河北省保定市保定市部分高中2024届高三上学期开学数学试题

高三数学考试

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 复数z的虚部为1，且，则z＝（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 若，则＝（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 函数的图象在点处的切线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

6. 已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 一个封闭的圆锥形容器内装水若干，如图①所示，锥体内的水面高度为，将锥顶倒置，如图②所示，水面高度为，已知该封闭的圆锥形容器的高为h，且，忽略容器的厚度，则（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知正项等差数列前项和为，若，则（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 某公司统计了2023年1月至6月的月销售额（单位：万元），并与2022年比较，得到同比增长率数据，绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是（    ）

注：同比增长率=（今年月销售额一去年同期月销售额）÷去年同期月销售额．

A. 2023年1月至6月的月销售额的极差为8

B. 2023年1月至6月的月销售额的第60百分位数为8

C. 2023年1月至6月的月销售额的中位数为9.5

D. 2022年5月的月销售额为10万元

10. 已知函数的定义域为，则（    ）

A.  B.

C. 是奇函数 D. 是偶函数

11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明代科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为10的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，以筒车的中心为原点，线段所在的直线分别为轴建立如图所示的直角坐标系（为圆上的点），分别用表示秒后两点的纵坐标，则下列叙述正确的是（    ）

A. 将函数的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象

B. 函数的最大值为50

C. 函数在上单调递减

D. 当时，不等式

12. 如图，在正方体中，，点分别为中点，点满足，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，则四面体的体积为定值

B 若，则平面

C. 平面截正方体所得的截面的周长为

D. 若，则四面体外接球的表面积为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13. 已知向量，，若，则______.

14. 位于数轴上的粒子A每次向左或向右移动一个单位长度，若前一次向左移动一个单位长度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为，若前一次向右移动一个单位长度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为，若粒子A第一次向右移动一个单位长度的概率为，则粒子A第二次向左移动的概率为______.

15. 已知实数满足，则的最大值为_________．

16. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线与交于两点（点A在第一象限），延长交于点，若，则双曲线的离心率为_________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知为正项等比数列，记为数列的前项和，，.

（1）求的通项公式；

（2）求.

18. 已知的内角的对边分别为，且．

（1）求外接圆的面积；

（2）记内切圆的半径为，若，求的面积．

19. “摸奖游戏”是商场促销最为常见形式之一，某摸奖游戏的规则如下：第一次在装有2个红球、2个白球的A袋中随机取出2个球，第二次在装有1个红球、1个白球、1个黑球的B袋中随机取出1个球，两次取球相互独立，两次取球合在一起称为一次摸奖，取出的3个球的颜色与获得的积分对应如下表.

（1）设一次摸奖中所获得的积分为X，求X的分布列和期望；

（2）记甲在这次游戏获得0积分为事件M，甲在B袋中摸到黑球为事件N，判断事件M，N是否相互独立，并说明理由.

20. 如图，在正四棱台中，.

（1）证明：；

（2）若正四棱台高为3，过的平面α与平行，求平面α与平面夹角的余弦值.

21. 已知椭圆：的右顶点为，点在圆：上运动，且的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）不经过点的直线与交于，两点，且直线和的斜率之积为1.求直线被圆截得的弦长.

22. 已知函数，，是的导函数.

（1）证明：存在唯一零点；

（2）若关于x的不等式有解，求a的取值范围.

高三数学考试

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

【1题答案】

【答案】A

【2题答案】

【答案】D

【3题答案】

【答案】B

【4题答案】

【答案】D

【5题答案】

【答案】C

【6题答案】

【答案】D

【7题答案】

【答案】B

【8题答案】

【答案】D

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

【9题答案】

【答案】ACD

【10题答案】

【答案】ABC

【11题答案】

【答案】BD

【12题答案】

【答案】BD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

【13题答案】

【答案】##

【14题答案】

【答案】

【15题答案】

【答案】

【16题答案】

【答案】

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

【17题答案】

【答案】（1）   

（2）

【18题答案】

【答案】（1）   

（2）

【19题答案】

【答案】（1）分布列见解析，   

（2）不相互独立，理由见解析

【20题答案】

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【21题答案】

【答案】（1）   

（2）4

【22题答案】

【答案】（1）证明见解析   

（2）