高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系当堂检测题-教习网|<title>
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    高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系当堂检测题

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    这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系当堂检测题,共7页。

    1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系

    知识点一  空间中向量的坐标

    1.已知{e1e2e3}是单位正交基底,p=-e1+2e3.则向量p的坐标为________.

    答案 (-1,0,2)

    解析 p=-e1+2e3=-e1+0e2+2e3,故p的坐标为(-1,0,2).

    知识点二  空间向量的运算与坐标的关系

    2.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则ab+2c=(  )

    A.(-9,-3,0)   B.(0,2,-1)

    C.(9,3,0)   D.(9,0,0)

    答案 C

    解析 ab+2c=(1,0,1)-(-2,-1,1)+(6,2,0)=(3,1,0)+(6,2,0)=(9,3,0).故选C.

    3.已知a=(1-t,1-tt),b=(2,tt),则|ab|的最小值为(  )

    A.  B. 

    C.  D.

    答案 C

    解析 ab=(1-t,1-tt)-(2,tt)=(-1-t,1-2t,0),|ab|2=(-1-t)2+(1-2t)2=5t2-2t+2=5t2.当t时,|ab|2取得最小值|ab|的最小值为.故选C.

    4已知2ab=(0,-5,10),c=(1,-2,-2),a·c=4,|b|=12,则〈bc〉=________.

    答案 120°

    解析 (2abc=0×1+(-5)×(-2)+10×(-2)=-10,即2a·cb·c=-10.又a·c=4,b·c=-18,又|c|=3,|b|=12,cos〈bc〉==-.bc[0,180°],bc〉=120°.

    5.已知a=(2,3,-1),b=(-2,1,3),则以ab为邻边的平行四边形的面积为________.

    答案 6

    解析 a·b=(2,3,-1)·(-2,1,3)=-4+3-3=-4,|a|=,|b|=cos〈ab〉==-.sin〈ab〉=.平行四边形的面积为S=|a||b|·sin〈ab〉=××=6.

    6.单位向量a=(xy,0)与向量c=(1,1,1)的夹角为,求:(1)xy的值;

    (2)xy的值.

    解 (1)ac的夹角为

    cos

    即2(xy)=.

    |a|2x2y2=1,xy.

    (2)由(1)知,(xy)2

    x2+2xyy2,又x2y2=1,xy.

    知识点三  空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直

    7.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)(2ab),则(  )

    A.xy=1   B.xy=-4

    C.x=2,y=-   D.x=1,y=-1

    答案 B

    解析 a+2b=(1+2x,4,4-y),2ab=(2-x,3,-2y-2),(a+2b)(2ab),.xy=-4.故选B.

    8.已知a=(1,5,-2),b=(m,2,m+2),若ab,则m的值为(  )

    A.0   B.6 

    C.-6   D.±6

    答案 B

    解析 因为ab所以m+5×2-2(m+2)=0,解得m=6.故选B.

    9.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),kab2ab互相垂直k的值是(  )

    A.1  B. 

    C.  D.

    答案 D

    解析 kab=(k-1,k,2),2ab=(3,2,-2),kab2ab互相垂直3(k-1)+2k-4=0,k.故选D.

    知识点四  空间直角坐标系及空间向量坐标的应用

    10.已知空间四点A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),D(x,-1,3)共面,则x的值为(  )

    A.4   B.1 

    C.10   D.11

    答案 D

    解析 =(-2,2,-2),=(-1,6,-8),=(x-4,-2,0).ABCD共面,共面,存在实数λμ,使λμ,即(x-4,-2,0)=(-2λμ,2λ+6μ,-2λ-8μ),

    解得故选D.

    11.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O(0,0,0),λ的夹角为120°,则λ的值为(  )

    A.±  B. 

    C.-   D.±

    答案 C

    解析 =(1,0,0),=(0,-1,1),λ=(1,-λλ).(λλλ=2λ,|λ|=,||=.cos120°==-λ2.又<0,λ=-.故选C.

    12.若A(3cosα,3sinα,1),B(2cosθ,2sinθ,1),则||的取值范围是(  )

    A.[0,5]   B.[1,5]

    C.(1,5)   D.(0,5)

    答案 B

    解析 ||=

    -1≤cos(αθ)≤1,1≤||≤5.故选B.

    13.如图,在边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,取D点为坐标原点建立空间直角坐标系,OM分别是ACDD1的中点,写出下列向量的坐标:=________,=________.

    答案 (-2,0,1) (1,1,2)

    解析 由题意得A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),B1(2,2,2),所以=(0,0,1)-(2,0,0)=(-2,0,1),=(2,2,2)-(1,1,0)=(1,1,2).

    14.已知点A(λ+1,μ-1,3),B(2λμλ-2μ),C(λ+3,μ-3,9)三点共线,则实数λμ=________.

    答案 0

    解析 因为=(λ-1,1,λ-2μ-3),=(2,-2,6),若ABC三点共线,则,即=-,解得λ=0,μ=0,所以λμ=0.

     

     

    一、选择题

    1.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),如果ab为共线向量,则(  )

    A.x=1,y=1   B.xy=-

    C.xy=-   D.x=-y

    答案 C

    解析 因为ab共线,所以,所以xy=-.故选C.

    2.已知向量a=(1,2,3),点A(0,1,0),若=-2a,则点B的坐标是(  )

    A.(-2,-4,-6)   B.(2,4,6)

    C.(2,3,6)   D.(-2,-3,-6)

    答案 D

    解析 O为坐标原点,由=-2a,得=-2a,所以-2a=(0,1,0)-2(1,2,3)=(-2,-3,-6).故选D.

    3.已知向量a=(-2,x,2),b=(2,1,2),c=(4,-2,1),若a(bc),则x的值为(  )

    A.-2   B.2 

    C.3   D.-3

    答案 A

    解析 bc=(2,1,2)-(4,-2,1)=(-2,3,1),a·(bc)=(-2,x,2)·(-2,3,1)=4+3x+2=0,x=-2.故选A.

    4.若ABC的顶点分别为A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD等于(  )

    A.5  B.

    C.4   D.2

    答案 A

    解析 λ,又=(0,4,-3),则=(0,4λ,-3λ).又=(-4,5,0),=(-4,4λ+5,-3λ).由·=0,得4(4λ+5)+9λ=0,

    解得λ=-

    ||==5.故选A.

    5.(多选)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=5,AD=4,AA1=3,以的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,则(  )

    A.点B1的坐标为(4,5,3)

    B.点C1关于点B对称的点为(5,8,-3)

    C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3)

    D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)

    答案 ACD

    解析 由图形及已知可得,点B1的坐标为(4,5,3),点C1(0,5,3)关于点B对称的点为(8,5,-3),点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3),点C(0,5,0)关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0),因此A,C,D正确.故选ACD.

    二、填空题

    6.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(ca)·(2b)=-2,则x=__________.

    答案 2

    解析 由题意得(0,0,1-x)·(2,4,2)=-2,即2(1-x)=-2,解得x=2.

    7.已知空间中的点A(-1,1,2),B(-3,0,4),若|c|=3,c,则c=________.

    答案 (-2,-1,2)或(2,1,-2)

    解析 =(-2,-1,2),且c

    cλ=(-2λ,-λ,2λ)(λR).

    |c|==3|λ|=3,

    解得λ=±1,

    c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).

    8.已知空间三点A(2,3,-1),B(2,6,2),C(1,4,-1),则的夹角θ的大小是________.

    答案 120°

    解析 因为=(0,3,3),=(1,-1,0),

    所以cosθ=-.

    又0°≤θ≤180°,所以θ=120°.

    三、解答题

    9.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).

    (1)求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S

    (2)若向量a与向量均垂直,且|a|=,求向量a的坐标.

    解 (1)=(-2,-1,3),=(1,-3,2),

    ||=

    ||=

    cosBAC

    ∴∠BAC=60°,S=||||sinBAC=7.

    (2)设a=(xyz),

    a-2xy+3z=0,

    ax-3y+2z=0,

    |a|=x2y2z2=3,

    解得xyz=1或xyz=-1,

    a=(1,1,1)或(-1,-1,-1).

    10.已知ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体,建立如图所示的空间直角坐标系.

    (1)写出ABCDA1B1C1D1各点的坐标,并写出向量DDD的坐标;

    (2)若OO1分别为正方体底面ABCD与侧面BCC1B1的中心,试写出向量的坐标.

    解 (1)A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1).

    D=(1,0,0),D=(1,1,0),D=(0,1,0),=(0,1,1),=(0,0,1),=(1,0,1),=(1,1,1).

    (2)由题意得,OO1分别为BDBC1的中点,所以点O的坐标为,即O,0,同理可得O1,1,.故0,.

     

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