2016高考数学江苏文理科·第14题)在锐角三角形中，，则的最小值是 ．
【答案】8．
解析：法1：由，，
可得(*)，
由三角形为锐角三角形，则，
在(*)式两侧同时除以可得，
又，
则，
由可得，
令，由为锐角可得，
由(#)得，解得
，
，由则，因此最小值为，当且
仅当时取到等号，此时，，解得
(或互换)，此时均为锐角．
法2：同法1得到
故
因为三角形为锐角三角形，所以
，
所以有，
当且仅当取到等号时为直角三角形，故
其中令
则当且仅当时取到等号
故
法3：同法2得到
易知
所以，．
15．(2017年高考数学上海(文理科)·第15题)设、,且,则的最小值等于 ．
【答案】1
【解析】，，∴，即，∴，，．
题型三：三角函数的图像与性质
1．(2021年高考全国甲卷理科·第16题)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
【答案】2
解析：由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以．
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2．

方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2．
故答案为：2．
【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解．
2．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第16题)关于函数f(x)=有如下四个命题：
①f(x)的图像关于y轴对称．
②f(x)的图像关于原点对称．
③f(x)的图像关于直线x=对称．
④f(x)的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
解析：对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误．
故答案为：②③．
【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题．
3．(2020江苏高考·第10题)将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是____．
【答案】
【解析】,,
当时,故答案为：
4．(2020北京高考·第14题)若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．
【答案】(均可)
【解析】因为，
所以，解得，故可取．故答案为：(均可)．
5．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第15题)记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
【答案】3
解析：因为，(，)
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
6．(2019·北京·理·第9题)函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
【答案】．
【解析】函数，周期为．
7．(2018年高考数学江苏卷·第7题)已知函数的图象关于直线对称，则的值是 ．
【答案】
解析：由题意可得，所以，，因为，所以．
8．(2018年高考数学北京(理)·第11题)设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为
__________．
【答案】
解析：∵对任意的实数都成立，∴为的最大值，∴，
解得，又∵，∴的最小值为．
9．(2014高考数学上海理科·第12题)设常数使方程在闭区间上恰有三个解，则．
【答案】
解析:三角方程在一个周期内的解至多有两个，所以原方程在闭区间恰有三个解可知，，即，解三角方程，可得．
10．(2014高考数学上海理科·第1题)函数的最小正周期是_____________．
【答案】
解析:,则．
11．(2014高考数学课标2理科·第14题)函数的最大值为_________．
【答案】1
解析：
所以最大值为1
12．(2014高考数学北京理科·第14题)设函数( 是常数，)． 若在区间上具有单调性，且, 则的最小正周期为 ．
【答案】
解析： 结合图像得，即T＝π．
13．(2014高考数学安徽理科·第11题)若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是 ．
【答案】
解析：由题意可得平移后所得函数的解析式为，，
所以．故的最小正值为．
14．(2015高考数学浙江理科·第11题)函数的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．
【答案】，，．
解析：
，故最小正周期为，单调递减区间为
，．
15．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第14题)函数()的最大值是 ．
【答案】1
【命题意图】本题考查三角函数同角基本关系及函数性质—最值，意在考查考生转化与化归思
想和运算求解能力
【解析】解法一：换元法
∵ ，
∴
设，，∴
函数对称轴为，∴
16．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第15题)函数在的零点个数为 ．
【答案】
解析：由，，解得，
由即
由，可得，故函数在的零点个数为．
17．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题)函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到.
【答案】
【解析】因为，
，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到.
18．(2016高考数学江苏文理科·第9题)定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是 ．
【答案】7．
解析：画出函数在上图象草图，可以发现共7个交点．
题型四：正余弦定理
1．(2021年高考全国乙卷理科·第15题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
【答案】
解析：由题意，，
所以，
所以，解得(负值舍去)．
故答案为：．
2．(2021年高考浙江卷·第14题)在中，，M是中点，，则___________，___________．
【答案】(1)． (2)．
解析:由题意作出图形，如图，
在中，由余弦定理得，
即，解得(负值舍去)，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以；
在中，由余弦定理得．
故答案为；．
3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第16题)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cs∠FCB=______________．
【答案】
【解析】，，，
由勾股定理得，
同理得，，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
在中，，，，
由余弦定理得．
故答案为：．
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题．
4．(2019·浙江·第14题)在中，，，，点在线段上．若，则 ， ．
【答案】，
【解析】由题可得，，由正弦定理得，解得，所以
．
5．(2019·全国Ⅱ·理·第15题)的内角，，的对边分别为，，.若，，，则的面积为 ．
【答案】
【解析】由余弦定理得，所以，即，
解得(舍去)，所以，
【点评】本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．
6．(2018年高考数学浙江卷·第13题)在中，角所对的边分别为，若，则 ， ．
【答案】，3
解析： ，，代入，整理得，解得．
7．(2014高考数学天津理科·第12题)在中,内角所对的边分别是．已知,,则的值为_________．
【答案】
解析:由已知得,因为．不妨设,所以,所以
．
8．(2014高考数学四川理科·第13题)如图，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46m，则河流的宽度约等于 m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据： )
【答案】
解析：，
9．(2014高考数学山东理科·第12题)在中，已知，当时，的面积为 ．
【答案】
解析：由得，所以
．
10．(2014高考数学课标1理科·第16题)已知分别为的三个内角的对边,=2,且,则面积的最大值为__________．
【答案】
解析:由且 ,
即,由及正弦定理得:
∴,故,∴,∴
,∴,
11．(2014高考数学广东理科·第12题)在中，角所对应的边分别为，已知，则
【答案】．
解析：法一：角化边．，化简即可．
法二：边化角，角化边．
12．(2014高考数学江苏·第14题)若△的内角满足，则的最小值是 ．
【答案】
解析：由正弦定理得，由余弦定理结合基本不等式有：
，当且仅当时等号成立．
13．(2014高考数学福建理科·第12题)在中，则的面积等于__________．
【答案】．
解析：∵中，，，，由正弦定理得：，
∴，解得，，，
∴．故答案为：．
14．(2015高考数学重庆理科·第13题)在中，，，的角平分线,则_______．
【答案】
解析：由正弦定理得，即，解得，，从而，所以，．
15．(2015高考数学新课标1理科·第16题)在平面四边形中，，B，则的取值范围是 ．
【答案】(，)
解析：如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为(，)．
16．(2015高考数学天津理科·第13题)在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则的值为 ．
【答案】
解析：因为，所以，
又，解方程组得，由余弦定理得
，所以．
17．(2015高考数学广东理科·第11题)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c．若，，，则 ．
【答案】1
解析：因为且，所以或，又，所以，
，又，由正弦定理得即，解得：，故应填入1．
18．(2015高考数学福建理科·第12题)若锐角的面积为 ，且 ，则 等于________．
【答案】
解析：由已知得的面积为，所以，，所以．由余弦定理得，．
19．(2015高考数学北京理科·第12题)在中，，，，则 ．
【答案】1
解析：
20．(2017年高考数学浙江文理科·第14题)已知,,点为延长线上一点,,连结,
则的面积是_______,_______．
【答案】 ,
【解析】取中点为,,,所以的面积为．又,
,解得．

21．(2017年高考数学浙江文理科·第11题)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率,理论上能把的值计算到任
意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”,将的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积,_______．
【答案】
【解析】．

22．(2016高考数学上海理科·第9题)已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于_________．
【答案】
解析：由已知，利用余弦定理可求得
所以，由正弦定理得，所以．
题型五：三角函数的综合应用
1．(2023年全国甲卷理科·第16题)在中，，的角平分线交BC于D，则_________．
【答案】
解析：
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
故答案为：．
2．(2016高考数学上海理科·第13题)设，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为 ．
【答案】4
解析：当时，，
又，
注意到，所以只有2组：， 满足题意；
当时，同理可得出满足题意的也有2组，故共有4组．
3．(2022年浙江省高考数学试题·第17题)设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
【答案】
解析:以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则,，设,于是，
因为，所以，故的取值范围是．
故答案为：．
2．(2014高考数学浙江理科·第17题)如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则tan θ的最大值是__________．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)
【答案】
解析：
过P作，交于P′，连接，则=，
设，则由，得
在直角中，
∴
令，则函数在单调递减，
∴时，取得最大值为=．
若P′在CB的延长线上，，
在直角中，
∴
令，则可得时，函数取得最大值，
故答案为：．
5．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第15题)已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．
【答案】
解析：因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：．
6．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第16题)已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．

【答案】
解析：设，由可得，
由可知，或，，由图可知，
，即，．
因为，所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，．
故答案为：．
7．(2015高考数学湖北理科·第13题)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m．
【答案】
解析：依题意，，，在中，由，
所以，因为，由正弦定理可得，即m，
在中，因为，，所以，所以m．
8．(2015高考数学上海理科·第13题)已知函数若存在满足，且，则的最小值为 ．
【答案】
解析：对任意的，，
欲使取最小值，尽可能多的让取最值点，考虑到，，按照下图所示取值可以满足条件
所以的最小值为8；