2023新教材高中物理第二章匀变速直线运动的研究专题2匀变速直线运动规律的综合应用作业新人教版必修第一册

这是一份2023新教材高中物理第二章匀变速直线运动的研究专题2匀变速直线运动规律的综合应用作业新人教版必修第一册，共14页。
专题二　匀变速直线运动规律的综合应用


1．匀变速直线运动公式的深入理解
(1)匀变速直线运动公式中物理量的独立性
匀变速直线运动公式共涉及v0、v、a、t、x 5个物理量，其中只有v＝v0＋at、x＝v0t＋at2是独立的基本公式，其他公式都可由这两个公式导出。5个物理量v0、v、a、t、x中，若知道其中任意3个物理量，就可解出其余2个物理量，即v0、v、a、t、x只有3个量是独立的。若给出的物理量多于3个，就要判断哪个是多余的。
(2)四个常用公式的比较

一般形式
特殊形式(v0＝0)
不涉及的物理量
速度与时间的关系式
v＝v0＋at
v＝at
x
位移与时间的关系式
x＝v0t＋at2
x＝at2
v
速度与位移的关系式
v2－v＝2ax
v2＝2ax
t
平均速度求位移公式
x＝t
x＝t
a
(3)解答匀变速直线运动问题时公式的巧选
①如果题目中无位移x，也不需要求位移，一般选用速度与时间的关系式v＝v0＋at；
②如果题目中无末速度v，也不需要求末速度，一般选用位移与时间的关系式x＝v0t＋at2；
③如果题目中无运动时间t，也不需要求运动时间，一般选用导出公式v2－v＝2ax；
④如果题目中没有加速度a，也不需要求加速度，用公式x＝t计算比较方便。
2．运动学图像
(1)x­t图像与v­t图像的比较
　　分类
项目　　
x­t图像
v­t图像
物理意义
反映的是位移随时间的变化规律
反映的是速度随时间的变化规律
轴
纵轴为位移x
纵轴为速度v
斜率
表示速度
表示加速度
纵截距
表示初位置
表示初速度
面积
无实际意义
图线与时间轴围成的面积表示位移
线
倾斜直线表示匀速直线运动
倾斜直线表示匀变速直线运动
特殊点
拐点表示对应时刻速度变化，交点表示对应时刻相遇
拐点表示对应时刻加速度变化，交点表示对应此时刻速度相等
(2)非常规图像
除了常见的x­t图像和v­t图像，有时还会遇到a­t图像、v2­x图像、­t图像等。对于这类非常规图像，首先弄清坐标轴的意义，然后结合匀变速直线运动的相关公式进行分析。
3．解决匀变速直线运动问题的常用方法
常用方法
方法解读
基本
公式法
v＝v0＋at，x＝v0t＋at2，v2－v＝2ax，应用时要注意公式的矢量性，一般以v0的方向为正方向
平均
速度法
＝，对任何运动都适用；＝v＝(v0＋v)，只适用于匀变速直线运动
位移
差法
任意两个连续相等时间间隔T内的位移之差是一个常量，即Δx＝xn＋1－xn＝aT2；对于不相邻的两段位移xm－xn＝(m－n)aT2
逆向
思维法
例如末速度为零的匀减速直线运动反向可以看作初速度为零的匀加速直线运动
比例法
对于初速度为零的匀加速直线运动或末速度为零的匀减速直线运动，可利用比例法求解
图像法
应用v­t图像可把复杂的物理问题转化为较为简单的数学问题解决，尤其是用图像定性分析，可避免繁杂的计算，快速求解
4．追及与相遇问题
两物体在同一直线上运动，它们之间的距离发生变化时，可能出现距离最大、距离最小或者距离为零的情况，这类问题称为追及和相遇问题，分析追及和相遇问题的实质是分析两物体能否在同一时刻到达同一位置。
(1)分析追及问题要抓住一个条件、两个关系
一个临
界条件
两者速度相等往往是物体间能否追上、两者距离最大或最小的临界条件，是分析判断问题的切入点
两个
关系
即时间关系和位移关系。可结合题意通过画草图分析确定这两个关系
(2)能否追上的判断方法
①物理分析法：审明题意、挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情景示意图，找出运动时间、位移的关系。若物体B追赶物体A，开始时，两个物体相距x0；
a．若vA＝vB时，xA＋x0≤xB，则能追上；
b．若vA＝vB时，xA＋x0＞xB，则不能追上。
②图像法：将两者的v­t图像画在同一坐标系中，然后利用图像分析求解。
③数学分析法：设从开始至相遇时间为t，根据条件列出两者的位移关系方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即t有两个解，说明可以相遇两次，若Δ＝0，说明刚好能追上或相遇；若Δ＜0，说明追不上或不能相碰。
(3)相遇问题
①同向运动的两物体追及即相遇。
②相向运动的两物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。
特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，要注意分析被追上前该物体是否已经停止运动。


　 　 　　　　　　　 　　　　　 　　　　
典型考点一　匀变速直线运动公式的灵活选用
1．一滑雪运动员从85 m长的山坡上匀加速滑下，初速度是1.8 m/s，末速度是5.0 m/s，滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间？
答案　25 s
解析　解法一：利用速度与时间的关系式和位移与时间的关系式求解
v＝v0＋at，
x＝v0t＋at2
联立并代入数据解得t＝25 s。
解法二：利用位移与速度的关系式和速度与时间的关系式求解
由v2－v＝2ax
得a＝＝0.128 m/s2
由v＝v0＋at
得t＝＝25 s。
解法三：利用平均速度求位移的公式求解
由x＝t
得t＝＝25 s。
2．一滑块自静止开始从斜面(足够长)顶端匀加速下滑，第5 s末的速度是6 m/s，试求：
(1)第4 s末的速度；
(2)运动后5 s内的位移；
(3)第5 s内的位移。
答案　(1)4.8 m/s　(2)15 m　(3)5.4 m
解析　(1)滑块的加速度：
a＝＝ m/s2＝1.2 m/s2
第4 s末的速度：
v4＝at′＝1.2×4 m/s＝4.8 m/s。
(2)解法一：由x＝at2得：
x＝×1.2×52 m＝15 m。
解法二：由x＝·t得：
x＝×5 m＝15 m。
解法三：由v2＝2ax得：
x＝＝ m＝15 m。
(3)解法一：第5 s内的位移等于前5 s内的位移减去前4 s内的位移：
Δx＝x－at′2＝15 m－×1.2×42 m＝5.4 m。
解法二：Δx＝Δt＝×1 m＝5.4 m。
解法三：由v2－v＝2a·Δx得：
Δx＝＝ m＝5.4 m。
典型考点二　运动学图像
3. 如图所示为一质点从t＝0时刻开始，做初速度为零的匀加速直线运动的位移—时间图像，图中虚斜线为t＝4 s时对应的图像中的点的切线，交时间轴于t＝2 s处，由此可知该质点做匀加速运动的加速度为(　　)

A．2 m/s2 B． m/s2
C． m/s2 D． m/s2
答案　B
解析　由题图可知，t＝4 s时图像的切线的斜率即该时刻的速度，为v＝2 m/s，故加速度a＝＝ m/s2，B正确。
4. 某物体沿水平方向运动，其v­t图像如图所示，规定向右为正方向，下列判断正确的是(　　)

A．在0～1 s内，物体做曲线运动
B．在1～2 s内，物体向左运动，且速度在减小
C．在1～3 s内，物体的加速度方向向左，大小为4 m/s2
D．在3 s末，物体处于出发点左方
答案　C
解析　v­t图线描述的一定是直线运动，在0～1 s内，虽然图线是曲线，但是物体做的是直线运动，A错误；在1～2 s内，物体向右运动，且速度在减小，B错误；在1～3 s内，物体的加速度a＝ m/s2＝－4 m/s2，负号表示加速度方向向左，加速度大小为4 m/s2，C正确；由题图可知，0～3 s内物体的位移为正值，故在3 s末，物体处于出发点右方，D错误。
典型考点三　解决匀变速直线运动问题的常用方法
5. 物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为l，到达斜面最高点C时速度恰好为零，如图。已知物体运动到距斜面底端l处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间。

答案　t
解析　解法一：逆向思维法
物体向上匀减速冲上斜面至速度为零，逆向可看作从速度为零匀加速滑下斜面
故xBC＝，xAC＝，
又xBC＝
由以上三式解得tBC＝t。
解法二：基本公式法
因为物体沿斜面向上做匀减速直线运动，设物体从B滑到C所用的时间为tBC，由匀变速直线运动的规律可得
v＝2axAC①
v＝v－2axAB②
xAB＝xAC ③
由①②③式解得vB＝④
又vB＝v0－at⑤
vB＝atBC⑥
由④⑤⑥式解得tBC＝t。
解法三：位移比例法
对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
因为xCB∶xBA＝∶＝1∶3，而通过xBA的时间为t，所以通过xBC的时间tBC＝t。
解法四：中间时刻速度法
在匀变速直线运动中，中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度，AC＝＝，又v＝2axAC，v＝2axBC，xBC＝。由以上各式解得vB＝＝AC，因此B点是这段位移的中间时刻位置，因此有tBC＝t。
解法五：图像法
根据匀变速直线运动的规律，作出v­t图像，如图所示，利用相似三角形的规律，面积之比等于对应边的平方比，

得＝，
又＝，OD＝t，
OC＝t＋tBC，
所以＝，解得tBC＝t。
解法六：时间比例法
对于初速度为零的匀加速直线运动，通过连续相等的各段位移所用的时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)。

现将整个斜面分成长度相等的四段，如图所示，设通过BC段的时间为tx，那么通过BD、DE、EA的时间分别为tBD＝(－1)tx，tDE＝(－)·tx，tEA＝(2－)tx，又tBD＋tDE＋tEA＝t，解得tx＝t。
典型考点四　追及相遇问题
6. 甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标。在如图描述两车运动的v­t图像中，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20 s的运动情况。关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是(　　)

A．在0～10 s内两车逐渐靠近
B．在10～20 s内两车逐渐远离
C．在t＝10 s时两车在公路上相遇
D．在5～15 s内两车的位移相等
答案　D
解析　在0～10 s内，乙车在甲的前方，而且乙的速度大于甲的速度，则两车逐渐远离，故A错误；在10～20 s内，乙车在甲的前方，乙的速度小于甲的速度，则两车逐渐靠近，故B错误；根据v­t图线和时间轴围成的“面积”等于物体的位移大小，可以看出在t＝10 s时乙车的位移大于甲车的位移，在t＝0时刻两车又在同一位置出发，所以在t＝10 s时两车没有相遇，故C错误；在5～15 s内两车v­t图线与时间轴围成的“面积”相等，则通过的位移相等，故D正确。
7．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始行驶。恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
(2)什么时候汽车追上自行车？此时汽车的速度是多少？
答案　(1)2 s　6 m　(2)4 s末　12 m/s
解析　解法一：物理分析法
(1)当两车的速度相等时，两车之间的距离Δx最大。
由v汽＝at＝v自得t＝＝2 s
则Δx＝v自t－at2＝6 m。
(2)从自行车超过汽车，到汽车追上自行车时，两车位移相等，则
v自t′＝at′2，
解得t′＝4 s
此时汽车的速度v汽′＝at′＝12 m/s。
解法二：数学分析法
(1)设经时间t，汽车与自行车相距为Δx，则
Δx＝x自－x汽＝v自t－at2＝－(t－2)2＋6
显然，当t＝2 s时，Δxmax＝6 m。
(2)当Δx＝0时，汽车追上自行车，
则有t1′＝0(舍去)或t2′＝4 s
此时汽车的速度v汽＝at2′＝12 m/s。
解法三：图像法
作出v­t图像，如图所示。

(1)可以看出，t＝2 s时两车速度相等，且此时两车相距最远，两车的位移差Δx＝×6×2 m＝6 m。
(2)由图知，t＝2 s后，若两车位移相等，即v­t图线与时间轴所围面积相等，则汽车追上自行车。
由几何关系知，相遇时间为t′＝4 s
此时v汽＝2v自＝12 m/s。
8．假设发生泥石流灾害时，一辆汽车停在小山坡底部，司机发现距坡底240 m的山坡上泥石流正以8 m/s的初速度、0.4 m/s2的加速度匀加速倾泻而下，若泥石流到达坡底后速率不变，在水平地面上做匀速直线运动。已知司机从发现泥石流滑下到启动汽车的反应时间为1 s，汽车启动后以0.5 m/s2的加速度一直做匀加速直线运动。
(1)求泥石流到达坡底的时间和速度的大小；
(2)通过计算说明汽车能否安全脱离。
答案　(1)20 s　16 m/s　(2)能
解析　(1)设泥石流到达坡底的时间为t1，速度大小为v1，则x1＝v0t1＋a1t，v1＝v0＋a1t1
代入数据解得t1＝20 s，v1＝16 m/s。
(2)设汽车从启动到速度与泥石流的速度相等所用的时间为t，
则v汽＝v1＝a′t，解得t＝32 s
此时汽车的位移x汽＝a′t2＝×0.5×322 m＝256 m
泥石流匀速运动的位移x石＝v1t′＝16×(32＋1－20) m＝208 m
因为x石x1，两车不会相遇，故A正确；若x0＋x2＜x1＋x2，即x0＜x1，在T时刻之前，乙车会超过甲车，但甲车速度增加得快，所以甲车还会超过乙车，则两车会相遇2次，故B正确；若x0＋x2＝x1＋x2，即x0＝x1，两车只能在T时刻相遇一次，故C正确；若x0＝x2，由于x2＞x1，故x0＞x1，两车不会相遇，故D错误。
6. (多选)汽车在平直公路上做刹车实验，若从t＝0时起汽车在运动过程中的位移x与速度的平方v2之间的关系如图所示，下列说法正确的是(　　)

A．t＝0时汽车的速度为10 m/s
B．刹车过程持续的时间为5 s
C．刹车过程经过3 s的位移为7.5 m
D．刹车过程汽车的加速度大小为5 m/s2
答案　AD
解析　根据v2－v＝2ax得，x＝v2－，结合图像可知＝－，解得刹车过程中加速度a＝－5 m/s2，由图线可知，汽车的初速度为10 m/s，则刹车过程持续的时间t＝＝2 s，故B错误，A、D正确；刹车过程中3 s内的位移等于2 s内的位移，为x＝＝10 m，故C错误。
7. 近年来，我国大部分地区经常出现雾霾天气，给人们的正常生活造成了极大的影响。在一雾霾天，某人驾驶一辆小汽车以30 m/s的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，但刹车过程中刹车失灵。如图所示，a、b分别为小汽车和大卡车的v­t图像，以下说法正确的是(　　)

A．因刹车失灵前小汽车已减速，不会追尾
B．在t＝5 s时追尾
C．在t＝3 s时追尾
D．由于初始距离太近，即使刹车不失灵也会追尾
答案　C
解析　从图像中可以看出，小汽车刹车失灵前的加速度a1＝－10 m/s2，刹车失灵后的加速度a2＝－2.5 m/s2。假设能追尾，设追尾时间为t，则小汽车刹车失灵前的位移x1＝×(20＋30)×1 m＝25 m，小汽车刹车失灵后的位移x2＝20×(t－1)－×2.5×(t－1)2，大卡车的位移x3＝10t，由x1＋x2＝30＋x3得t＝3 s，则假设成立，故A、B错误，C正确；如果刹车不失灵，则在t＝2 s时两车速度相同，此时小汽车的位移x4＝×(30＋10)×2 m＝40 m，大卡车的位移x5＝10×2 m＝20 m，x4－x5＝20 mt1，
所以汽车必须加速，设加速度最小为a1，
则v1t1＋a1t＝x1＋L1，解得a1＝0.6 m/s2。
若汽车在列车驶过交叉点之后通过交叉点，则汽车从初始位置到达交叉点用时至少为t2＝＝ s＝25 s，
假设汽车在这段时间内恰好运动到交叉点处，
有v1t2－a2t＝x1，解得a2＝0.64 m/s2。
此时v＝v1－a2t2＝－1 m/s，因此汽车已经在25 s前冲过了交叉点，与假设矛盾，不合题意。
要使汽车安全减速，汽车必须在交叉点前速度减为零，设汽车的加速度最小为a3，则＝x1，解得a3≈0.643 m/s2。