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高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系当堂检测题
展开1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
知识点一 空间中向量的坐标
1.已知{e1,e2,e3}是单位正交基底,p=-e1+2e3.则向量p的坐标为________.
答案 (-1,0,2)
解析 p=-e1+2e3=-e1+0e2+2e3,故p的坐标为(-1,0,2).
知识点二 空间向量的运算与坐标的关系
2.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则a-b+2c=( )
A.(-9,-3,0) B.(0,2,-1)
C.(9,3,0) D.(9,0,0)
答案 C
解析 a-b+2c=(1,0,1)-(-2,-1,1)+(6,2,0)=(3,1,0)+(6,2,0)=(9,3,0).故选C.
3.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|a-b|的最小值为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵a-b=(1-t,1-t,t)-(2,t,t)=(-1-t,1-2t,0),∴|a-b|2=(-1-t)2+(1-2t)2=5t2-2t+2=5(t-)2+.当t=时,|a-b|2取得最小值,∴|a-b|的最小值为.故选C.
4.已知2a+b=(0,-5,10),c=(1,-2,-2),a·c=4,|b|=12,则〈b,c〉=________.
答案 120°
解析 (2a+b)·c=0×1+(-5)×(-2)+10×(-2)=-10,即2a·c+b·c=-10.又a·c=4,∴b·c=-18,又|c|=3,|b|=12,∴cos〈b,c〉==-.∵〈b,c〉∈[0,180°],∴〈b,c〉=120°.
5.已知a=(2,3,-1),b=(-2,1,3),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为________.
答案 6
解析 a·b=(2,3,-1)·(-2,1,3)=-4+3-3=-4,|a|=,|b|=,∴cos〈a,b〉==-.∴sin〈a,b〉=.∴平行四边形的面积为S=|a||b|·sin〈a,b〉=××=6.
6.单位向量a=(x,y,0)与向量c=(1,1,1)的夹角为,求:(1)x+y的值;
(2)xy的值.
解 (1)∵a与c的夹角为,
∴cos====,
即2(x+y)=.
∵|a|2=x2+y2=1,∴x+y=.
(2)由(1)知,(x+y)2=,
即x2+2xy+y2=,又x2+y2=1,∴xy=.
知识点三 空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
7.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则( )
A.x=,y=1 B.x=,y=-4
C.x=2,y=- D.x=1,y=-1
答案 B
解析 a+2b=(1+2x,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2),∵(a+2b)∥(2a-b),∴==.∴x=,y=-4.故选B.
8.已知a=(1,5,-2),b=(m,2,m+2),若a⊥b,则m的值为( )
A.0 B.6
C.-6 D.±6
答案 B
解析 因为a⊥b,所以1×m+5×2-2(m+2)=0,解得m=6.故选B.
9.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是( )
A.1 B.
C. D.
答案 D
解析 ∵ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),又ka+b与2a-b互相垂直,∴3(k-1)+2k-4=0,∴k=.故选D.
知识点四 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用
10.已知空间四点A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),D(x,-1,3)共面,则x的值为( )
A.4 B.1
C.10 D.11
答案 D
解析 =(-2,2,-2),=(-1,6,-8),=(x-4,-2,0).∵A,B,C,D共面,∴,,共面,∴存在实数λ,μ,使=λ+μ,即(x-4,-2,0)=(-2λ-μ,2λ+6μ,-2λ-8μ),
∴解得故选D.
11.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O(0,0,0),+λ与的夹角为120°,则λ的值为( )
A.± B.
C.- D.±
答案 C
解析 ∵=(1,0,0),=(0,-1,1),∴+λ=(1,-λ,λ).∴(+λ)·=λ+λ=2λ,|+λ|==,||=.∴cos120°==-,∴λ2=.又<0,∴λ=-.故选C.
12.若A(3cosα,3sinα,1),B(2cosθ,2sinθ,1),则||的取值范围是( )
A.[0,5] B.[1,5]
C.(1,5) D.(0,5)
答案 B
解析 ||=
=,∵-1≤cos(α-θ)≤1,∴1≤||≤5.故选B.
13.如图,在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,取D点为坐标原点建立空间直角坐标系,O,M分别是AC,DD1的中点,写出下列向量的坐标:=________,=________.
答案 (-2,0,1) (1,1,2)
解析 由题意得A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),B1(2,2,2),所以=(0,0,1)-(2,0,0)=(-2,0,1),=(2,2,2)-(1,1,0)=(1,1,2).
14.已知点A(λ+1,μ-1,3),B(2λ,μ,λ-2μ),C(λ+3,μ-3,9)三点共线,则实数λ+μ=________.
答案 0
解析 因为=(λ-1,1,λ-2μ-3),=(2,-2,6),若A,B,C三点共线,则∥,即=-=,解得λ=0,μ=0,所以λ+μ=0.
一、选择题
1.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),如果a与b为共线向量,则( )
A.x=1,y=1 B.x=,y=-
C.x=,y=- D.x=-,y=
答案 C
解析 因为a与b共线,所以==,所以x=,y=-.故选C.
2.已知向量a=(1,2,3),点A(0,1,0),若=-2a,则点B的坐标是( )
A.(-2,-4,-6) B.(2,4,6)
C.(2,3,6) D.(-2,-3,-6)
答案 D
解析 设O为坐标原点,由=-2a,得-=-2a,所以=-2a=(0,1,0)-2(1,2,3)=(-2,-3,-6).故选D.
3.已知向量a=(-2,x,2),b=(2,1,2),c=(4,-2,1),若a⊥(b-c),则x的值为( )
A.-2 B.2
C.3 D.-3
答案 A
解析 ∵b-c=(2,1,2)-(4,-2,1)=(-2,3,1),a·(b-c)=(-2,x,2)·(-2,3,1)=4+3x+2=0,∴x=-2.故选A.
4.若△ABC的顶点分别为A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD等于( )
A.5 B.
C.4 D.2
答案 A
解析 设=λ,又=(0,4,-3),则=(0,4λ,-3λ).又=(-4,5,0),∴=+=(-4,4λ+5,-3λ).由·=0,得4(4λ+5)+9λ=0,
解得λ=-,∴=,
∴||==5.故选A.
5.(多选)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=4,AA1=3,以,,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,则( )
A.点B1的坐标为(4,5,3)
B.点C1关于点B对称的点为(5,8,-3)
C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3)
D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)
答案 ACD
解析 由图形及已知可得,点B1的坐标为(4,5,3),点C1(0,5,3)关于点B对称的点为(8,5,-3),点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3),点C(0,5,0)关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0),因此A,C,D正确.故选ACD.
二、填空题
6.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)·(2b)=-2,则x=__________.
答案 2
解析 由题意得(0,0,1-x)·(2,4,2)=-2,即2(1-x)=-2,解得x=2.
7.已知空间中的点A(-1,1,2),B(-3,0,4),若|c|=3,c∥,则c=________.
答案 (-2,-1,2)或(2,1,-2)
解析 ∵=(-2,-1,2),且c∥,
∴设c=λ=(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).
∴|c|==3|λ|=3,
解得λ=±1,
∴c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).
8.已知空间三点A(2,3,-1),B(2,6,2),C(1,4,-1),则与的夹角θ的大小是________.
答案 120°
解析 因为=(0,3,3),=(1,-1,0),
所以cosθ====-.
又0°≤θ≤180°,所以θ=120°.
三、解答题
9.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以向量,为一组邻边的平行四边形的面积S;
(2)若向量a与向量,均垂直,且|a|=,求向量a的坐标.
解 (1)∵=(-2,-1,3),=(1,-3,2),
∴||==,
||==,
∴cos∠BAC==,
∴∠BAC=60°,∴S=||||sin∠BAC=7.
(2)设a=(x,y,z),
则a⊥⇒-2x-y+3z=0,
a⊥⇒x-3y+2z=0,
|a|=⇒x2+y2+z2=3,
解得x=y=z=1或x=y=z=-1,
∴a=(1,1,1)或(-1,-1,-1).
10.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出A,B,C,D,A1,B1,C1,D1各点的坐标,并写出向量D,D,D,,,,的坐标;
(2)若O,O1分别为正方体底面ABCD与侧面BCC1B1的中心,试写出向量的坐标.
解 (1)A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1).
D=(1,0,0),D=(1,1,0),D=(0,1,0),=(0,1,1),=(0,0,1),=(1,0,1),=(1,1,1).
(2)由题意得,O,O1分别为BD,BC1的中点,所以点O的坐标为(,,),即O(,,0),同理可得O1(,1,).故=(0,,).