人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.2 空间向量基本定理课后练习题

1．1.2　空间向量基本定理

知识点一  共面向量定理

1.在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　　)

A.＝3－2－

B.＋＋＋＝0

C.＋＋＝0

D.＝－＋

答案　C

解析　∵＋＋＝0，∴＝－－，∴M与A，B，C必共面．故选C.

2.如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.

求证：向量，，共面．

证明　因为M在BD上，且BM＝BD，

所以＝＝＋.

同理＝＋.

所以＝＋＋

＝＋＋

＝＋＝＋.

又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面.

知识点二  空间向量基本定理

3.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底．当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此pq，q⇒p.故选B.

4．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是(　　)

A．3a，a－b，a＋2b   B．2b，b－2a，b＋2a

C．a,2b，b－c   D．c，a＋c，a－c

答案　C

解析　对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为基底；同理可判断B，D错误．故选C.

5．O，A，B，C为空间四个点，又{，，}为空间的一组基底，则下列说法中错误的是(　　)

A．O，A，B，C四点不共线

B．O，A，B，C四点共面，但不共线

C．O，A，B，C四点中任意三点不共线

D．O，A，B，C四点不共面

答案　B

解析　由于{，，}为空间的一个基底，所以，，不共面，因此，O，A，B，C四点一定不共面，则B错误，故选B.

6.如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在上，且＝2，N为BC的中点，＝xa＋yb＋zc，则x，y，z分别为(　　)

A.，－，   B．－，，

C.，，－  D.，，－

答案　B

解析　＝＋＋＝＋(－)＋＝＋(－)＋(－)＝－＋＋，即x＝－，y＝，z＝.故选B.

7．已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，＝a，＝c，＝b，D是四边形OABC的对角线的交点，则(　　)

A.＝－a＋b＋c  B.＝－b－a－c

C.＝a－b－c  D.＝a－b＋c

答案　D

解析　＝＋＝－＋(＋)＝－＋O＝a－b＋c.故选D.

8．若向量，，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使{，，}成为空间的一组基底的关系是(　　)

A.＝＋＋

B.＝＋

C.＝＋＋

D.＝2－

答案　C

解析　对于A，由结论＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)⇔M，A，B，C四点共面知，，，共面；对于B，D，易知，，共面，故只有C中，，不共面．故选C.

9．(多选)设{a，b，c}是空间的一个基底，则下列说法正确的为(　　)

A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c

B．a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面

C．对空间任一向量p，总存在有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc

D．{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底

答案　BCD

解析　由{a，b，c}是空间的一个基底可知，在A中，若a⊥b，b⊥c，则a与c可以相交但不垂直，故A错误；在B中，若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面，故B正确；在C中，对空间任一向量p，总存在有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc，故C正确；在D中，若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c不共面，易得a＋b，b＋c，c＋a不共面，则{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底，故D正确．故选BCD.

10.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，设＝a，＝b，＝c，{a，b，c}为空间的一组基底，计算：

(1)·；

(2)EG的长．

解　(1)由题意，得

|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，

∴·＝c－a·(－a)＝.

(2)＝＋＋＝－a＋b＋c，

∴E2＝a2＋b2＋c2－a·b－a·c＋b·c＝，

∴||＝，即EG的长为.

一、选择题

1．从空间一点出发的三个不共线的向量a，b，c确定的平面个数是(　　)

A．1   B．2 

C．3   D．1或3

答案　D

解析　当三个向量共面时，可确定一个平面，当三个向量不共面时，可确定三个平面．故选D.

2．如图是一个平行六面体ABCD－A1B1C1D1，E为BC延长线上一点，＝2，则＝(　　)

A.＋＋  B.＋－

C.＋－  D.＋－

答案　B

解析　取BC的中点F，连接A1F，则A1D1綊FE，所以四边形A1D1EF是平行四边形，所以A1F綊D1E，所以＝.又＝＋＋＝－＋＋，所以＝＋－.故选B.

3．已知正方体ABCD－A′B′C′D′，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为基底，＝x＋y＋z，则x，y，z的值是(　　)

A．x＝y＝z＝1   B．x＝y＝z＝

C．x＝y＝z＝   D．x＝y＝z＝2

答案　A

解析　＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋＝＋＋.对比＝x＋y＋z，知x＝y＝z＝1.故选A.

4．如图，已知O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则xyz＝(　　)

A. B.

C. D．1

答案　A

解析　如图，连接AG1并延长，交BC于点E，则E为BC的中点，∴＝(＋)＝(－2＋)，＝＝(－2＋)．

∵＝3＝3(－)，

∴＝＝(＋)＝＋－＋＝＋＋，∴xyz＝.故选A.

5．(多选)下列说法中正确的是(　　)

A．A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间的基底，则A，B，M，N共面

B．已知{a，b，c}为空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的基底

C．若a·b<0，则〈a，b〉是钝角

D．若非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面．

答案　AB

解析　对于A，A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间的基底，则，，共面，则A，B，M，N共面，故A正确；对于B，已知{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c不共面，若m＝a＋c，则a，b，m也不共面，则{a，b，m}也是空间的基底，故B正确；对于C，当非零向量a，b夹角为π时，满足a·b<0，但它们夹角不为钝角，故C不正确；对于D，考虑三棱柱ABC－A1B1C1，＝a，＝b，AA1＝c，满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，但a，b，c不共面，故D不正确．故选AB.

二、填空题

6.四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，点G为BD上一点，BG＝2GD，＝a，＝b，＝c，用基底{a，b，c}表示向量＝________.

答案　a－b＋c

解析　＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋－)＝－＋＝a－b＋c.

7．若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且e1，e2，e3不共面，则当d＝αa＋βb＋γc时，α＋β＋γ＝________.

答案　3

解析　由已知，得d＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(γ＋β)e3，又因为d＝e1＋2e2＋3e2，所以故有α＋β＋γ＝3.

8．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝________.

答案　－

解析　如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上．易知EF綊A1D，∴＝，即＋λ＝0，∴λ＝－.

三、解答题

9．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以{，，}为基底，表示下列向量：

(1)，，；

(2)，，.

解　(1)＝＋＝＋＝＋.

＝＋＝＋.

＝＋＋＝＋＋.

(2)＝－＝（＋＋）－（＋）＝＋.

＝－＝（＋）－（＋）

＝－－.

＝＋＝＋＝－.

10．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，E是CC1的中点，设＝a，＝b，＝c.

(1)用基底{a，b，c}表示；

(2)求AE的长．

解　(1)根据向量的三角形法则得

＝＋＋＝a＋b＋c.

(2)∵||2＝2＝（a＋b＋c2）

＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋a·c＋b·c

＝25＋9＋4＋0＋(20＋12)cos60°

＝54，

∴||＝3，即AE的长为3.