第1章 三角形的初步认识单元测试(B卷提升篇）（浙教版）（解析版）

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第1章 三角形的初步认识单元测试(B卷提升篇）
【浙教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2019秋•拱墅区期末）一个三角形三个内角的度数之比为3：4：5，这个三角形一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【思路点拨】由题意知：把这个三角形的内角和180°平均分了12份，最大角占总和的，根据分数乘法的意义求出三角形最大内角即可．
【答案】解：因为3+4+5＝12，
5÷12＝，
180°×＝75°，
所以这个三角形里最大的角是锐角，
所以另两个角也是锐角，
三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，
所以这个三角形是锐角三角形．
故选：A．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理，解题时注意：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形．
2．（3分）（2020春•西湖区期末）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．若a•b＝0，则a＝0或b＝0 B．若a+b＞0，则a＞0且b＞0
C．若a﹣b＝0，则a＝0或b＝0 D．若a﹣b＞0，则a＞0且b＞0
【思路点拨】根据整式的乘法和不等式的性质判断即可．
【答案】解：A、若a•b＝0，则a＝0或b＝0，是真命题；
B、若a+b＞0，当a＞0，b＜0，|a|＞|b|，也成立，原命题是假命题；
C、若a﹣b＝0，则a＝b，原命题是假命题；
D、若a﹣b＞0，当a＞0，b＜0时，也成立，原命题是假命题；
故选：A．
【点睛】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3．（3分）（2019秋•苍南县期末）如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝BF，若利用“HL”证明△DEC≌△BFA，则需添加的条件是（　　）

A．EC＝FA B．DC＝BA C．∠D＝∠B D．∠DCE＝∠BAF
【思路点拨】根据“HL”的判定方法对各选项进行判断．
【答案】解：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC＝∠BFA＝90°，
∵DE＝BF，
∴当添加条件DC＝BA时，可利用“HL”证明△DEC≌△BFA．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：灵活运用全等三角形的判定是解决此类问题的关键．
4．（3分）（2019秋•余姚市期末）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线，②作一个角等于已知角．③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【思路点拨】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线的作法进而判断即可得出答案．
【答案】解：①作一个角的平分线的作法正确；
②作一个角等于已知角的方法正确；
③作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．
5．（3分）（2019秋•椒江区期末）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，DE为△ABD中AB边上的中线，△ABC的面积为6，则△ADE的面积是（　　）

A．1 B． C．2 D．
【思路点拨】根据三角形的中线的性质，得△ADE的面积是△ABD的面积的一半，△ABD的面积是△ABC的面积的一半，由此即可解决问题．
【答案】解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ABC＝3．
∵DE为△ABD中AB边上的中线，
∴S△ADE＝S△ABD＝．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线的性质等知识，解题的关键是掌握三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分．
6．（3分）（2020•绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【思路点拨】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论．
【答案】解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，利用了三角形中三边的关系求解．注意分类讨论，不重不漏．
7．（3分）（2019秋•柯桥区期末）如图，点D，E在△ABC边上，沿DE将△ADE翻折，点A的对应点为点A′，∠A′EC＝40°，∠A′DB＝110°，则∠A等于（　　）

A．30° B．35° C．60° D．70°
【思路点拨】由翻折可得∠AED＝∠A′ED＝×220°＝110°，∠ADE＝∠A′DE＝A′DA＝35°，再根据三角形内角和即可求得角A的度数．
【答案】解：∵∠A′EC＝40°，
∴∠AEC+∠A′EC＝180°+40°＝220°，
由翻折可知：
∠AED＝∠A′ED＝×220°＝110°，
∵∠A′DB＝110°，
∴∠A′DA＝70°，
由翻折可知：
∠ADE＝∠A′DE＝A′DA＝35°，
∴∠A＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝35°．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解决本题的关键是熟练掌握翻折的性质．
8．（3分）（2019秋•龙泉驿区期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（　　）

A．90° B．120° C．135° D．150°
【思路点拨】标注字母，利用“边角边”判断出△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠4，然后求出∠1+∠3＝90°，再判断出∠2＝45°，然后计算即可得解．
【答案】解：如图，在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴∠1＝∠4，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
又∵∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．
故选：C．

【点睛】本题考查了全等图形，网格结构，准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．
9．（3分）（2019秋•柯桥区期末）有A、B、C、D、E共5位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛1盘，比赛过程中间统计比赛的盘数知：A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，那么同学E赛了（　　）盘．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】共有5个人，A赛4盘，则A与B、C、D、E每人赛一盘，则B、C比赛一定不是于D赛的，依此类推即可确定．
【答案】解：共有5个人，A赛4盘，则A与B、C、D、E每人赛一盘；
B赛3盘，因为D赛了1盘，则这三盘一定是与A、C、E的比赛；
C赛了两盘，是与A和B赛的．
则E一共赛了2盘，是与A和B赛的．
故选：B．
【点睛】考查了推理与论证，根据每人最多赛四盘及每人已赛的盘数间的逻辑关系进行推理是完成本题的关键．
10．（3分）（2019春•南海区期末）如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则
下列结论，其中正确的是（　　）
①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．

A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④
【思路点拨】想办法证明△FAB≌△EAC（SAS），利用全等三角形的性质即可解决问题；
【答案】解：∵∠EAF＝∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAE，
∵AF＝AE，AB＝AC，
∴△FAB≌△EAC（SAS），故①正确，
∴BF＝EC，故②正确，
∴∠ABF＝∠ACE，
∵∠BDF＝∠ADC，
∴∠BFC＝∠DAC，∵∠DAC＝∠EAF，
∴∠BFC＝∠EAF，故③正确，
无法判断AB＝BC，故④错误，
故选：A．

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）（2019秋•滨江区期末）如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝40°，AD平分∠BAC交BC于点D，则∠ADC的度数是　80°　．

【思路点拨】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠BAD，根据三角形的外角性质计算即可．
【答案】解：∵∠C＝60°，∠B＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝40°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°，
故答案为：80°．
【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
12．（4分）（2019秋•拱墅区校级期中）如图所示，在△ABC和△DE中，B，E，C，F在同一条直线上．已知AB＝DE，AC＝DP，使△ABC≌△DEF还需要添加一个适当的条件　∠A＝∠D　．（只需添加一个即可）

【思路点拨】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只有符合全等三角形的判定定理即可．
【答案】解：添加的条件是：∠A＝∠D，
理由是：∵在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：∠A＝∠D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键．
13．（4分）（2019秋•港南区期末）一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝　11　．
【思路点拨】根据已知条件分清对应边，结合全的三角形的性质可得出答案．
【答案】解：∵这两个三角形全等，两个三角形中都有2
∴长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边6．同理可得y＝5
∴x+y＝11．
故答案为：11．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质及对应边的找法；根据两个三角形中都有2找对对应边是解决本题的关键．
14．（4分）（2019秋•北仑区期末）如图，已知AB∥CF，E为DF的中点．若AB＝13cm，CF＝7cm，则BD＝　6　cm．

【思路点拨】先根据平行线的性质求出∠ADE＝∠EFC，再由ASA可求出△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可求出AD的长，再由AB＝13cm即可求出BD的长．
【答案】解：∵AB∥CF，
∴∠ADE＝∠EFC，
∵∠AED＝∠FEC，E为DF的中点，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AD＝CF＝7cm，
∵AB＝13cm，
∴BD＝13﹣7＝6cm．
故答案为6
【点睛】本题考查的是平行线的性质、全等三角形的判定定理及性质，比较简单．
15．（4分）（2020•高青县一模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是一条角平分线，且相交于点P．已知∠APE＝55°，∠AEP＝80°，则∠B为　45　度．

【思路点拨】根据∠AEP＝∠B+∠ECB，只要求出∠ECB即可解决问题．
【答案】解：∵AD⊥BC，
∴∠PDC＝90°，
∵∠CPD＝∠APE＝55°，
∴∠PCD＝90°﹣55°＝35°，
∵∠AEP＝∠B+∠ECB，
∴∠B＝80°﹣35°＝45°，
故答案为45．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．（2019春•乐清市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝3BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为12，则△ACF与△BDE的面积之和为　3　．

【思路点拨】证出∠EBA＝∠FAC，∠AEB＝∠CFA，由AAS证明△ABE≌△CAF即可．得出△ABE的面积＝△ACF的面积，由已知得出△ABD的面积＝△ABC的面积＝3，即可得出结果．
【答案】解：∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠EBA+∠BAE，∠BAC＝∠FAC+∠BAE，
∴∠EBA＝∠FAC，∠AEB＝∠CFA，
在△ABE和△CAF中，，
∴△ABE≌△CAF（AAS）．
∴△ABE的面积＝△ACF的面积，
∵CD＝3BD，
∴BC＝4BD，
∴△ABD的面积＝△ABC的面积＝×12＝3，
∴△ACF与△BDE的面积之和＝△ABD的面积＝3；
故答案为：3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、以及三角形的面积关系等知识；证明三角形全等是解决问题的关键．
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（6分）（2019秋•温州期末）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：BE＝CD．

【思路点拨】由“SAS”可证△ABE≌△ACD，可得BE＝CD．
【答案】证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵在△ABE和△ACD中，

∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴BE＝CD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABE≌△ACD是本题的关键．
18．（8分）（2019秋•长兴县期中）如图，AD是△ABC的高线，AE是角平分线，若∠BAC：∠B：∠C＝6：3：1，求∠DAE的度数．

【思路点拨】根据三角形的内角和列方程即可得到结论．
【答案】解：∵∠BAC：∠B：∠C＝6：3：1，
∴设∠BAC＝6α，∠B＝3α，∠C＝α，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴6α+3α+α＝180°，
∴α＝18°，
∴∠BAC＝108°，∠B＝54°，∠C＝18°，
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°﹣90°﹣54°＝36°，
∵AE是角平分线，
∴∠BAE＝BAC＝108°＝54°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝54°﹣36°＝18°．
【点睛】本题主要考查了三角形高线、角平分线以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
19．（8分）（2019秋•下城区期末）如图，AB∥CD，AB＝CD，点E和点F在线段BC上，∠A＝∠D．
（1）求证：AE＝DF．
（2）若BC＝16，EF＝6，求BE的长．

【思路点拨】（1）由平行线的性质得出∠B＝∠C，证明△ABE≌△DCF（ASA），即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出BE＝CF，BF＝CE，由BF+CE＝BC﹣EF＝10，得出BF＝5，即可得出答案．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴AE＝DF．
（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴BE＝CF，BF＝CE，
∵BF+CE＝BC﹣EF＝16﹣6＝10，
∴2BF＝10，
∴BF＝5，
∴BE＝BF+EF＝5+6＝11．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
20．（10分）（2019秋•拱墅区期末）如图，点E在边BC上，∠1＝∠2，∠C＝∠AED，BC＝DE．
（1）求证：AB＝AD；
（2）若∠C＝70°，求∠BED的度数．

【思路点拨】（1）由“AAS”可证△ABC≌△ADE，可得AB＝AD；
（2）由全等三角形的判定和性质可得∠C＝∠AEC＝70°＝∠AED，由平角的性质可求解．
【答案】解：（1）∵∠1＝∠2，
∴∠CAB＝∠EAD，
又∵∠C＝∠AED，BC＝DE．
∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴AB＝AD；
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，
∴∠C＝∠AEC＝70°，
∵∠AED＝∠C＝70°，
∴∠BED＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△ABC≌△ADE是本题的关键．
21．（10分）（2020•温州一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连结AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE．
（1）求证：△ABD≌△DCE．
（2）若BD＝2，CD＝5，求AE的长．

【思路点拨】（1）根据AAS可证明△ABD≌△DCE；
（2）得出AB＝DC＝5，CE＝BD＝2，求出AC＝5，则AE可求出．
【答案】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∠1＝∠2，AD＝DE，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABD≌△DCE，
∴AB＝DC＝5，CE＝BD＝2，
∵AC＝AB，
∴AC＝5，
∴AE＝AB﹣EC＝5﹣2＝3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
22.（12分）（2019秋•柯桥区期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：

【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究廷伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
【思路点拨】【习题回顾】根据三角形的外角的性质证明；
【变式思考】根据角平分线的定义、直角三角形的性质解答；
【探究廷伸】同（1）、（2）的方法相同．
【答案】【习题回顾】证明：∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD∠CEF＝∠DAF+∠B，
∴∠CEF＝∠CFE；
【变式思考】∠CEF＝∠CFE
证明：∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF＝∠DAF，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ADF＝∠ACE＝90°，又∵∠CAE＝∠GAF，
∴∠CEF＝∠CFE；
【探究思考】∠M+∠CFE＝90°，
证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，又∵∠GAN＝∠CAM，
∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠M+∠CFE＝90°．
【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
23．（12分）（2019秋•娄底期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

【思路点拨】（1）经过1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，由已知可得BD＝PC，BP＝CQ，∠ABC＝∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP．
（2）可设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等，则可知PB＝3tcm，PC＝8﹣3tcm，CQ＝xtcm，据（1）同理可得当BD＝PC，BP＝CQ或BD＝CQ，BP＝PC时两三角形全等，求x的解即可．
【答案】解：（1）经过1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，
∵△ABC中，AB＝AC，
∴在△BPD和△CQP中，