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    高中人教B版 (2019)第二章 平面解析几何2.1 坐标法练习

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    这是一份高中人教B版 (2019)第二章 平面解析几何2.1 坐标法练习,共6页。

    2.1 坐标法

     

    知识点一  平面直角坐标系中的基本公式

    1.数轴上三点ABC,点A(-1),点B(2),点C到点A和点B的距离之和小于4,则点C的坐标范围为(  )

    A.   B.

    C.,-  D.

    答案 A

    解析 C(m),由A(-1),B(2),得|AC|+|BC|=|m+1|+|m-2|<4,<m<.C的坐标范围为.故选A.

    2.已知A(1,2),B(a,6),且|AB|=5,则a的值为(  )

    A.4  B.-4或2

    C.-2  D.-2或4

    答案 D

    解析  =5,a=4或-2.

    3.已知ABC的三个顶点A(-1,0),B(1,0)和C,则ABC的形状是(  )

    A.等腰三角形  B.等边三角形

    C.直角三角形  D.斜三角形

    答案 C

    解析 |AB|==2,

    |BC|= =1,

    |AC|=

    |AC|2+|BC|2=|AB|2

    ∴△ABC为直角三角形.故选C.

    4.已知点A(x,5)关于点C(-3,-2)的对称点是B(1,y),则点P(xy)到原点的距离是(  )

    A4  B. 

    C.  D.

    答案 D

    解析 根据中点坐标公式,得

    解得

    |OP|=.

    5.已知点P(a+3,a-2)在y轴上,则点P关于原点的对称点的坐标为________.

    答案 (0,5)

    解析 由点P(a+3,a-2)在y轴上,得a+3=0,

    a=-3,a-2=-5,

    即点P(0,-5)关于原点的对称点的坐标为(0,5).

    6.若A(a)与B(-5)两点对应的向量的坐标为-10,则a=______,若AB的距离为10,则a=______.

    答案 5 5或-15

    解析 向量的坐标为xBxA,|AB|=|xBxA|,-5-a=-10,

    解得a=5.|-5-a|=10,

    解得a=5或a=-15.

    7.已知数轴上三点A(x),B(2),P(3).

    (1)当向量与2的坐标相等时,求x

    (2)当向量与2的坐标相等时,求x

    (3)当向量的坐标大于向量2的坐标时,求x的取值范围.

    解 由题意,可知向量的坐标为3-x,向量的坐标为1.

    (1)当向量与2的坐标相等时,有3-x=2,

    解得x=1.

    (2)当向量与2的坐标相等时,

    有3-x=2×(-1),解得x=5.

    (3)当向量的坐标大于向量2的坐标时,

    有3-x>2,解得x<1.

    知识点二  坐标法

    8.用坐标法证明ABCD的对角线相交且平分.

    证明 AB的中点为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy(如图).

    A点,B点,C点的坐标分别为A(-a,0),B(a,0)(a>0),C(bc),由平行四边形的性质知D点的坐标为(-2abc).再设ACBD的中点分别为E(x1y1),F(x2y2),

    由中点坐标公式得

    E.

    F.

    E与点F重合,

    ABCD的对角线相交且平分.

    9.已知0<x<2,0<y<2,求||的最小值.

    解 根据题意,设P(xy),A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),若0<x<2,0<y<2,则P在矩形ABCD的内部,

    的几何意义为PABCD四点的距离之和,

    =|PA|+|PD|+|PB|+|PC|,

    分析可得,当P为矩形ABCD的对角线的交点,即(1,1)时,|PA|+|PC|与|PB|+|PD|同时取得最小值,此时|PA|+|PD|+|PB|+|PC|取得最小值,且其最小值为|AC|+|BD|=4.

     

     

    一、选择题

    1.点A(2,-3)关于坐标原点的对称点是(  )

    A.(3,-2)  B.(-2,-3)

    C.(-2,3)  D.(-3,2)

    答案 C

    解析 设所求点的坐标为B(xy),则由题意知坐标原点是点AB的中点,则解得故选C.

    2.已知直线上两点A(ab),B(cd),且=0,则(  )

    A.原点一定是线段AB的中点

    B.AB一定都与原点重合

    C.原点一定在线段AB上,但不是中点

    D.以上结论都不对

    答案 D

    解析 =0得 ,即AB两点到坐标原点的距离相等,所以原点在线段AB的垂直平分线上,故选D.

    3.已知A(1,3),B(5,-2),点Px轴上,则使|AP|-|BP|取最大值时的点P的坐标是(  )

    A.(4,0)  B.(13,0)

    C.(5,0)  D.(1,0)

    答案 B

    解析 如图,点A(1,3)关于x轴的对称点为A′(1,-3),连接ABx轴于点P,即为所求.利用待定系数法可求出一次函数的表达式为yx,令y=0,得x=13.所以点P的坐标为(13,0).

    4.已知AB的坐标分别为(1,1),(4,3),点Px轴上,则|PA|+|PB|的最小值为(  )

    A.20  B.12

    C.5  D.4

    答案 C

    解析 如图,作点A关于x轴的对称点A′(1,-1),由平面几何知识得|PA|+|PB|的最小值为|BA′|==5.

    5.如果一条平行于x轴的线段的长为5,它的一个端点是(2,1),那么它的另一个端点是(  )

    A.(-3,1)或(7,1)  B.(2,-3)或(2,7)

    C.(-3,1)或(5,1)  D.(2,-3)或(2,5)

    答案 A

    解析 由线段平行于x轴知,两个端点的纵坐标相等,都是1,故可设另一个端点为(x,1),则|x-2|=5,所以x=7或x=-3,即另一个端点坐标为(7,1)或(-3,1).

    二、填空题

    6.已知点M(2,2)平分线段AB,且A(x,3),B(3,y),则x=________,y=________.

    答案 1 1

    解析 M(2,2)平分线段ABM是线段AB的中点,则解得

    7.已知A(1,5),B(5,-2),则在坐标轴上与AB等距离的点有________个.

    答案 2

    解析 若点在x轴上,设为(x,0),则有(x-1)2+25=(x-5)2+4,x;若点在y轴上,设为(0,y),则有1+(5-y)2=25+(-2-y)2y=-.在坐标轴上与AB等距离的点有2个.

    8.已知点A(5,2a-1),B(a+1,a-4),则当|AB|取得最小值时,实数a等于________.

    答案 

    解析 |AB|2=(a+1-5)2+(a-4-2a+1)2=2a2-2a+25=22,所以当a时,|AB|取得最小值.

    三、解答题

    9.已知ABC的两个顶点A(3,7),B(-2,5),若ACBC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.

     

    解 设点C(xy),边AC的中点为DBC的中点为E

    DEAB.

    线段AC的中点D的坐标为

    线段BC的中点E的坐标为.

    由直线ABx轴不平行可知,若点Dy轴上,则=0,所以x=-3,此时点E的横坐标不为零,点E要在坐标轴上只能在x轴上,

    所以=0,所以y=-5,即C(-3,-5).

    若点Dx轴上,则=0,所以y=-7,此时点E只能在y轴上,

    =0,

    所以x=2,此时C(2,-7).

    如图所示.

    综上可知,符合题意的点C的坐标为(2,-7)或(-3,-5).

    10.已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求出最小值.

    解 以正三角形的一边所在直线为x轴,此边中线所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图.

    ABC.

    P(xy),则有

    |PA|2+|PB|2+|PC|22+(-y)22+(-y)2+(-x)22=3x2+3y2aya2=3x2+32a2

    P时,|PA|2+|PB|2+|PC|2有最小值a2.

     

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