2023宜宾叙州区二中高二下学期期末考试数学（理）试题含解析

叙州区第二中学2023年春期高二期末考试

数学（理工类）

第I卷   选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. i为虚数单位，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的乘方和除法运算即可求解.

【详解】解：，

故选：B.

2. 已知函数的图象如右图所示，那么函数的导函数的图象最有可能的是下图中的

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由原图象可知，原函数在上增函数，在上为减函数，在上为增函数，再由原函数的单调性与导函数符号间的关系，即可得到答案.

【详解】由原图象可知，原函数在上增函数，在上为减函数，在上为增函数，

可得在上大于0恒成立，在上小于0恒成立，

则函数的导函数的图象最有可能是B，故选B.

【点睛】本题主要考查了利用原函数的图象研究导函数的图象问题，其中解答中熟记原函数的单调性与导函数的符号之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

3. 已知函数在点处的切线的倾斜角是，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】由导数的几何意义利用切线的斜率列出方程即可求解.

【详解】由题意知.

故选：A

【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.

4. 两圆与的公共弦长等于（    ）

A. 4 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

求出圆心和半径以及公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦的长．

【详解】解：两圆为①，，②

①②可得：．

两圆的公共弦所在直线的方程是，

的圆心坐标为，半径为，

圆心到公共弦的距离为，

公共弦长．

故选：B．

【点睛】本题主要考查圆的标准方程，求两个圆的公共弦所在的直线方程的方法，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．

5. 已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的方程为（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据双曲线的离心率与右焦点坐标，可求出，进而得出，从而可求出双曲线方程.

【详解】因为双曲线的离心率，且其右焦点为，

所以，则，所以，

因此，双曲线的方程为.

故选：C.

6. 的展开式中的常数项等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】分别将，用二项式定理展开，再研究对应项乘积得到的常数项即可.

【详解】由于

故的展开式中的常数项为：

故选：A

【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

7. 设则“”是“”成立的 （    ）

A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既非充分也非必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】首先分别解出不等式，再根据集合的包含关系判断即可.

【详解】由，解得，

由，解得，

因为真包含于，所以“”是“”成立的必要不充分条件.

故选：C

8. 曲线和曲线围成的图形面积是

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据定积分的几何意义求解即可

【详解】在同一坐标系作出曲线和的图象，知其交点为，围成的图形面积为＝＝，

故选：A．

9. 安排4名男生和3名女生参与完成3项工作，要求必须每人参与一项，每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则不同的安排方式种数为（    ）

A. 432 B. 144 C. 216 D. 1296

【答案】C

【解析】

【分析】先从4个男生选2个一组，将4人分成三组后全排列，然后3个女生分成三组，全排列即可.

【详解】由于每项工作至少由名男生和名女生完成，则先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，所以男生的排法共有，女生的安排方法共有，故不同的安排共有种.

故选：C

10. 某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为，已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为，假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据互相独立事件的概率公式计算可得；

【详解】解：由题知，三个社团中他恰好能进入两个概率为，则，所以，所以，所以该同学一个社团都不进入的概率．

故选：D．

11. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，过C的左焦点作一条直线与椭圆相交于A，B两点，若且，则C的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先判断出直线为线段的垂直平分线，得到.利用椭圆的定义把，， ，用a、c表示，利用勾股定理得到a、c的齐次式，求出离心率.

【详解】因为且，所以直线为线段的垂直平分线，所以.

由椭圆定义知，所以，所以，.

在中，，在中，，所以，即，化简得，即，即，

解得椭圆C的离心率（舍去）.

故选：A.

12. 已知函数，则方程的根的个数为（   ）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】分析函数的性质并作出图像，再根据关于的一元二次方程根的情况结合函数的图像分类讨论作答.

【详解】函数定义域为R，求导得，

当或时，，当时，，函数在，上递增，在上递减，

当时，函数取极大值，当时，函数取极小值，

函数，当时，恒成立，即函数在上的图像恒在x轴上方，

函数的图像，如图，

令，关于的一元二次方程有异号两个实根，，

方程或的根即是函数的图像与直线或交点的横坐标，

当，时，有一个实根，有两个实根，

当时，，有两个实根，有一个实根，

当时，，无实根，有三个实根，

综上得，，方程恒有三个实根.

故选：C

【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图像法：作出函数f(x)的图像，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图像，观察它们的公共点个数.

第II卷  非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 一个体积可忽略不计的小球在边长为2的正方形区域内随机滚动，则它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为______________.

【答案】

【解析】

【分析】直接利用几何概型的概率公式，转化为面积比求概率.

【详解】由题意，以四个顶点为圆心，1为半径作圆，得到四个的圆的面积为，

又由边长为2的正方形的面积为，

根据面积比的几何概型可得概率为.

故答案为：

14. 已知命题P：[0,1],，命题q：“R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是_____________________；

【答案】

【解析】

【详解】命题P为真： ；命题q为真： ，因为命题“p∧q”是真命题，所以p，q为真，即实数a的取值范围是

点睛：以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.

15. 已知函数，其中e是自然对数的底数.若，则实数a的取值范围是_______.

【答案】

【解析】

【分析】确定函数为奇函数，增函数，将不等式转化为，根据函数单调性计算得到答案.

【详解】，则，故函数奇函数.

，函数单调递增，

，故，故，

解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查了利用导数确定单调性，利用单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.

16. 如图，在长方体中，，动点分别在线段和上．给出下列四个结论：

①存在点，使得等边三角形；

②三棱锥的体积为定值；

③设直线与所成角为，则；

④至少存在两组，使得三棱锥的四个面均为直角三角形．

其中所有正确结论序号是__________．

【答案】②④

【解析】

【分析】利用等体积转化，求三棱锥的体积，判断②；建立空间直角坐标系，利用坐标表示，即可判断①；利用坐标表示异面直线所成角的余弦值，即可判断③；找到点的位置，即可判断④.

【详解】由题意，在长方体中，到平面的距离为1，F到边的距离为2，所以，故②正确；

建立空间直角坐标系，如图，

则，设，

，，，

则，，，

若是等边三角形无解，

故①错误；

又

若

若

∵

综上，所以③错误

当为中点，与重合时，如图，

此时，，

又，故，所以，

因为，所以，

所以，即三棱锥的四个面均为直角三角形，

当与重合，与重合时，如图，

显然，

故三棱锥的四个面均为直角三角形，

综上可知，至少存在两组，使得三棱锥的四个面均为直角三角形，故④正确．

故答案为：②④

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分

17. 已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值.

【答案】（1）增区间是，减区间是；（2），.

【解析】

【分析】（1）利用导数判断函数的单调性；（2）由（1）可列出函数在上的单调性表格，根据函数的单调性求最值.

【详解】（1）函数的定义域为，,

由解得，

由，可得，所以函数增区间是，

由，可得，所以函数减区间是.

（2）

由上表可知：，.

【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，属于基础题.

18. 如图，四棱锥的底面是直角梯形，，．底面，且

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）首先取的三等分点，且，连结，，得到，从而得到四边形是平行四边形，即可得到，再利用线面平行的判定即可证明平面.

（2）以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解二面角即可.

【小问1详解】

取的三等分点，且，连结，，

如图所示：

又因为，所以．

因为，所以，

所以四边形是平行四边形．所以，

又直线平面，平面，所以平面．

【小问2详解】

以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴和轴，

建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，．

，，设平面的法向量为，

则，即.

，，

设平面的法向量为，

则，即．

所以，

由图可知，二面角的余弦值为．

19. 高二年级的一个研究性学习小组在网上查知，某珍贵植物种子在一定条件下发芽成功的概率为，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验.

（1）第1组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；

（2）第二小组做了若干次发芽试验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽实验的次数的概率分布列和期望.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【详解】（1）由题设条件知，种下5粒种子至少有3次成功的概率相当于5次独立重复试验中恰好发三次、四次、五次的概率．至少有3次成功的概率等于3次、4次、5次发芽成功的概率之和．（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，5分别求其概率，列出分布列，再求期望即可．

（1）至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功，所以所求概率

（2）的概率分布列为

所以.

20. 已知椭圆的右焦点为且,设短轴的一个端点为,原点到直线的距离为，过原点和轴不重合的直线与椭圆相交于两点，且.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点且使得成立？若存在，试求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)；（2）.

【解析】

【详解】分析：（1）根据题意，结合性质 ， ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可得椭圆方程；（2）可设存在满足条件的直线的方程为，带入椭圆的方程得,由

利用韦达定理可得, 从而可得直线的方程为.

详解：（1）由，

又原点到直线的距离为，，

又，

故椭圆方程为.

（2）显然当直线与轴垂直时不可能满足条件,

故可设存在满足条件的直线的方程为，带入椭圆的方程得

,

因为直线与椭圆相交于不同的两点，设两点的坐标分别为

,

因为，即,

所以即,

所以，

解得,

因为为不同的两点，所以

,

所以 ,故,

所以存在满足条件的直线，且其方程为.

点睛：本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.

21. 已知函数.

（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；

（2）求证：≥0恒成立的充要条件是；

（3）若，且对任意，都有，求实数的取值范围．

【答案】（1）－2；（2）见解析；（3）.

【解析】

【分析】（1）利用导数的几何意义直接求出；（2）利用定义法分充分性、必要性分类讨论；（3）由题意把转化为.设，则等价于在区间上是减函数.求出导函数，利用分离参数法得到在时恒成立，即可求出实数的取值范围．

【详解】（1）因为，所以，所以曲线在处的切线的斜率为.

因为曲线在处切线的方程为，所以，解得：.

（2）①充分性：当时，.

所以当x>1时, ,所以函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,当0<x<1时, ,所以函数f(x)在(0,1)上是减函数.所以f(x)≥f(1)=0.

②必要性

（i）当时，恒成立，所以函数f(x)在（0，+∞）上是增函数．而.所以当时，，与恒成立相矛盾，所以不满足题意.

（ii）当时，因为当时，，所以函数f(x)在（a，+∞）上是增函数；

当时，，所以函数f(x)在（0，a）上是减函数.

所以.

因为.所以当时，，此时与恒成立相矛盾，所以.

综上所述，恒成立的充要条件是a=1.

（3）由（2）可知

当a<0时，函数f(x)在上是增函数，又函数在是减函数．

不妨设，则.

所以等价于，即.

设

则等价于在区间上是减函数.

因为，所以在时恒成立，

即在时恒成立，即.

而在区间上是增函数，所以的最大值为-3，

所以

又，所以.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．

（选修4-4 极坐标与参数方程）

22. 在直角坐标系中，直线的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）直线与曲线交于两点，点，求的值.

【答案】（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由参数方程消去参数可得直线的普通方程，由，，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程，代入圆的普通方程整理，根据参数的几何意义，把整理为，利用韦达定理代入数据整理可得答案.

【小问1详解】

将直线的参数方程消去参数得，

所以直线的普通方程为，

因为曲线的极坐标方程是，又，，，所以曲线的直角坐标方程为；

【小问2详解】

将直线的参数方程（t为参数），代入曲线的直角坐标方程中，并整理得，

设两点对应的参数分别为，由韦达定理得，，

.

（选修4-5 不等式选讲）

23. 设函数.

（1）证明；

（2）若当时，关于实数x的不等式恒成立，求实数t的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用绝对值不等式的性质和基本不等式证明即可；

（2）用绝对值的性质对式子进行分段表示，然后求出最小值，根据题意列出关于实数t的不等式，解不等式即可.

【详解】证明：.    

当且仅当且等号成立

（2）当时.

当时，；

当时，；

当时，，

∴.

若恒成立.

则只需，解得.

综上所述实数t的取值范围是.

【点睛】本题考查了绝对值不等式的性质，考查了基本不等式的应用，考查了不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.