高中人教B版 (2019)第二章　平面解析几何2.1 坐标法练习

2.1　坐标法

知识点一  平面直角坐标系中的基本公式

1.数轴上三点A，B，C，点A(－1)，点B(2)，点C到点A和点B的距离之和小于4，则点C的坐标范围为(　　)

A．（－，）   B．（－，）

C．（－，－）  D.（，）

答案　A

解析　设C(m)，由A(－1)，B(2)，得|AC|＋|BC|＝|m＋1|＋|m－2|<4，∴－<m<.∴点C的坐标范围为（－，）.故选A.

2．已知A(1,2)，B(a,6)，且|AB|＝5，则a的值为(　　)

A．4  B．－4或2

C．－2  D．－2或4

答案　D

解析　∵ ＝5，∴a＝4或－2.

3．已知△ABC的三个顶点A(－1,0)，B(1,0)和C，则△ABC的形状是(　　)

A．等腰三角形  B．等边三角形

C．直角三角形  D．斜三角形

答案　C

解析　∵|AB|＝＝2，

|BC|＝ ＝1，

|AC|＝ ＝，

∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，

∴△ABC为直角三角形．故选C.

4．已知点A(x,5)关于点C(－3，－2)的对称点是B(1，y)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)

A．4  B. 

C.  D.

答案　D

解析　根据中点坐标公式，得

解得

∴|OP|＝＝.

5．已知点P(a＋3，a－2)在y轴上，则点P关于原点的对称点的坐标为________．

答案　(0,5)

解析　由点P(a＋3，a－2)在y轴上，得a＋3＝0，

a＝－3，∴a－2＝－5，

即点P(0，－5)关于原点的对称点的坐标为(0,5)．

6．若A(a)与B(－5)两点对应的向量的坐标为－10，则a＝______，若A与B的距离为10，则a＝______.

答案　5　5或－15

解析　∵向量的坐标为xB－xA，|AB|＝|xB－xA|，∴－5－a＝－10，

解得a＝5.|－5－a|＝10，

解得a＝5或a＝－15.

7．已知数轴上三点A(x)，B(2)，P(3)．

(1)当向量与2的坐标相等时，求x；

(2)当向量与2的坐标相等时，求x；

(3)当向量的坐标大于向量2的坐标时，求x的取值范围．

解　由题意，可知向量的坐标为3－x，向量的坐标为1.

(1)当向量与2的坐标相等时，有3－x＝2，

解得x＝1.

(2)当向量与2的坐标相等时，

有3－x＝2×(－1)，解得x＝5.

(3)当向量的坐标大于向量2的坐标时，

有3－x＞2，解得x＜1.

知识点二  坐标法

8.用坐标法证明▱ABCD的对角线相交且平分．

证明　设AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy(如图)．

设A点，B点，C点的坐标分别为A(－a,0)，B(a,0)(a>0)，C(b，c)，由平行四边形的性质知D点的坐标为(－2a＋b，c)．再设AC，BD的中点分别为E(x1，y1)，F(x2，y2)，

由中点坐标公式得

即E（，）.

即F（，）.

∴点E与点F重合，

∴▱ABCD的对角线相交且平分．

9．已知0＜x＜2,0＜y＜2，求|＋＋＋|的最小值．

解　根据题意，设P(x，y)，A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0，2)，若0<x<2,0<y<2，则P在矩形ABCD的内部，

则＋＋

＋的几何意义为P到A，B，C，D四点的距离之和，

即＋＋＋

＝|PA|＋|PD|＋|PB|＋|PC|，

分析可得，当P为矩形ABCD的对角线的交点，即(1,1)时，|PA|＋|PC|与|PB|＋|PD|同时取得最小值，此时|PA|＋|PD|＋|PB|＋|PC|取得最小值，且其最小值为|AC|＋|BD|＝4.

一、选择题

1．点A(2，－3)关于坐标原点的对称点是(　　)

A．(3，－2)  B．(－2，－3)

C．(－2,3)  D．(－3,2)

答案　C

解析　设所求点的坐标为B(x，y)，则由题意知坐标原点是点A，B的中点，则解得故选C.

2．已知直线上两点A(a，b)，B(c，d)，且－＝0，则(　　)

A．原点一定是线段AB的中点

B．A，B一定都与原点重合

C．原点一定在线段AB上，但不是中点

D．以上结论都不对

答案　D

解析　由 －＝0得 ＝，即A，B两点到坐标原点的距离相等，所以原点在线段AB的垂直平分线上，故选D.

3．已知A(1,3)，B(5，－2)，点P在x轴上，则使|AP|－|BP|取最大值时的点P的坐标是(　　)

A．(4,0)  B．(13,0)

C．(5,0)  D．(1,0)

答案　B

解析　如图，点A(1,3)关于x轴的对称点为A′(1，－3)，连接A′B交x轴于点P，即为所求．利用待定系数法可求出一次函数的表达式为y＝x－，令y＝0，得x＝13.所以点P的坐标为(13,0)．

4．已知A，B的坐标分别为(1,1)，(4,3)，点P在x轴上，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　)

A．20  B．12

C．5  D．4

答案　C

解析　如图，作点A关于x轴的对称点A′(1，－1)，由平面几何知识得|PA|＋|PB|的最小值为|BA′|＝＝＝5.

5．如果一条平行于x轴的线段的长为5，它的一个端点是(2,1)，那么它的另一个端点是(　　)

A．(－3,1)或(7,1)  B．(2，－3)或(2,7)

C．(－3,1)或(5,1)  D．(2，－3)或(2,5)

答案　A

解析　由线段平行于x轴知，两个端点的纵坐标相等，都是1，故可设另一个端点为(x,1)，则|x－2|＝5，所以x＝7或x＝－3，即另一个端点坐标为(7,1)或(－3,1)．

二、填空题

6．已知点M(2,2)平分线段AB，且A(x,3)，B(3，y)，则x＝________，y＝________.

答案　1　1

解析　∵点M(2,2)平分线段AB，∴点M是线段AB的中点，则解得

7．已知A(1,5)，B(5，－2)，则在坐标轴上与A，B等距离的点有________个．

答案　2

解析　若点在x轴上，设为(x,0)，则有(x－1)2＋25＝(x－5)2＋4，∴x＝；若点在y轴上，设为(0，y)，则有1＋(5－y)2＝25＋(－2－y)2，∴y＝－.∴在坐标轴上与A，B等距离的点有2个．

8．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，则当|AB|取得最小值时，实数a等于________．

答案　

解析　|AB|2＝(a＋1－5)2＋(a－4－2a＋1)2＝2a2－2a＋25＝22＋，所以当a＝时，|AB|取得最小值．

三、解答题

9．已知△ABC的两个顶点A(3,7)，B(－2,5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，求点C的坐标．

解　设点C(x，y)，边AC的中点为D，BC的中点为E，

则DE綊AB.

线段AC的中点D的坐标为，

线段BC的中点E的坐标为.

由直线AB与x轴不平行可知，若点D在y轴上，则＝0，所以x＝－3，此时点E的横坐标不为零，点E要在坐标轴上只能在x轴上，

所以＝0，所以y＝－5，即C(－3，－5)．

若点D在x轴上，则＝0，所以y＝－7，此时点E只能在y轴上，

即＝0，

所以x＝2，此时C(2，－7)．

如图所示．

综上可知，符合题意的点C的坐标为(2，－7)或(－3，－5)．

10．已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求出最小值．

解　以正三角形的一边所在直线为x轴，此边中线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图．

则A，B，C.

设P(x，y)，则有

|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝2＋(－y)2＋2＋(－y)2＋(－x)2＋2＝3x2＋3y2－ay＋a2＝3x2＋32＋a2，

∴当P时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2有最小值a2.