数学选择性必修 第一册1.2.2 空间中的平面与空间向量同步测试题

1．2.2　空间中的平面与空间向量

知识点一  平面的法向量

1.已知平面α内有一点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝，则下列四个点中在平面α内的是(　　)

A．P1(1，－1,1)   B．P2

C．P3   D．P4

答案　B

解析　对于A中的点P1(1，－1,1)，＝(1,0,1)，·n＝≠0，排除A.同理可排除C，D.对于B中的点P2，＝，∴·n＝0，故选B.

2．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则等于(　　)

A．(－，，－3)  B.(，－，－3)

C.(，－，－3)  D.(，，－3)

答案　B

解析　由·＝0，得3＋5－2z＝0，∴z＝4.又⊥平面ABC，∴即解得故＝(，－，－3).故选B.

3．过点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)的平面的一个法向量为________．

答案　(1,1,1)

解析　设法向量n＝(x，y,1)，由

得∴∴n＝(1,1,1)．

知识点二  利用方向向量和法向量判断线面位置关系

4.给定下列命题：①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，且向量a与平面α共面，则a·n＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．其中正确命题的个数是(　　)

A．1   B．2 

C．3   D．4

答案　B

解析　①中平面α，β可能平行，也可能重合，②中α∥β⇒n1∥n2，故①②不正确．③④易知正确．故选B.

5．设平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2,3,1)垂直，则平面α与β的位置关系是________．

答案　垂直

解析　∵a·b＝(－1,2，－4)·(2,3,1)＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∵平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2,3,1)垂直，∴α⊥β，故答案为垂直．

6．设u，v分别是平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系．

(1)u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，－)；

(2)u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)；

(3)u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)．

解　(1)∵u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，－)，

∴u·v＝3－2－1＝0.

∴u⊥v，∴α⊥β.

(2)∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，

∴u＝－v，∴u∥v，

∴平面α，β可能平行，也可能重合．

(3)∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，

∴u与v既不共线，也不垂直，

∴平面α与β相交(不垂直)．

7．设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断α与l的关系．

(1)u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)；

(2)u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)；

(3)u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)．

解　(1)∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，

∴u·a＝－6＋8－2＝0.

∴u⊥a.∴直线l与平面α的位置关系是l⊂α或l∥α.

(2)∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，

∴u＝－a.∴u∥a，∴l⊥α.

(3)∵u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)，

∴u与a不共线也不垂直．

∴l与α相交(斜交)．

8．已知三棱锥P－ABC，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，求证：平面DEF∥平面ABC.

证明　如图．

设＝a，＝b，＝c，则由条件知，＝2a，＝2b，＝2c.

设平面DEF的一个法向量为n，

则n·＝0，n·＝0.

∴n·(b－a)＝0，n·(c－a)＝0.

∴n·A＝n·(－)＝n·(2b－2a)＝0，

n·＝n·(－)＝n·(2c－2a)＝0，

∴n⊥，n⊥.

∴n是平面ABC的法向量．

∴平面DEF∥平面ABC.

知识点三  三垂线定理及其逆定理

9.如图，BC是Rt△ABC的斜边，过点A作△ABC所在平面α的垂线AP，连接PB，PC，过点A作AD⊥BC于点D，连接PD，那么图中的直角三角形共有(　　)

A．4个   B．6个

C．7个   D．8个

答案　D

解析　∵AP⊥平面α，∴PD在平面α内的射影为AD，∵AD⊥BC，由三垂线定理可得，PD⊥BC，∴△ABC，△ABD，△ACD，△PBD，△PCD，△PAB，△PAD，△PAC均为直角三角形，共8个，故选D.

10．已知三棱锥P－ABC的高为PH，若P到△ABC的三边的距离相等，且点H在△ABC内，则点H为△ABC的(　　)

A．垂心   B．重心

C．外心   D．内心

答案　D

解析　由题意，作出符合题意的图形，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接HE，HF，

∵PH⊥平面ABC，∴PE在平面ABC内的射影为HE，∵PE⊥AB，由三垂线定理的逆定理可得，HE⊥AB，同理可得HF⊥AC，∵PE＝PF，∴HE＝HF，即点H到AB，AC的距离相等，同理可证，点H到△ABC三边的距离都相等，∴点H是△ABC的内心，故选D.

一、选择题

1．设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件A·n＝0的点M构成的图形是(　　)

A．圆   B．直线 

C．平面   D．线段

答案　C

解析　∵A·n＝0，∴A⊥n或A＝0，∴点M在过点A且以n为法向量的平面上，故选C.

2．若直线l的方向向量为a＝，平面β的法向量为b＝(－1,0，－2)，则(　　)

A．l∥β   B．l⊥β

C．l⊂β   D．l与β斜交

答案　B

解析　∵b＝(－1,0，－2)＝－2＝－2a.∴a与b共线，又b是β的法向量，∴l⊥β.故选B.

3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)

A．AC   B．BD 

C．A1D   D．A1A

答案　B

解析　直线CE在平面ABCD内的射影在AC上，∵BD⊥AC，∴由三垂线定理，得BD⊥CE，故选B.

4．若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为(　　)

A．10   B．－10 

C.   D．－

答案　B

解析　∵α⊥β，∴它们的法向量也垂直，即(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0.∴－x－2－8＝0.∴x＝－10.

5.(多选)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，且ED＝FB＝1，G为线段EC上的动点，则下列结论中正确的是(　　)

A．EC⊥AF

B．该几何体外接球的表面积为3π

C．若G为EC的中点，则GB∥平面AEF

D．AG2＋BG2的最小值为3

答案　ABC

解析　如图所示，几何体可补形为正方体，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系．A中，由正方体的性质易得EC⊥AF；B中，该几何体的外接球与正方体的外接球相同，外接球半径为，故外接球表面积为3π；C中，A(1,0,0)，E(0,0,1)，F(1,1,1)，B(1，1,0)，C(0,1,0)，则＝(－1，0,1)，＝(0,1,1)．设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)．由得令z＝1，得x＝1，y＝－1，则n＝(1，－1,1)．当G为EC的中点时，G，则＝，所以·n＝0，又GB⊄平面AEF，所以GB∥平面AEF；D中，设G(0，t，1－t)(0≤t≤1)，则AG2＋BG2＝4t2－6t＋5＝42＋，故当t＝时，AG2＋BG2取最小值.故选ABC.

二、填空题

6．已知平面α的一个法向量u＝(－2，x,1)，平面β的一个法向量v＝(1，－2，y)，若α∥β，则x＋y＝________.

答案　

解析　因为α∥β，所以u∥v，所以＝＝，解得x＝4，y＝－，所以x＋y＝.

7．已知平面α经过点A(0,0,2)，且平面α的一个法向量为n＝(1，－1，－1)，则x轴与平面α的交点坐标是______．

答案　(－2,0,0)

解析　设交点为M(x,0,0)，则＝(x,0，－2)，平面α的一个法向量n＝(1，－1，－1)，则n·＝0，解得x＝－2，故x轴与平面α的交点坐标是(－2,0,0)．

8．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________.

答案　a或2a

解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则点B1(0,0,3a)，C(0，a,0)，D(a，a,3a).

设E(a,0，z)(0≤z≤3a)，则＝(a，－a，z)，＝(a，0，z－3a)，＝(a，a，0).又·＝a2－a2＋0＝0，C·＝2a2＋z2－3az＝0，解得z＝a或2a.故AE＝a或2a.

三、解答题

9．如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.

证明　如图所示，取BC的中点O，连接AO.

因为△ABC为正三角形，

所以AO⊥BC.

因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，

所以AO⊥平面BCC1B1.

取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，

B1(1,2,0)，＝(－1,2，)，＝(－2,1,0)．

设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，

因为n⊥，n⊥，

故⇒

令x＝1，则y＝2，z＝－，

故n＝(1,2，－)为平面A1BD的一个法向量，

而＝(1,2，－)，

所以＝n，所以∥n，

故AB1⊥平面A1BD.

10.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.

证明　证法一：如图所示，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1，则

M(0,1，)，N(，1,1)，D(0,0,0)，A1(1，0,1)，B(1，1,0)，于是＝(，0，)，＝(1,0,1)，＝(1,1,0)．

设平面A1BD的一个法向量是n＝(x，y，z)，

则n·＝0，且n·＝0，得

取x＝1，得y＝－1，z＝－1，所以n＝(1，－1，－1)．

又·n＝(，0，)·(1，－1，－1)＝0，

所以⊥n.又MN⊄平面A1BD，

所以MN∥平面A1BD.

证法二：因为＝－＝－

＝(－)＝，

所以∥.

而MN⊄平面A1BD，DA1⊂平面A1BD，

所以MN∥平面A1BD.