四川省雅安市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类(含答案)

这是一份四川省雅安市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类(含答案)，共35页。试卷主要包含了2﹣4×|﹣|，﹣1；，的图象经过点B，的图象上，，对称轴是直线x＝2等内容，欢迎下载使用。
四川省雅安市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
一．分式的化简求值（共2小题）
1．（2023•雅安）（1）计算：（）﹣1+（）2﹣4×|﹣|．
（2）先化简，再求值：（1+），其中a＝2．
2．（2021•雅安）（1）计算：（）﹣2+（3.14﹣π）0+|3﹣|﹣4sin60°．
（2）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，其中x＝﹣1．
二．负整数指数幂（共1小题）
3．（2022•雅安）（1）计算：（）2+|﹣4|﹣（）﹣1；
（2）化简：（1+）÷，并在﹣2，0，2中选择一个合适的a值代入求值．
三．二元一次方程组的应用（共1小题）
4．（2022•雅安）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元．
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解）
（2）若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式．
四．一次函数的应用（共1小题）
5．（2023•雅安）李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：
品名
甲蔬菜
乙蔬菜
批发价/（元/kg）
4.8
4
零售价/（元/kg）
7.21
5.6
（1）若他批发甲、乙两种蔬菜共40kg花180元，求批发甲、乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）
（2）若他批发甲、乙两种蔬菜共80kg花m元，设批发甲种蔬菜nkg，求m与n的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于176元，至少批发甲种蔬菜多少千克？
五．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
6．（2023•雅安）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，点A，C在坐标轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，S△OBD＝3，求直线BD的函数表达式．

六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
7．（2022•雅安）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A的坐标为（m，2），点B在x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．
（1）求m的值和点D的坐标；
（2）求DF所在直线的表达式；
（3）若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S△EFG．

七．反比例函数综合题（共1小题）
8．（2021•雅安）已知反比例函数y＝的图象经过点A（2，3）．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）如图，在反比例函数y＝的图象上点A的右侧取点C，过点C作x轴的垂线交x轴于点H，过点A作y轴的垂线交直线CH于点D．
①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，两线相交于点B，求证：O，B，D三点共线；
②若AC＝2OA，求证：∠AOD＝2∠DOH．

八．二次函数的应用（共1小题）
9．（2021•雅安）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现，每天销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中10≤x≤21，且x为整数）．当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
九．二次函数综合题（共3小题）
10．（2023•雅安）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过点A（0，2），对称轴是直线x＝2．
（1）求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
（2）若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C，当△BCM是等边三角形时，求出此三角形的边长；
（3）已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为（1，﹣1）是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

11．（2022•雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．
12．（2021•雅安）已知二次函数y＝x2+2bx﹣3b．
（1）当该二次函数的图象经过点A（1，0）时，求该二次函数的表达式；
（2）在（1）的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值；
（3）若对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，求实数b的取值范围．

一十．平行四边形的性质（共1小题）
13．（2023•雅安）如图，已知E，F是▱ABCD对角线AC上两点，AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若CH⊥AB交AB的延长线于点H，＝3，BC＝，tan∠CAB＝，求▱ABCD的面积．

一十一．矩形的性质（共1小题）
14．（2021•雅安）如图，△OAD为等腰直角三角形，延长OA至点B使OB＝OD，四边形ABCD是矩形，其对角线AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．
（1）求证：△OAF≌△DAB；
（2）求的值．

一十二．正方形的性质（共1小题）
15．（2022•雅安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．

一十三．切线的判定与性质（共1小题）
16．（2021•雅安）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为P，过点D的⊙O的切线与AB延长线交于点E，连接CE．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为3，CE＝4，求sin∠DEC．

一十四．圆的综合题（共2小题）
17．（2023•雅安）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，点E是BC的中点，连接BD，DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，tan∠BAC＝，求AD的长；
（3）在（2）的条件下，点P是⊙O上一动点，求PA+PB的最大值．

18．（2022•雅安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是∠BAC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）连接CE，求证：△ACE∽△ADC；
（3）若＝，⊙O的半径为6，求tan∠OAC．

一十五．列表法与树状图法（共3小题）
19．（2023•雅安）某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
成绩/分
频数/人
频率
60≤x＜70
10
0.1
70≤x＜80
15
b
80≤x＜90
a
0.35
90≤x≤100
40
c
请根据图表信息解答下列问题：
（1）求a，b，c的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．

20．（2022•雅安）为了倡导保护资源节约用水，从某小区随机抽取了50户家庭，调查了他们5月的用水量情况，结果如图所示．
（1）这50户家庭中5月用水量在20～30t的有多少户？
（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～10的中间值为5）来代替，估计该小区平均每户用水量；
（3）从该50户用水量在20～40t的家庭中，任抽取2户，用树状图或表格法求至少有1户用水量在30～40t的概率．

21．（2021•雅安）为庆祝中国共产党成立100周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取20名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表：
组别
成绩范围
频数
A
60～70
2
B
70～80
m
C
80～90
9
D
90～100
n
（1）分别求m，n的值；
（2）若把每组中各学生的成绩用这组数据的中间值代替（如60～70的中间值为65）估计全校学生的平均成绩；
（3）从A组和D组的学生中随机抽取2名学生，用树状图或列表法求这2名学生都在D组的概率．


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参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共2小题）
1．（2023•雅安）（1）计算：（）﹣1+（）2﹣4×|﹣|．
（2）先化简，再求值：（1+），其中a＝2．
【答案】（1）2；
（2），．
【解答】解：（1）原式＝2+2﹣4×
＝4﹣2
＝2；
（2）原式＝（+）•
＝•
＝，
当a＝2时，原式＝＝．
2．（2021•雅安）（1）计算：（）﹣2+（3.14﹣π）0+|3﹣|﹣4sin60°．
（2）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，其中x＝﹣1．
【答案】（1）2；
（2）﹣x2﹣x，﹣2+．
【解答】解：原式＝4+1+﹣3﹣4×
＝5+2﹣3﹣2
＝2．
（2）原式＝[﹣]•
＝•
＝•
＝﹣x（x+1）
＝﹣x2﹣x，
当x＝﹣1时，
∴x+1＝，
∴原式＝﹣（﹣1）
＝﹣2+．
二．负整数指数幂（共1小题）
3．（2022•雅安）（1）计算：（）2+|﹣4|﹣（）﹣1；
（2）化简：（1+）÷，并在﹣2，0，2中选择一个合适的a值代入求值．
【答案】（1）5；
（2），1．
【解答】解：（1）原式＝3+4﹣2
＝5；
（2）原式＝•
＝•
＝，
当a＝﹣2或2时，原式没有意义；
当a＝0时，原式＝＝1．
三．二元一次方程组的应用（共1小题）
4．（2022•雅安）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元．
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解）
（2）若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式．
【答案】（1）A商品的进价为100元，B商品的进价为60元．
（2）w＝30m+1600．
【解答】解：（1）A商品每件的进价为x元，B商品每件的进价为y元，
根据题意得：．
解得：；
答：A商品每件的进价为100元，B商品每件的进价为60元．
（2）∵A商品m件，∴B商品（80﹣m）件，
∴w＝（150﹣100）m+（80﹣60）（80﹣m）
＝30m+1600．
四．一次函数的应用（共1小题）
5．（2023•雅安）李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：
品名
甲蔬菜
乙蔬菜
批发价/（元/kg）
4.8
4
零售价/（元/kg）
7.21
5.6
（1）若他批发甲、乙两种蔬菜共40kg花180元，求批发甲、乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）
（2）若他批发甲、乙两种蔬菜共80kg花m元，设批发甲种蔬菜nkg，求m与n的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于176元，至少批发甲种蔬菜多少千克？
【答案】（1）批发甲种蔬菜25千克，批发乙种蔬菜15千克；
（2）m＝0.8n+320；
（3）至少批发甲种蔬菜千克．
【解答】解：（1）设批发甲种蔬菜x千克，批发乙种蔬菜y千克，根据题意得，
，解得，
答：批发甲种蔬菜25千克，批发乙种蔬菜15千克；
（2）根据题意得m＝4.8n+（80﹣n）×4，
整理得m＝0.8n+320；
（3）设全部卖完蔬菜后利润为w元，根据题意得，
w＝（7.21﹣4.8）n+（5.6﹣4）（80﹣n），
整理得w＝0.81n+128，
∵要保证利润不低于176元，
∴w＝0.81n+128≥176，
解得n≥，
∴至少批发甲种蔬菜千克．
五．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
6．（2023•雅安）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，点A，C在坐标轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，S△OBD＝3，求直线BD的函数表达式．

【答案】（1）反比例函数的表达式为y＝；
（2）直线BD的函数表达式为y＝﹣．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是边长为2的正方形，
∴B（2，2），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）作DE⊥x轴于E，
∵BA⊥x轴，
∴S△DOE＝S△AOB＝，
设D（m，），则OE＝m，DE＝，
∵S△OBD＝3，
∴S△OBD＝S△AOB+S梯形ABDE﹣S△DOE＝S梯形ABDE＝3，
∴，
整理得m2﹣3m﹣4＝0，
解得m＝4或m＝﹣1（舍去），
∴D（4，1），
设直线BD的解析式为y＝ax+b，
把B、D的坐标代入得，
解得，
∴直线BD的函数表达式为y＝﹣．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
7．（2022•雅安）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A的坐标为（m，2），点B在x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．
（1）求m的值和点D的坐标；
（2）求DF所在直线的表达式；
（3）若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S△EFG．

【答案】（1）m＝﹣2，D（4，2）；
（2）y＝﹣x+6；
（3）8．
【解答】解：（1）过A点作AH⊥BO于H，
∵△ABO是等腰直角三角形，A（m，2），
∴OH＝AH＝2，
∴m＝﹣2，
由平移可得D点纵坐标和A点纵坐标相同，设D（n，2），
∵D在y＝图象上，
∴n＝4，
∴D（4，2）．
（2）过D作DM⊥EF于M，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DFM＝45°，
∴DM＝MF＝2，
由D（4，2）得F（6，0），
设直线DF的表达式为：y＝kx+b，将F（6，0）和D（4，2）代入得：
，
解得：，
∴直线DF的表达式为y＝﹣x+6．
（3）延长FD交y＝图象于点G，
，
解得：，，
∴G（2，4），
由（1）得EF＝BO＝2HO＝4，
∴S△EFG＝EF•Gy＝×4×4＝8．

七．反比例函数综合题（共1小题）
8．（2021•雅安）已知反比例函数y＝的图象经过点A（2，3）．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）如图，在反比例函数y＝的图象上点A的右侧取点C，过点C作x轴的垂线交x轴于点H，过点A作y轴的垂线交直线CH于点D．
①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，两线相交于点B，求证：O，B，D三点共线；
②若AC＝2OA，求证：∠AOD＝2∠DOH．

【答案】（1）y＝．
（2）①②证明见解析部分．
【解答】（1）解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（2，3），
∴3＝，
∴m＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝．

（2）证明：①过点A作AM⊥x轴于M，过点C作CN⊥y轴于N，AM交CN于点B，连接OB．
∵A（2，3），点C在y＝的图象上，
∴可以设C（t，），则B（2，），D（t，3），
∴tan∠BOM＝＝＝，tan∠DOH＝＝，
∴tan∠BOM＝tan∠DOH，
∴∠BOM＝∠DOH，
∴O，B，D共线．

②设AC交BD于J．
∵AD⊥y轴，CB⊥y轴，
∴AD∥CB，
∵AM⊥x轴，DH⊥x轴，
∴AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AJ＝JC＝JD＝JB，
∵AC＝2OA，
∴AO＝AJ，
∴∠AOJ＝∠AJO，
∵∠AJO＝∠JAD+∠JDA，
∵AD∥OH，
∴∠DOH＝∠ADJ，
∵JA＝JD，
∴∠JAD＝∠ADJ，
∴∠AOD＝2∠ADJ＝2∠DOH．

八．二次函数的应用（共1小题）
9．（2021•雅安）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现，每天销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中10≤x≤21，且x为整数）．当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）y＝﹣5x+150（10≤x≤21，且x为整数）；
（2）当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是500元．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（12，90），（15，75）代入y＝kx+b，
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x+150（10≤x≤21，且x为整数）．
（2）依题意得：w＝（x﹣10）（﹣5x+150）＝﹣5x2+200x﹣1500＝﹣5（x﹣20）2+500．
∵﹣5＜0，
∴当x＝20时，w取得最大值，最大值为500．
答：当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是500元．
九．二次函数综合题（共3小题）
10．（2023•雅安）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过点A（0，2），对称轴是直线x＝2．
（1）求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
（2）若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C，当△BCM是等边三角形时，求出此三角形的边长；
（3）已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为（1，﹣1）是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝x2﹣4x+2，M（2，2）；
（2）2；
（3）存在，（﹣1，0）或（1，5）或（3，﹣1+）或（3，﹣5+）．
【解答】解：（1）∵对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x+c，
将点A代入y＝x2﹣4x+c，可得c＝2，
∴函数的解析式为y＝x2﹣4x+2，
当x＝2时，y＝﹣2，
∴顶点M（2，﹣2）；
（2）设直线BC所在的直线为y＝m，
当x2﹣4x+2＝m时，xB+xC＝4，xB•xC＝2﹣m，
∴|xB﹣xC|＝2，
∵M（2，﹣2），
∴M点到直线BC的距离为m+2，
∵△BCM是等边三角形，
∴|xB﹣xC|＝（m+2），即＝（m+2），
解得m＝1或m＝﹣2（舍），
∴三角形的边长为2；
（3）在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形，理由如下：
设E（2，t），F（x，y），
①当AD为菱形对角线时，AE＝DE，
，
解得，
∴F（﹣1，0）；
②当AE为菱形对角线时，AD＝DE，
∴，
解得（舍）或，
∴F（1，5）；
③当AF为菱形对角线时，AE＝AD，
∴，
解得或，
∴F（3，﹣1+）或（3，﹣5+）；
综上所述：F点坐标为（﹣1，0）或（1，5）或（3，﹣1+）或（3，﹣5+）．
11．（2022•雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，D（1，﹣4）；
（2）点E（1，）或（1，﹣）或（1，﹣1）或（1，﹣2）；
（3）PB最小＝﹣．
【解答】解：（1）由题意设二次函数表达式为：y＝a（x+1）•（x﹣3），
∴a•（﹣3）＝﹣3，
∴a＝1，
∴y＝（x+1）•（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4）；
（2）存在点E，使△ACE是直角三角形，过程如下：
设点E（1，m），
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴AC2＝10，AE2＝4+m2，CE2＝1+（m+3）2，
当∠EAC＝90°时，
AE2+AC2＝CE2，
∴14+m2＝1+（m+3）2，
∴m＝，
∴E1（1，），
当∠ACE＝90°时，
AC2+CE2＝AE2，
∴11+（m+3）2＝4+m2，
∴m＝﹣，
∴E2（1，﹣），
当∠AEC＝90°时，
AE2+CE2＝AC2，
∴5+m2+（m+3）2＝10，
∴m＝﹣1或﹣2，
∴E3（1，﹣1），E4（1，﹣2），
综上所述：点E（1，）或（1，﹣）或（1，﹣1）或（1，﹣2）；
（3）设AD的中点为I，
∵A（﹣1，0），D（1，﹣4），
∴AD＝＝2，I（0，﹣2），
∴PA⊥PD，
∴∠APD＝90°，
∴点P在以AD的中点I为圆心，为半径的圆上，
∵BI＝＝，
∴PB最小＝﹣．
12．（2021•雅安）已知二次函数y＝x2+2bx﹣3b．
（1）当该二次函数的图象经过点A（1，0）时，求该二次函数的表达式；
（2）在（1）的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值；
（3）若对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，求实数b的取值范围．

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；
（2）；
（3）﹣3≤b≤1．
【解答】解：（1）把点A（1，0）代入y＝x2+2bx﹣3b得：1+2b﹣3b＝0，
解得：b＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝x2+2x﹣3．
（2）如图1，对函数y＝x2+2x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，
∴C（0，﹣3），B（﹣3，0），A（1，0），
∴AB＝4，OB＝OC＝3，BC＝3，
过点Q作QN⊥AB于点N，
∴sin∠NBQ＝sin∠OBC，
∴，
设运动时间为t，则：BQ＝t，AP＝2t，
∴BP＝4﹣2t，，
∴NQ＝，
∴S△BPQ＝，
∴当t＝1时，△BPQ面积的最大值为．
（3）①∵二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象开口向上，
∴当二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象与x轴没有交点或只有1个交点时，x≥1总有y≥0成立（如图2）；
此时△≤0，即（2b）2﹣4（﹣3b）≤0，
解得﹣3≤b≤0；
②当二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象与x轴有2个交点时，
Δ＝（2b）2﹣4（﹣3b）＞0，可得b＞0或b＜﹣3，
设此时两交点为（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝﹣2b，x1•x2＝﹣3b，
要使x≥1的任意实数x，都有y≥0，需x1≤1，x2≤1，即x1﹣1≤0，x2﹣1≤0（如图3），
∴（x1﹣1）+（x2﹣1）≤0且（x1﹣1）•（x2﹣1）≥0，
∴﹣2b﹣2≤0且﹣3b﹣（﹣2b）+1≥0，
解得﹣1≤b≤1，
∴此时0＜b≤1，
总上所述，对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，则﹣3≤b≤1．


一十．平行四边形的性质（共1小题）
13．（2023•雅安）如图，已知E，F是▱ABCD对角线AC上两点，AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若CH⊥AB交AB的延长线于点H，＝3，BC＝，tan∠CAB＝，求▱ABCD的面积．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）9．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：∵＝3，
∴CH＝3BH，
∵CH⊥AB于H，
∴∠H＝90°，
∴BC2＝BH2+CH2，
∵BC＝，
∴（）2＝BH2+（3BH）2，
解得BH＝1，
∴CH＝3，
在Rt△ACH中，tan∠CAB＝＝，
∴AH＝4，
∴AB＝AH﹣BH＝4﹣1＝3，
∴S▱ABCD＝AB•CH＝3×3＝9．
一十一．矩形的性质（共1小题）
14．（2021•雅安）如图，△OAD为等腰直角三角形，延长OA至点B使OB＝OD，四边形ABCD是矩形，其对角线AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．
（1）求证：△OAF≌△DAB；
（2）求的值．

【答案】（1）见解答；
（2）．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BE＝DE，∠BAD＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵OB＝OD，BE＝DE，
∴OE⊥BD，
∴∠OEB＝90°，
∴∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠BOE＝∠BDA，
∵△OAD为等腰直角三角形，
∴AO＝AD，∠OAD＝90°，
∴∠OAD＝∠BAD，
在△AOF和△ABD中，
，
∴△OAF≌△DAB（ASA），
（2）由（1）得，△OAF≌△DAB，
∴AF＝AB，
连接BF，如图，

∴BF＝AF，
∵BE＝DE，OE⊥BD，
∴DF＝BF，
∴DF＝AF，
∴＝．
一十二．正方形的性质（共1小题）
15．（2022•雅安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．

【答案】（1）证明过程见解析；
（2）6．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝AB，∠ABE＝∠CDF＝45°，
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）解：连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，
又∵DF＝BE，
∴OE＝OF，AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形，
∵AB＝3，
∴AC＝BD＝6，
∵BE＝DF＝2，
∴四边形AECF的面积＝AC•EF＝×6×2＝6．

一十三．切线的判定与性质（共1小题）
16．（2021•雅安）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为P，过点D的⊙O的切线与AB延长线交于点E，连接CE．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为3，CE＝4，求sin∠DEC．

【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】证明：（1）连接OC，OD，
∵OC＝OD，AB⊥CD，
∴∠COE＝∠DOE，
在△COE和△DOE中，
，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠OCE＝∠ODE，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：过D作DF⊥CE于F，
由（1）知，∠OCE＝90°，
在Rt△OCE中，∵CE＝4，OC＝3，
∴OE＝＝＝5，
∵AB⊥CD，
∴S△OCE＝OC•CE＝CP•OE，
∴3×4＝5CP，
∴CP＝，
∵OC＝OD，AB⊥CD，
∴CP＝DP，
∴CD＝2CP＝，
在Rt△CPE中，PE＝＝＝，
∵CE，DE是⊙O的切线，
∴DE＝CE＝4，
∵S△CDE＝CE•DF＝CD•PE，
∴4DF＝×，
∴DF＝，
在Rt△DEF中，sin∠DEC＝＝＝．

一十四．圆的综合题（共2小题）
17．（2023•雅安）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，点E是BC的中点，连接BD，DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，tan∠BAC＝，求AD的长；
（3）在（2）的条件下，点P是⊙O上一动点，求PA+PB的最大值．

【答案】（1）证明见解析；
（2）：
（3）8．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示，

∵AB为OO的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∵点E为BC的中点，
∴DE＝BE＝BC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∵OB＝OD．
∴∠ODB＝∠OBD．
∵∠ABC＝90°，
∴∠EBD+∠OBD＝90°，
∴∠ODB+∠EDB＝90°，
∵OD是OO的半径，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：由（1）知，∠BDC＝90°，
∵E是BC的中点，
∴DE＝BC＝2．
∴BC＝4，
∵tan∠BACE＝，
∴AB＝8．AD＝2BD，
又∵在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，即（2BD）2+BD2＝82，
∴BD＝（负值已舍去），
∴AD＝：
（3）解：设Rt△ABD中AB边上的高为h，

由（2）可知AB＝8，
又∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
∴PA2+PB2＝82＝64，
∴（PA+PB）2＝64+2PA•PB，
.当PA+PB取最大值时，2PA•PB也取最大值，
又∵S△ABP＝PA•PB＝AB•h，
当PA+PB取最大值时，S△ABP取最大值，
此时AB边高为取最大值为＝＝4，
∴S△ABP＝AB•h＝2×8×4＝16．
∴PA•PB＝2S△ABP＝32，
∴（PA+PB）2＝64+2×32＝128，
∴PA+PB＝8．
综上所述：PA+PB的最大值为8．
18．（2022•雅安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是∠BAC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）连接CE，求证：△ACE∽△ADC；
（3）若＝，⊙O的半径为6，求tan∠OAC．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【解答】（1）证明：过点O作OF⊥AB于F，

∵AO是△ABC的角平分线，OF⊥AB，OC⊥AC，
∴OF＝OC（即OF是⊙O的半径），
∴AB是⊙O的切线；
（2）证明：∴OC是⊙O的半径，OC⊥AC，
∴∠ACE+∠ECO＝90°，
∵ED是⊙O的直径，
∴∠DCE＝90°，
∴∠EDC+∠DEC＝90°，
∵∠DEC＝∠ECO，
∴∠ACE＝∠EDC，
∵∠EAC＝∠CAD，
∴△ACE∽△ADC；
（3）解：∵＝，△ACE∽△ADC，
∴，
∴AC2＝AE•AD，
设AE为a，则AC＝2a，AD＝a+12，
∴（2a）2＝a（a+12），
∴a1＝4，a2＝0（舍去），
∴AC＝8，
∴tan∠OAC＝＝．
一十五．列表法与树状图法（共3小题）
19．（2023•雅安）某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
成绩/分
频数/人
频率
60≤x＜70
10
0.1
70≤x＜80
15
b
80≤x＜90
a
0.35
90≤x≤100
40
c
请根据图表信息解答下列问题：
（1）求a，b，c的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．

【答案】（1）a＝35，b＝0.15，c＝0.4；
（2）详见解答；
（3）．
【解答】解：（1）调查人数为：10÷0.1＝100（人），b＝15÷100＝0.15，a＝0.35×100＝35，c＝40÷100＝0.4，
答：a＝35，b＝0.15，c＝0.4；
（2）由各组频数补全频数分布直方图如下：

（3）用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：

共有6种等可能出现的结果，其中1男1女的有4种，
所以抽取的2名学生恰好为1男1女的概率是＝．
20．（2022•雅安）为了倡导保护资源节约用水，从某小区随机抽取了50户家庭，调查了他们5月的用水量情况，结果如图所示．
（1）这50户家庭中5月用水量在20～30t的有多少户？
（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～10的中间值为5）来代替，估计该小区平均每户用水量；
（3）从该50户用水量在20～40t的家庭中，任抽取2户，用树状图或表格法求至少有1户用水量在30～40t的概率．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）50﹣20﹣25﹣2＝3（户），
即这50户家庭中5月用水量在20～30t的有3户；
（2）＝12.4（t），
即估计该小区平均每户用水量约为12.4t；
（3）由（1）知：用水量在20～30t有3户，
由条形统计图可知，用水量在30～40t有2户，
设水量在20～30t的用户用A表示，用水量在30～40t的用户用B表示，
树状图如下所示，

由上可得，一共有20种可能性，其中至少有1户用水量在30～40t的有14种可能性，
∴至少有1户用水量在30～40t的概率是＝．
21．（2021•雅安）为庆祝中国共产党成立100周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取20名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表：
组别
成绩范围
频数
A
60～70
2
B
70～80
m
C
80～90
9
D
90～100
n
（1）分别求m，n的值；
（2）若把每组中各学生的成绩用这组数据的中间值代替（如60～70的中间值为65）估计全校学生的平均成绩；
（3）从A组和D组的学生中随机抽取2名学生，用树状图或列表法求这2名学生都在D组的概率．

【答案】（1）m＝5，n＝4；
（2）82.5分；
（3）．
【解答】解：（1）由题意得：n＝20×20%＝4，
则m＝20﹣2﹣9﹣4＝5，
（2）（65×2+75×5+85×9+95×4）＝82.5（分），
即估计全校学生的平均成绩为82.5分；
（3）A组有2名学生，D组有4名学生，
画树状图如图：

共有30种等可能的结果，抽取的2名学生都在D组的结果有12种，
∴抽取的2名学生都在D组的概率为＝．