人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.1 空间向量及其运算课时训练

1．1　空间向量及其运算

1.1.1　空间向量及其运算

知识点一  空间向量的有关概念

1.下列命题中，假命题是(　　)

A．向量与的长度相等

B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

C．只有零向量的模等于0

D．共线的单位向量都相等

答案　D

解析　共线的单位向量是相等向量或相反向量．故选D.

2．下列命题正确的有(　　)

①若a＝b，b＝c，则a＝c；

②空间向量a，b相等的充要条件是

③|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件；

④＝的充要条件是A与C重合，B与D重合．

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

答案　B

解析　①正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同．∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，故a＝c；②不正确．由a∥b，知a与b的方向相同或相反；③正确．a＝b⇒|a|＝|b|，但|a|＝|b|a＝b；④显然不正确．故选B.

3．下列关于单位向量与零向量的叙述正确的是(　　)

A．零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等

B．零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等

C．零向量的长度为0，单位向量不一定是相等向量

D．零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同

答案　C

解析　零向量的方向是任意的，且长度为0.两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，故选C.

知识点二  空间向量的加减运算

4.已知空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－等于(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　D

解析　＋－＝(＋)－＝－＝.故选D.

5．设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是(　　)

A.＋＝  B.＋＋＝0

C.－＝  D.＝－

答案　B

解析　B中向量的和应该是零向量，而不是数0，故选B.

6．在空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于(　　)

A．a＋b＋c   B．c－a－b

C．a－b－c   D．b－a＋c

答案　B

解析　如图所示，＝＋＝＋＋＝－b－a＋c.故选B.

7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为向量的共有(　　)

①(＋)＋；②(＋)＋；

③(＋)＋；④(＋)＋.

A．1个   B．2个 

C．3个   D．4个

答案　D

解析　根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知①②③④都是符合题意的．故选D.

8．(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　)

A.－－  B.＋－

C.－－  D.－＋

答案　AB

解析　选项A中，－－＝－＝；选项B中，＋－＝＋＝；选项C中，－－＝－＝－＝≠；选项D中，－＋＝＋＋＝＋≠.故选AB.

知识点三  空间向量的线性运算

9.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则(　　)

A．x＝1，y＝   B．x＝，y＝1

C．x＝1，y＝   D．x＝1，y＝

答案　D

解析　因为＝＋＝＋＝＋(＋)，所以x＝1，y＝.故选D.

10．已知空间四面体ABCD中，＝a－2c，＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.

答案　3a－b＋3c

解析　连接BE，EF，

∵＝(＋)＝(－＋)，

＝＝(－)＝(＋)，

∴＝－＝(＋)－(－＋)＝(＋)＝(5a－5b＋8c＋a－2c)＝(6a－5b＋6c)＝3a－b＋3c.

知识点四  空间向量的数量积

11.已知空间向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于(　　)

A．12   B．8＋

C．4   D．13

答案　D

解析　(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|·cos120°＝2×4－2×5×＝13.故选D.

12.如图，正四面体ABCD中，E是BC的中点，那么(　　)

A.·<·

B.·＝·

C.·>·

D.·与·不能比较大小

答案　C

解析　根据题意，得⊥，∴·＝0，又·＝(＋)·＝·(－)＋·＝||||cos120°－||||cos120°＋||||cos120°<0，∴·>·.故选C.

13．已知a，b是空间向量，|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a在b方向上的投影的数量为(　　)

A．－  B. 

C．－  D.

答案　D

解析　∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，∴a·a－a·b＝|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝0，又|a|＝1，|b|＝，∴|a|cos〈a，b〉＝，即a在b方向上的投影的数量为.故选D.

14．已知a，b均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝(　　)

A.  B. 

C.   D．4

答案　C

解析　|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝|a|2＋6|a||b|cos〈a，b〉＋9|b|2，∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴|a＋3b|2＝13，∴|a＋3b|＝.故选C.

一、选择题

1．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　)

A．平行四边形   B．空间四边形

C．等腰梯形   D．矩形

答案　A

解析　∵＋＝＋，∴＝.∴∥且||＝||.∴四边形ABCD为平行四边形．故选A.

2．已知a，b是空间向量，|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则a在b方向上的投影的数量为(　　)

A．4  B. 

C．－   D．－3

答案　B

解析　设a与b的夹角为θ，则a在b方向上的投影的数量为|a|cosθ＝＝.

3．在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且＝α＋β，则(　　)

A．α＝，β＝－1

B．α＝－，β＝1

C．α＝1，β＝－

D．α＝－1，β＝

答案　A

解析　根据向量加法的多边形法则以及已知可得，＝＋＋＝＋＋＝＋－＋＋＝－，∴α＝，β＝－1.故选A.

4．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉＝(　　)

A.  B. 

C．－   D．0

答案　D

解析　·＝·(－)＝·－·＝||·||cos〈，〉－||||cos〈，〉，因为〈，〉＝〈，〉＝，||＝||，所以·＝0，所以⊥，所以cos〈，〉＝0.故选D.

5．(多选)在四面体P－ABC中，以下说法正确的有(　　)

A．若＝＋，则＝3

B．若Q为△ABC的重心，则＝＋＋

C．若·＝0，·＝0，则·＝0

D．若正四面体P－ABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则||＝1

答案　ABC

解析　对于A，∵＝＋，∴3＝＋2，∴2－2＝－，∴2＝，∴3＝＋，即3＝，故A正确；对于B，若Q为△ABC的重心，则＋＋＝0，∴3＋＋＋＝3，∴3＝＋＋，即＝＋＋，故B正确；对于C，若·＝0，·＝0，则·＋·＝0，∴·＋·(＋)＝0，∴·＋·＋·＝0，∴·＋·－·＝0，∴(－)·＋·＝0，∴·＋·＝0，∴·＋·＝0，∴·(＋)＝0，∴·＝0，故C正确；对于D，∵＝－＝(＋)－＝(＋－)，

∴||＝|－－|.

∵|－－|

＝

＝

＝2，∴||＝，故D错误．故选ABC.

二、填空题

6．给出下列四个命题：

①方向相反的两个向量是相反向量；

②若空间向量a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b；

③不相等的两个空间向量的模必不相等；

④对于任何空间向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.

其中正确命题的序号为________．

答案　④

解析　对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错误；对于②，向量是不能比较大小的，故②错误；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错误；只有④正确．

7.已知M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且MP＝2PN，设向量＝a，O＝b，O＝c，则O＝________.

答案　a＋b＋c

解析　∵MP＝2PN，∴M＝2P，即O－O＝2(O－O)，3O＝O＋2O＝＋＋＝a＋b＋c，∴O＝a＋b＋c.

8．已知空间四边形OABC，若各边及对角线长都相等，且E，F分别为AB，OC的中点，则向量与的夹角的余弦值为__________．

答案　－

解析　如图，不妨设＝a，＝b，＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·b＝b·c＝c·a＝，∵＝(a＋b)，＝c－b，且||＝，||＝.∴·＝(a＋b)·＝a·c＋b·c－a·b－b2＝－.∴cos〈，〉＝＝－.

三、解答题

9．在六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，

(1)化简－＋＋，并在图中标出化简结果的向量；

(2)化简＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量．

解　(1)在六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，

－＋＋＝＋＋＋

＝＋＋

＝＋

＝.

如图所示．

(2)＋＋＋

＝(＋)＋(＋)

＝(－)＋(＋)

＝0＋

＝.

如图所示：

10. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，求与所成的角．

解　由题意，知PB＝，CD＝，

∵PA⊥平面ABCD，

∴·＝·＝·＝0.

∵AB⊥AD，∴·＝0.

∵AB⊥BC，∴·＝0.

∴·＝(＋)·(＋＋)

＝2＝||2＝1.

∴cos〈，〉＝＝.

∴与所成的角为60°.