上海市进才中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试卷

进才中学2023学年第一学期高三年级数学开学考

2023.9

一、填空题（本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)

1.已知集合,则         .

2.已知幂函数过点,则函数的解析式是       .

3.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竟赛,他们取得的成绩（满分100分)的茎叶图如图所示,其中甲班学生成绩的平均分是86,乙班学生成绩的中位数是83,则的值为       .

4.复数满足,其中为虚数单位,则的最大值为       .

5.若随机变量,且,则的值是       .

6.(为正整数)的二项展开式中,若第三项与第五项的系数相等,则展开式中的常数项为       .

7.已知,则的最小值为       .

8.长时间玩手机可能影响视力,据调查,某校学生大约的人近视,而该校大约有的学生每天玩手机超过,这些人的近视率约为,现从该校近视的学生中任意调查一名学生,则他每天玩手机超过的概率为       .

9.已知是抛物线的焦点,是抛物线上一动点,是曲线上一动点,则的最小值为10.已知,将数列与数的公共项从小到大排列得到新数列

       .

11.已知函数,直线是的两条切线,相交于点,若,则点横坐标的取值范围是       .

12.已知单位向量满足,则对任意的最小值为       .

二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)

13.“”是“直线与直线平行”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

14.从中随机取一个数,这个数比大的概率为,若为上述数据中的第百分位数,则的取值可能为（）

A.50  B.60  C.70  D.80

15.已知圆锥(是底面圆的圆心,是圆锥的顶点)的母线长为,高为为底面圆周上任意两点.有以下三个结论:

(1)三角形面积的最大值为2;

(2)三棱锥体积的最大值为;

(3)四面体外接球表面积的最小值为.

以上所有正确结论的个数为()

A.0 B.1 C.2 D.3

16.如图直线以及三个不同的点,其中,设,直线的一个方向向量的单位向量是,下列关于向量运算的方程甲:

其中是否可以作为关于直线对称的充要条件的方程(组),下列说法正确的是()

A.甲乙都可以

B.甲可以,乙不可以

C.甲不可以,乙可以

D.甲乙都不可以

三、解答题（本大题共5题,满分78分)

17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)

如图,三棱锥的底面为等腰直角三角形,,点在线段上,.分别为的中点,平面.

(1)求证:面面.

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

18.(本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分)

全国中学生生物学竟赛隆重举行.为做好考试的评价工作,将本次成绩转化为百分制,现从中随机抽取了50名学生的成绩,经统计,这批学生的成绩全部介于40至100之间,将数据按照分成6组,制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中的值,并估计这50多学生成绩的中位数;(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在,[80,90,[的三组中抽取了11人,再从这11人中随机抽取3人,记为3人中成绩在的人数,求的分布列和数学期望;

19.(本题满分14分,第1小题满分4分,第2小题满分4分,第3小题满分6分)若数列满足(为正整数,为常数),则称数列为等方差数列,为公方差.

(1)已知数列的通项公式分别为,判断上述两个数列是否为等方差数列,并说明理由;

(2)若数列是首项为1,公方差为2的等方差数列,数列满足,且,求正整数的值;

(3)在(1)、(2)的条件下,若在与之间依次插入数列中的项构成新数列,求数列中前50项的和.

20.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)

如图所示,在平面直角坐标系中,栯圆的左,右焦点外别为,设是第一象限内上的一点,的延长线分别交于点.

(1)求的周长;

(2)求面积的取值范围;

(3)设分别为的内切圆半径,求的最大值.

21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)已知函数.

(1)当时,求函数图象过点的切线方程;

(2)当时,既存在极大值,又存在极小值,求实数的取值范围;

(3)当时,分别为的极大值点和极小值点,且,求实数的取值范围.