第1章 二次函数单元测试(A卷夯实基础）（解析版）-九年级数学上册同步单元AB卷（浙教版）

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第1章 二次函数单元测试(A卷夯实基础）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2020秋•开封期末）抛物线y＝x2﹣4x﹣4的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（　　）
A．开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点是（2，8）
B．开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点是（2，﹣8）
C．开口向上，对称轴是直线x＝﹣2，顶点是（2，﹣8）
D．开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点是（2，8）
【思路点拨】所给抛物线是一般式，可得a＝1＞0，所以开口向上；再通过配方法变形为顶点式，可直接得出抛物线的对称轴及顶点坐标．
【答案】解：∵抛物线y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，
∴a＝1＞0，开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标是（2，﹣8），
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数三种表达方式是解题关键．
2．（2021•西藏）将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝x2﹣8x+22 B．y＝x2﹣8x+14 C．y＝x2+4x+10 D．y＝x2+4x+2
【思路点拨】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【答案】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝（x﹣1+3）2+2，即y＝（x+2）2+2；
再向下平移4个单位为：y＝（x+2）2+2﹣4，即y＝（x+2）2﹣2＝x2+4x+2．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
3．（2021•安阳县模拟）若函数y＝（1+m）x是关于x的二次函数，则m的值是（　　）
A．2 B．﹣1或3 C．3 D．﹣1±
【思路点拨】利用二次函数定义可得m2﹣2m﹣1＝2，且1+m≠0，再解即可．
【答案】解：由题意得：m2﹣2m﹣1＝2，且1+m≠0，
解得：m＝3，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
4．（2020秋•惠城区期末）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的x与y的部分对应值如下表：
x
﹣2
﹣1
0
1
2
3
y
14
7
2
﹣1
﹣2
﹣1
则当x＝5时，y的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．7 D．14
【思路点拨】由给出的x和y的值可得，抛物线的对称轴为x＝2，由抛物线的对称性可知，x＝5时y的值与x＝﹣1时的值相等，可求解．
【答案】解：由表格可知，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝﹣1，
由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为直线x＝2；
∴x＝5时y的值与x＝﹣1时的值相等，
∴x＝5时y的值为7．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的对称性，理解二次函数图象的对称性是解题关键．
5．（2020秋•钦州期末）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P（5，y3）均在二次函数y＝x2﹣2x+1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＞y1＝y2 B．y1＝y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y2＞y3
【思路点拨】根据函数解析式的特点，其对称轴为x＝1，图象开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，可判断y3＞y1＝y2．
【答案】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，
∴1＜3＜5，
故y3＞y1＝y2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
6．（2021春•铜梁区校级期末）已知二次函数y＝ax2+4x+1的图象与x轴有公共点，则a的取值范围是（　　）
A．a＜4 B．a≤4 C．a＜4且a≠0 D．a≤4且a≠0
【思路点拨】由二次函数的定义得a≠0，再由二次函数y＝ax2+4x+1的图象与x轴有公共点得到Δ≥0，解不等式即可．
【答案】解：∵二次函数y＝ax2+4x+1的图象与x轴有公共点，
∴Δ＝42﹣4a×1≥0，且a≠0，
解得：a≤4，且a≠0．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与x轴的交点，关键是Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴交点的个数．
7．（2020秋•九龙坡区期末）已知实数a使关于x的二次函数y＝x2+（a﹣1）x﹣a+2，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥3 B．a＞3 C．a≤3 D．a＜3
【思路点拨】由二次函数的性质可确定出a的范围．
【答案】解：∵y＝x2+（a﹣1）x﹣a+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝，
∴当x＜时，y随x的增大而减小，
∵在x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
∴≥﹣1，
解得a≤3，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象性质，不等式的解法．能够得出关于a的不等式，并正确求解不等式是解题关键．
8．（2021•碑林区校级一模）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（　　）m．

A．3 B．6 C．8 D．9
【思路点拨】根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【答案】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：
﹣2.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±3，
∴水面宽度为3﹣（﹣3）＝6（m）．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．
9．（2020秋•抚州期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
（1）abc＞0；（2）b＜a+c；（3）4a+2b+c＞0；（4）2c＜3b；（5）a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的的结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路点拨】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【答案】解：（1）图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x＝1，能得到：a＜0，c＞0，﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，此结论错误；
②当x＝﹣1时，由图象知y＜0，
把x＝﹣1代入解析式得：a﹣b+c＜0，
∴b＞a+c，
∴此结论错误；
③图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x＝1，
能得到：a＜0，c＞0，﹣＝1，
所以b＝﹣2a，
所以4a+2b+c＝4a﹣4a+c＞0，
∴此结论正确；
④∵由①②知b＝﹣2a且b＞a+c，
∴2c＜3b，此结论正确；
⑤当x＝1时，y＝a+b+c，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
∵m≠1的实数，图象开口向下，对称轴为x＝1，
∴a+b+c＞am2+bm+c，
∴a+b＞m（am+b），
∴此结论正确．
故选：B．
【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
10．（2020秋•包河区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，则抛物线y＝cx2+bx+a的图象大致为（　　）

A． B． C．D．
【思路点拨】根据题意得到a﹣b+c＝0，a＞0，b＜0，c＝﹣1，即可得到抛物线y＝cx2+bx+a的开口向下，对称轴直线x＝﹣＜0，交y轴正半轴，经过点（﹣1，0），据此即可判断．
【答案】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，
∴开口向上，对称轴在y轴的右侧，
∴a﹣b+c＝0，a＞0，b＜0，c＝﹣1，
∴抛物线y＝cx2+bx+a的开口向下，对称轴直线x＝﹣＜0，交y轴正半轴，
当x＝﹣1时，y＝c﹣b+a＝0，
∴抛物线y＝cx2+bx+a经过点（﹣1，0），
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，判断出a、b、c以及a﹣b+c的符号是解题的关键．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（2021•贺兰县校级一模）用配方法将二次函数y＝2x2+4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是　y＝2（x+1）2+3．　．
【思路点拨】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【答案】解：y＝2x2+4x+5＝2（x2+2x+1﹣1）+5＝2（x+1）2+3，
故答案为：y＝2（x+1）2+3．
【点睛】考查了二次函数的三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
12．（2021春•雨花区校级期末）一个二次函数图象与x轴交于点（2，0），（1，0），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为 　y＝﹣2x2+6x﹣4　．
【思路点拨】借助两点式y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），x1和x2为抛物线x轴交点横坐标．
【答案】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣1），将点（0，﹣4）代入得，
2a＝﹣4，解得a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣2）（x﹣1）
＝﹣2x2+6x﹣4．
故答案为y＝﹣2x2+6x﹣4．
【点睛】本题主要考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线解析式有三种，分别为顶点式，交点式和一般式，解题关键是选择合适的解析式求解．
13．（2021春•瓯海区月考）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3，当x＝1与x＝2020时，函数值相等．则当x＝2021时，函数值等于　﹣3　．
【思路点拨】根据二次函数的图象具有对称性，可以得到该函数的对称轴，从而可以得到和x＝2021对应函数值相等的自变量x的值，然后即可得到当x＝2021时的函数值．
【答案】解：∵二次函数y＝ax2+bx﹣3，当x＝1与x＝2020时，函数值相等，
∴该函数的对称轴为直线x＝＝，
∴x＝2021和x＝×2﹣2021＝0时的函数值相等，
∵当x＝0时，y＝﹣3，
∴当x＝2021时，y＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确二次函数的性质，求出该函数的对称轴．
14．（2020秋•泰兴市期末）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＞0的解集为　﹣1＜x＜1　．

【思路点拨】直接利用函数图象即可得出结论．
【答案】解：∵由函数图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点坐标的横坐标为1和3
∴函数y＝a（x+2）2+b（x+2）+c的图象与x轴的交点横坐标为﹣1，1，
由函数图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c，当1＜x＜3时，函数图象在x轴的上方，
∴二次函数y＝a（x+2）2+b（x+2）+c，当﹣1＜x＜1时，函数图象在x轴的上方，
∴不等式a（x+1）2+b（x+1）+c＜0＜0的解集为﹣1＜x＜1．
故答案为：﹣1＜x＜1．
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式组，解题本题的关键是利用数形结合的思想，根据已知图象得到y＝a（x+2）2+b（x+2）+c的图象进而求出不等式的解集．
15．（2021春•天心区期末）为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣2）2+2，由此可知小明此次投掷的成绩是 　7　．

【思路点拨】当y＝0时代入解析式y＝﹣（x﹣2）2+2，求出x的值就可以求出结论．
【答案】解：由题意，得
当y＝0时，﹣（x﹣2）2+2＝0，
化简，得：（x﹣2）2＝25，
解得：x1＝7，x2＝﹣3（舍去），
故答案为：7．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的解法的运用，解答时由二次函数的解析式建立方程是关键．
16．（2021•泰兴市模拟）已知a、b、m满足a+2b＝m2﹣6m﹣5，3a+4b＝﹣m2+2m﹣6，则a+b的最大值为　　．
【思路点拨】两个等式联立成方程组，②﹣①得a+b＝﹣m2+4m﹣，利用配方法求最大值即可．
【答案】解：，
②﹣①得：2a+2b＝﹣2m2+8m﹣1，
∴a+b＝﹣m2+4m﹣
＝﹣（m﹣2）2+，
∴当m＝2时，a+b有最大值，最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，配方法求最值，得到a+b的表达式是本题的关键．
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（2020秋•北仑区期末）已知抛物线y＝a（x﹣4）2+2经过点（2，﹣2）．
（1）求a的值；
（2）若点A（m，y1），B（n，y2）（m＜n＜4）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
【思路点拨】（1）把点（2，﹣2）代入可求得a；
（2）由条件可知A、B两点都在对称轴左侧，利用二次函数的单调性质可比较大小．
【答案】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣4）2+2经过点（2，﹣2）．
∴﹣2＝a（2﹣4）2+2，
解得a＝﹣1；
（2）∵y＝﹣（x﹣4）2+2，
∴抛物线对称轴为直线x＝4，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜4时，x随着y的增大而增大，
∵m＜n＜4，
∴A、B在对称左侧，
∴y1＜y2．
【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式及二次函数图象上点的坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．（2020秋•北京期末）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当﹣3＜x＜1时，直接写出y的取值范围．

【思路点拨】（1）设交点式y＝a（x+3）（x﹣1），然后把（0，﹣3）代入求出得到抛物线解析式；
（2）利用描点发法画函数图象；
（3）结合函数图象，根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围．
【答案】解：（1）设 y＝a（x+3）（x﹣1），
将（0，﹣3）代入得a×3×（﹣1）＝﹣3，解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x+3）（x﹣1），
即y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
如图，

（3）当﹣3＜x＜1时，y的取值范围是﹣4≤y＜0．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
19．（2020秋•南浔区期末）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣4x+5的图象顶点为A，与x轴交于点B和点C，与y轴交于点D．点A的横坐标是﹣2．
（1）求B，C两点的坐标；
（2）平移该二次函数的图象使点A恰好落在点D的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

【思路点拨】（1）利用待定系数法求出a，再求出点B、C的坐标即可解决问题；
（2）由题意点A平移到D，抛物线向右平移2个单位，向下平移4个单位，由此可得抛物线的解析式．
【答案】解：（1）根据题意得：﹣＝﹣2，则a＝﹣1
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+5）（x﹣1），
∴B（﹣5，0），C（1，0）．
（2）令x＝0，得y＝5，
∴D（0，5），
由y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，得A（﹣2，9）．
把点A平移到点D，先把抛物线向右平移2个单位，再向下平移4个单位，可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+5，
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为y＝﹣x2+5．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，平移变换等知识，解（2）题的关键是正确运用配方法对抛物线解析式进行变换处理．
20．（2021春•浦江县期末）篮球运动员投篮后，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为直线x＝2.5．
（1）求篮球运动路线的抛物线表达式和篮球在运动中离地面的最大高度．
（2）若篮筐离地面3.05m，离运动员投篮处水平距离为4.2m，问：篮球以该运动方式，能否投进篮筐？若能投进篮筐，请说明理由；若不能，则运动员应向前还是往后移动多少米后再投篮，刚好能使篮球投进篮筐？

【思路点拨】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2.5）2+h，将（0，2.25）和（3.5，3.3）代入求得a、h的值可得答案；
（2）令y＝3.05解方程可得x1＝1，x2＝4，因此运动员应向前移动3.2m或0.2m．
【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2.5）2+h，
将（0，2.25）和（3.5，3.3）代入，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5，（0≤x≤3.5），
当x＝2.5时，y最大，最大值为3.5m，
∴篮球在运动中离地面的最大高度为3.5m；
（2）不能，
∵篮筐离地面3.05m，
∴3.05＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5，
解得：x1＝1，x2＝4，
∴抛物线向右平移0.2m，即运动员应向前移动0.2m，
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式．
21．（2021春•九龙坡区校级期末）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（1，0），点B（4，3），二次函数与y轴交于点C，与x轴的另一个交点为点D，设过C、D的一次函数的解析式为y＝kx+d．请根据以上信息解答下列问题：
（1）①该二次函数解析式为 　y＝x2﹣4x+3　；
②该一次函数的解析式为 　y＝﹣x+3　；
（2）在平面直角坐标系中画出该二次函数和一次函数的图象；
（3）请写出二次函数图象的增减性 　当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时y随x的增大而减小　；
（4）根据（2）的图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

【思路点拨】（1）①根据题意用待定系数法求函数解析式即可，②先求出求出一次函数与坐标轴的交点，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据函数的对称轴，顶点坐标，与坐标轴的交点画函数图象；
（3）根据函数的性质判断函数的增减性；
（4）从函数图象中直接得出结论．
【答案】解：（1）①二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（1，0），点B（4，3），
则，
解得：，
∴y＝x2﹣4x+3，
故答案为：y＝x2﹣4x+3；
②∵y＝x2﹣4x+3，
∴令y＝0，即x2﹣4x+3＝0，
解得：x＝1或x＝3，
∴二次函数与x轴的另一个交点为点D（3，0），
令x＝0，y＝3，
∴二次函数与y轴交于点C（0，3），
∵一次函数y＝kx+d过点C和点D，
则，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3，
故答案为：y＝﹣x+3；
（2）由（1）可知二次函数的顶点坐标（2，﹣1），与x轴交点坐标为（1，0），（3，0），
与y轴的交点为（0，3），
一次函数与坐标轴的交点为（3，0）和（0，3），
如图所示：

（3）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，a＝1＞0，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时y随x的增大而减小，
故答案为：当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时y随x的增大而减小；
（4）由（2）中图象可得，当0＜x＜3时，一次函数值大于二次函数值．
【点睛】本题考查二次函数与不等式的应用，用待定系数法求函数解析式，函数与坐标轴的交点，函数的性质等知识，关键是对二次函数性质的掌握以及数形结合解决问题．
22．（2020秋•长丰县期末）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．设公司销售板栗的日获利为w（元）．
x（元/kg）
7
8
9
y（kg）
4300
4200
4100
（1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为　y＝﹣100x+5000　；（不用写自变量的取值范围）
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？
（3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于42000元？
【思路点拨】（1）用待定系数法求解即可；
（2）由题意可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案；
（3）由题意可得w关于x的一元二次方程，求得方程的根，再结合x的取值范围，可得答案．
【答案】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把x＝7，y＝4300和x＝8，y＝4200代入得：
，
解得：，
∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝﹣100x+5000；
（2）由题意得：
w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）
＝﹣100x2+5600x﹣30000
＝﹣100（x﹣28）2+48400，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为直线x＝28．
∴当x＝28时，w有最大值为48400元．
∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元；
（3）当w＝42000元时，有：42000＝﹣100（x﹣28）2+48400，
∴x1＝20，x2＝36，
∵a＝﹣100＜0，
∴当20≤x≤36时，w≥42000，
又∵6≤x≤30，
∴当20≤x≤30时，日获利w不低于42000元．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法、二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
23．（2021•花都区二模）已知在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a、b是实数，a≠0）．
（1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，﹣6），求函数y1的表达式；
（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点（，0）；
（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m、n的值．
【思路点拨】（1）由对称轴可得b＝﹣6，再将点（a，﹣6）代入y1＝x2﹣6x+a即可求a的值，进而求函数解析式；
（2）将点（r，0）代入y1，得到0＝r2+br+a，再方程两边同时除以r2，是ax2+bx+1＝0的解，即可证明函数y2的图象经过点（，0）；
（3）分别求出m＝a﹣，n＝1﹣，由题意可得a＞0，且（a+1）（4a﹣b2）＝0，即可得b2＝4a，从而求出m＝n＝0．
【答案】解：（1）∵函数y1的对称轴为直线x＝3，
∴﹣＝3，
∴b＝﹣6，
∴y1＝x2﹣6x+a，
∵函数y1的图象经过点（a，﹣6），
∴﹣6＝a2﹣6a+a，
∴a2﹣5a+6＝0，
解得a＝2或a＝3，
∴y1＝x2﹣6x+2或y1＝x2﹣6x+3；
（2）∵函数y1的图象经过点（r，0），
∴0＝r2+br+a，
∵r≠0，
方程两边同时除以r2得，1++＝0，
即a+b•+1＝0，
∴是ax2+bx+1＝0的解，
∴函数y2的图象经过点（，0）；
（3）∵函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，
∴m＝a﹣，n＝1﹣，
∵m+n＝0，
∴a﹣+1﹣＝0，
∴（a+1）（4a﹣b2）＝0，
∴b2＝4a或a＝﹣1，
∵函数y1和函数y2都有最小值，
∴a＞0，
当b2＝4a时，m＝0，n＝0．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数对称轴、最大（小）值的求法是解题的关键．