数学1.2.5 空间中的距离课后练习题

1．2.5　空间中的距离

知识点一  空间中两点之间的距离

1.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为BB1的中点，则MN的长为(　　)

A.a  B.a 

C.a  D.a

答案　A

解析　设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，a·b＝b·c＝c·a＝0，

由条件知，＝－

＝(＋)－

＝(＋＋)－

(＋＋)

＝(2a－c)－(－c＋a＋b)＝a－b－c，

||2＝a－b－c2＝2a－b－c2

＝(4|a|2＋|b|2＋|c|2－4a·b－2a·c＋b·c)

＝，∴||＝a.故选A.

2.如图所示，在直二面角α－l－β中，A，B∈l，AC⊂α，AC⊥l，BD⊂β，BD⊥l，AC＝6，AB＝8，BD＝24，则线段CD的长为________．

答案　26

解析　∵AC⊥AB，BD⊥AB，AC⊥BD，∴·＝0，·＝0，·＝0.∵＝＋＋，

∴2＝(＋＋)2＝676，∴||＝26.

3．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．

解　∵∠ACD＝90°，∴·＝0.

同理，·＝0.

∵AB与CD成60°角，∴〈，〉＝60°或120°.

又＝＋＋，

∴·＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉．

当〈，〉＝60°时，2＝4，||＝2，

当〈，〉＝120°时，2＝2，||＝.

∴B，D两点间的距离为2或.

知识点二  点到直线的距离

4.直角△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是________．

答案　3

解析　以C为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．则A(4,0,0)，B(0,3,0)，P(0,0，)，所以＝(－4,3,0)．

设D满足A＝λ且PD⊥AB，则＝＋λ＝(4,0,0)＋λ(－4,3,0)＝(4－4λ，3λ，0)，即D(4－4λ，3λ，0)，所以＝.又因为PD⊥AB，所以·＝0，即－4(4－4λ)＋9λ＝0，解得λ＝，因此＝，从而可知点P到斜边AB的距离为||＝＝3.

知识点三  点到平面的距离

5.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　B

解析　以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则有D1(0,0,1)，D(0，0,0)，A(1，0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，C1(0，1,1).＝(－1,0,1)，＝(0,1,0)．因为O为A1C1的中点，所以O(，，1)，＝(，－，0).设平面ABC1D1的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则即取n＝(1,0,1)，所以O到平面ABC1D1的距离为d＝＝＝.故选B.

6.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为(　　)

A．2  B. 

C.  D.

答案　D

解析　以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则G(2，λ，2)，D1(0,0,2)，E(2,0,1)，F(2，2,1)，＝(－2,0,1)，＝(0,2,0)，＝(0，λ，1)．设平面D1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则

取x＝1，得n＝(1,0,2)，则点G到平面D1EF的距离为d＝＝＝，故选D.

7．已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为________．

答案　

解析　设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则即

∴可取n＝(－，－1,1).

又＝(－7，－7,7)，

∴点D到平面ABC的距离d＝＝.

8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，求点A到截面A1BD的距离．

解　建立空间直角坐标系如图所示，

则A1(a,0,0)，A(a,0，a)，B(a，a，a)，D(0,0，a)，

＝(a，a,0)，＝(0，a，a)，＝(0，a,0)．

设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则即∴

令y＝－1，则n＝(1，－1,1)，

∴点A到平面A1BD的距离为

d＝＝＝a.

知识点四  相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离

9.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N，R分别为OA，BC，AD的中点，求直线MN与平面OCD的距离及平面MNR与平面OCD的距离．

解　因为M，R分别为AO，AD的中点，

所以MR∥OD.

在正方形ABCD中，N，R分别为BC，AD的中点，

所以NR∥CD.

又MR∩NR＝R，OD∩CD＝D，

所以平面MNR∥平面OCD.

又MN⊂平面MNR，所以MN∥平面OCD.

所以直线MN与平面OCD的距离、平面MNR与平面OCD的距离都等于点N到平面OCD的距离．

以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则O(0,0,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，N(2,1,0)，

所以＝(0,1,0)，＝(0,2，－2)，＝(－2,0,0)，

设平面OCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则

令z＝1，得n＝(0,1,1)为平面OCD的一个法向量．

所以点N到平面OCD的距离d＝＝，

所以直线MN与平面OCD的距离、平面MNR与平面OCD的距离都等于.

一、选择题

1．在空间直角坐标系中，已知点A(2,3,4)，B(－2,1,0)，C(1,1,1)，那么点C到线段AB中点的距离是(　　)

A．1  B. 

C．2  D.

答案　B

解析　AB的中点D的坐标为(0,2,2)，

||＝＝.故选B.

2．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　B

解析　利用等积转化VA－A1BC＝VA1－ABC，求得d＝.故选B.

3．已知ABC－A1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C到平面AB1D的距离为(　　)

A.a  B.a 

C.a  D.a

答案　A

解析　连接A1B，交AB1于点O，连接OD.由题知，OD⊥平面ABB1A1，∴OD⊥A1B.∵ABB1A1为正方形，∴A1B⊥AB1，又OD⊂平面AB1D，AB1⊂平面AB1D，OD∩AB1＝O，∴A1B⊥平面AB1D，∴是平面AB1D的一个法向量．设点C到平面AB1D的距离为d，则d＝＝

＝＝＝a.

4．球O与棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的各条棱都相切，点M为棱DD1的中点，则平面ACM截球O所得的截面圆与球心O所构成的圆锥的体积为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　B

解析　因为球O与棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的各条棱都相切，则球心在正方体的体对角线交点，球的半径为r＝，如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则A(2，0,0)，C(0,2,0)，M(0,0,1)，O(1,1,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,0,1)，＝(－1,1,1)．设平面ACM的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则令x＝1，则y＝1，z＝2，即n＝(1,1,2)．球心O到平面ACM的距离为d＝＝＝.故△ACM的外接圆的半径为＝.故圆锥的体积为V＝×π×()2×＝.故选B.

5．(多选)已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC和AC的中点．PA＝2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点．则下列结论正确的为(　　)

A．点P到平面ABC的距离为2

B．线段PQ的长为2

C．直线AE到平面PFQ的距离为

D．点B到平面PFQ的距离为

答案　ACD

解析　对于A，∵PA⊥平面ABC，∴点P到平面ABC的距离即为PA的长，为2，A正确；如图，以A为坐标原点，平面ABC内垂直于AC边所在直线的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系．

∵AP＝2，AB＝BC＝AC＝4，又E，F分别是BC，AC的中点，∴A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，F(0,2,0)，E(，3,0)，Q(，，0)，P(0,0,2)．对于B，∵＝(，，－2)，∴PQ＝||＝＝，B错误；对于C，∵＝，，0，＝(，3,0)，∴＝2.∵与无交点，∴AE∥FQ.又FQ⊂平面PFQ，AE⊄平面PFQ，∴AE∥平面PFQ.∴点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离．设平面PFQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，即n·＝0，n·＝0.

又＝(0,2，－2)，∴n·＝2y－2z＝0，即y＝z.

又＝(，，0)，∴n·＝x＋y＝0，

即x＝－y.令y＝1，则x＝－，z＝1，∴平面PFQ的一个法向量为n＝(－，1,1)．又＝(－，－，0)，∴直线AE到平面PFQ的距离为＝，C正确；对于D，＝(，－，0)，∴点B到平面PFQ的距离为＝，D正确．故选ACD.

二、填空题

6．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到平面α的距离为________．

答案　

解析　d＝＝＝.

7．在四棱锥P－ABCD中，设向量＝(4，－2,3)，＝(－4,1,0)，＝(－6,2，－8)，则顶点P到底面ABCD的距离为________．

答案　2

解析　设平面ABCD的一个法向量n＝(x，y，z)，则令x＝3，则y＝12，z＝4，

∴n＝(3,12,4)，∴点P到底面ABCD的距离d＝＝＝2.

8.如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为_______．

答案　2

解析　∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴〈，〉＝120°.∵＝＋＋，且·＝0，·＝0，∴||2＝·＝(＋＋)·(＋＋)＝||2＋||2＋||2＋2·＝||2＋||2＋||2＋2||||cos〈，〉＝62＋42＋82＋2×6×8×＝68，∴||＝2，故CD的长为2.

三、解答题

9．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求平面AB1C与平面A1C1D之间的距离．

解　建立如图所示的空间直角坐标系，

则A1(1,0,0)，C1(0,1,0)，D(0,0,1)，A(1，0,1)，

所以＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，＝(－1,0,0)，

设平面A1C1D的一个法向量为m＝(x，y,1)，

则即

解得故m＝(1,1,1)，

显然平面AB1C∥平面A1C1D，

所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离

d＝＝＝.

10.如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为A1B1的中点．

(1)求异面直线AE与BF所成的角的余弦值；

(2)求平面BDF与平面AA1B所成二面角(锐角)的余弦值大小；

(3)求点A到平面BDF的距离．

解　(1)如图①，连接B1D1，过F作B1D1的垂线，垂足为K，

由题意可得∠ABD＝30°，

∴AD＝.

∵BB1与两底面ABCD，A1B1C1D1都垂直，

 ⇒FK⊥平面BDD1B1，

 ⇒AE⊥平面BDD1B1，

因此FK∥AE，

∴∠BFK为异面直线BF与AE所成的角，连接BK，

由FK⊥平面BDD1B1，得FK⊥BK.

从而△BKF为直角三角形．

在Rt△B1KF和Rt△B1A1D1中，

由＝，得FK＝＝

＝＝.

又BF＝＝，∴cos∠BFK＝＝.

∴异面直线BF与AE所成的角的余弦值为.

(2)如图②，由于DA⊥平面AA1B，过点A作BF的垂线AG，垂足为G，连接DG，由三垂线定理知BG⊥DG.

∴∠AGD即为平面BDF与平面AA1B所成二面角的平面角．

且∠DAG＝90°，在平面AA1B中，延长BF与AA1的延长线交于点S.

∵F为A1B1的中点，A1F＝AB，

∴A1，F分别为SA，SB的中点，即SA＝2A1A＝2＝AB.

∴Rt△BAS为等腰直角三角形，垂足G点实为斜边SB的中点F，即F，G重合，易得AG＝AF＝SB＝.

在Rt△AGD中，AD＝，

∴cos∠AGD＝＝＝.

即平面BDF与平面AA1B所成二面角(锐角)的余弦值大小为.

(3)由(2)知平面AFD是平面BDF与平面AA1B所成二面角的平面角所在的平面．

∴平面AFD⊥平面BDF.

在Rt△ADF中，作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离．

由AH·DF＝AD·AF，得

AH＝＝＝.

所以点A到平面BDF的距离为.