广西南宁市第二中学、柳州铁一中学2024届高三新高考摸底调研测试数学试题
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这是一份广西南宁市第二中学、柳州铁一中学2024届高三新高考摸底调研测试数学试题,共19页。试卷主要包含了函数的图象可能是,已知向量,,则下列说法正确的是等内容,欢迎下载使用。
2024届南宁二中柳铁一中新高考高三摸底调研测试数学本卷满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,那么( ).A. B. C. D.2.已知复数z满足(其中i为虚数单位),则( ).A. B.2 C. D.3.设数列满足,则( ).A.7 B. C. D.4.2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕,某中学为了贯彻学习“两会”精神,举办“学两会,知国事”知识竞赛.高二学生代表队由A,B,C,D,E共5名成员组成,现从这5名成员中随机抽选3名参加学校决赛,则在学生A被抽到的条件下,学生B也被抽到的概率为( ).A. B. C. D.5.函数的图象可能是( ).A.B.C.D.6.为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国,扎实推动乡村振兴”的目标,银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据,建立了实际还款比例P关于还款人的年收入x(单位:万元)的Logistie模型:.已知当贷款人的年收入为9万元时,其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%,则贷款人的年收入约为( ).(参考数据:,)A.4万元 B.8万元 C.6万元 D.5万元7.已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上,且焦点到准线的距离为2,过点F且倾斜角为的直线交抛物线C于A,B两点,则( ).A. B.5 C. D.28.已知函数,对于,,且在区间上单调递增,则的最大值是( ).A. B. C. D.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知向量,,则下列说法正确的是( ).A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则向量,的夹角为钝角10.随机抽取某班20名学生在一次数学测验中的得分如下:50,58,65,66,70,72,75,77,78,78,80,81,81,83,84,85,88,90,95,98,下面说法正确的是( ).A.这组数据的极差为48B.为便于计算平均数,将这组数据都减去70后得到的平均数与原数据的平均数相差70C.为便于计算方差,将这组数据都减去70后得到的方差与原数据的方差相差70D.这组数据的第75百分位数是84.511.已知直线,是圆上的一点,则( ).A.直线l过定点 B.圆C的半径是C.点P可能在圆上 D.点P到直线l的最大距离是12.已知正方体的棱长为2,P为底面内(包括边界)的动点,则下列结论正确的是( ).A.三棱锥的体积为定值B.存在点P,使得平面C.若,则P点在正方形底面内的运动轨迹长为D.若点P是的中点,点Q是的中点,经过,P,Q三点的正方体的截面周长为三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在的展开式中,常数项等于__________.(用数字作答)14.已知,,且,则的最小值为__________.15.如图,已知矩形中,,现沿折起,使得平面平面,连接,得到三棱锥,则其外接球的体积为__________.16.若方程有两个不等的实数根,则实数a的取值范围是__________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且.(1)求角A的大小;(2)设是边上的高,且,,求的值.18.(12分)如图所示,在多面体中,底面为直角梯形,,,侧面为菱形,平面平面,M为棱的中点.(1)若点N为的中点,求证:平面;(2)若,,求平面与平面夹角的余弦值.19.(12分)已知数列的前n项和为,,.(1)求的通项公式;(2)设,,求数列的前n项和.20.(12分)某单位在当地定点帮扶某村种植一种草莓,并把这种原本露天种植的草莓搬到了大棚里,获得了很好的经济效益.根据资料显示,产出的草莓的箱数x(单位:箱)与成本y(单位:千元)的关系如下:x102030406080y(1)根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系,请用最小二乘法求出线性回归方程(,用分数表示)(2)某农户种植的草莓主要以300元/箱的价格给当地大型商超供货,多余的草莓全部以200元/箱的价格销售给当地小商贩.据统计,往年1月份当地大型商超草莓的需求量为50箱、100箱、150箱、200箱的概率分别为,,,,根据回归方程以及往年商超草莓的需求情况进行预测,求今年1月份农户草莓的种植量为200箱时所获得的利润情况.(最后结果精确到个位)附:,,在线性回归直线方程中,.21.(12分)已知双曲线经过点,右焦点为,且,,成等差数列.(1)求C的方程;(2)过F的直线与C的右支交于P,Q两点(P在Q的上方),的中点为M,M在直线上的射影为N,O为坐标原点,设的面积为S,直线,的斜率分别为,,证明:是定值.22.(12分)已知函数,且.(1)求a;(2)证明:存在唯一的极大值点,且. 2024届南宁二中柳铁一中新高考高三摸底调研测试数学1.B【详解】,即,得,所以,,所以.2.C 【详解】,所.3.C【详解】令,可得,令,得,两式相减得,所以.4.B【详解】记事件A:学生A被抽到,事件B:学生B被抽到,所以,,所以.5.A【详解】因为定义域为,,所以为奇函数,函数图象关于原点对称,故B,D都不正确;对于C,时,,,所以,所以,故C不正确;对于A,符合函数图象关于原点对称,也符合时,,故A正确.6.D【详解】由题意得当时,%,则%,得,所以,得,所以,当%时,%,得,所以,所以,解得,所以当银行希望实际还款比例为40%,则贷款人的年收入约为5万元.7.A【详解】设抛物线C的方程为,因为焦点到准线的距离为2,则,抛物线C为:,焦点,准线方程为,直线方程为,由消去y得:,设,,则,,所以.8.C【详解】因为对于,,可得在时取得最大值,即,可得,,所以,,又因为在上单调递增,所以且,解得,当时,,所以的最大值为.9.BD【详解】解:对于A,因为,,所以,,解得或,故A错误;对于B,因为,所以,解得,故B正确;对于C,因为,所以,解得,故C错误;对于D,当时,,,又因为此时,不共线,所以向量,的夹角为钝角,故D正确.10.ABD【详解】对于A,这组数据的极差为,故A正确;对于B,这组数据都减去70后得到的平均数与原数据的平均数相差70,B正确;对于C,将这组数据都减去70后得到的方差与原数据的方差相等,故C错误;对于D,%=15,所以,则这组数据的第75百分位数是84.5,故D正确.11.ACD【详解】直线可化为,由,解得,,故直线l过定点,A选项正确.圆可化为,所以圆心,半径,所以B选项错误.圆的圆心为,半径为,,所以圆C与圆外切,所以点P可能在圆上,C选项正确.,所以点P到直线l的最大距离是,D选项正确.12.AC【详解】对于A,由等体积法,三棱锥的高等于,底面积,所以,所以三棱锥的体积为定值,故A正确;对于B,以D为坐标原点,以,,所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设,,,,,,,,,,∴,,,若平面,则,,则,,解得,不符合,,故B错误;对于C,,若,∴,即,所以点P的轨迹就是线段,轨迹长为,故C正确;对于D,连接并延长交的延长线于N,连接交于F,连接,延长交的延长线于M,连接交于E,连接,则五边形即为经过,P,Q三点的正方体的截面,如图.正方体的棱长为2,则,,则为等腰直角三角形,则,根据∽得,,则,,则,,同理可得,,而,则五边形的周长为,故D错误.13.15【详解】展开式的通项为,令,得,故展开式的常数项为第5项:.14.9【详解】.15.【详解】设,由矩形的性质可知:,则三棱锥的外接球的球心即为O,半径,所以三棱锥的外接球的体积.16.【详解】方程化为,令,则问题转化为的图像与直线有2个交点,因为,当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以函数最小值为,且当x正向无限趋近于0时,的取值无限趋近于正无穷大;当x无限趋近于正无穷大时,的取值无限趋近于正无穷大;故方程有两个不等的实数根时,.17.【答案】(1);(2).【解析】(1)在中,由及正弦定理,得,(1分)即,,整理得,(3分)∵,∴,则,而,所以.(5分)(2)由(1)及已知,得,又,即有,(7分)由余弦定理得,即,(8分)因此,即,所以.(10分)18.【详解】(1)连接,,因为M,N分别为,的中点,所以为的中位线,所以,(2分)又平面,平面,所以平面.(4分)(2)取的中点O,连接,因为侧面为菱形,且,所以在中,,解得,所以',即,(5分)又因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,过O作的垂线,交于H并延长,分别以,,所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,(6分)设,则,故,,,,,则,,,,,设平面的法向量为,则,即,令,则,(8分)设平面的法向量为,则,即,令,则,则,(10分),(11分)故:平面与平面夹角的余弦值为.(12分)19.【解析】(1)由题意,当时,,(1分)当时,;当时,上式也符合.∴的通项公式为.(5分)(2)由(1)得,所以,.(7分)(ⅰ)当n为偶数时,.(9分)(ⅱ)当n为奇数时,,(11分)综上所述.(12分)20.【详解】(1)因为,,所以,,所以,(3分)因为,所以回归方程为.(5分)(2)由回归方程知,若农户草莓的种植量为200箱,则成本为(千元).(6分)设农户草莓的种植量为200箱时的收入为Y元,则Y的可能取值为45000,50000,55000,60000,(7分)所以Y的分布列为Y45000500005500060000P(10分)所以,(11分)所以所获利润为元.(12分)21.【答案】(1);(2)证明见解析【解析】(1)因为,成等差数列,所以,又,所以.将点的坐标代入C的方程得,解得,所以,所以C的方程为.(4分)(2)依题意可设,由,得,设,,,则.,,则,而,所以,所以是定值.(12分)22.【答案】(1);(2)见解析.【解析】(1)解:因为,则等价于,求导可知.则当时,即在上单调递减,所以当时,,矛盾,故.因为当时,当时,所以,又因为,所以,解得.(5分)另解:因为,所以等价于在时的最小值为,所以等价于在处是极小值,所以解得.(2)证明:由(1)可知,,令,可得,记,则,令,解得:,所以在区间上单调递减,在上单调递增,所以,从而有解,即存在两根,,且不妨设在上为正,在上为负,在上为正,所以必存在唯一极大值点,且,所以,由可知;由可知,所以在上单调递增,在上单调递减,所以.综上所述,存在唯一的极大值点,且.(12分)
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