人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.2 直线的方程综合训练题

2．2.2　直线的方程

知识点一  直线的点斜式方程与斜截式方程

1.已知直线的方程是y＋4＝2x－6，则(　　)

A．直线经过点(－3,4)，斜率为2

B．直线经过点(4，－3)，斜率为2

C．直线经过点(3，－4)，斜率为2

D．直线经过点(－4,3)，斜率为－2

答案　C

解析　直线方程y＋4＝2x－6可化为y－(－4)＝2(x－3)，故直线经过点(3，－4)，斜率为2.

2．(多选)方程y＝ax＋表示的直线可能是(　　)

答案　AB

解析　由题意得a≠0，直线y＝ax＋的斜率是a，在y轴上的截距是.当a>0时，斜率为正，在y轴上的截距为正，则直线y＝ax＋过第一、二、三象限，选项A符合；当a<0时，斜率为负，在y轴上的截距为负，则直线y＝ax＋过第二、三、四象限，选项B符合．故选AB.

知识点二  直线的两点式方程

3.已知点P(3，m)在过点M(2，－1)和N(－3,4)的直线上，则m的值是(　　)

A．5  B．2 

C．－2  D．－6

答案　C

解析　由两点式方程，得直线MN的方程为＝，化简，得y＝－x＋1.又点P(3，m)在此直线上，所以m＝－3＋1，解得m＝－2.

4．已知A(3,0)，B(0,2)，C(2,6)，则△ABC的BC边上的中线所在的直线方程为(　　)

A．y＝－2x－6  B．y＝－2x＋6

C．y＝2x－6  D．y＝2x－1

答案　B

解析　设BC的中点为D(x，y)，则x＝＝1，y＝＝4，所以D(1,4)，所以BC边上的中线所在的直线方程为＝，即y＝－2x＋6.故选B.

5．过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍的直线方程是(　　)

A.＋＝1

B.＋＝1或y＝x

C．x－＝1

D．x－＝1或y＝x

答案　B

解析　当直线过原点时满足题意，所求方程为y＝x；当直线不过原点时，可设其截距式为＋＝1，由该直线过点(5,2)，解得a＝6，对应的方程为＋＝1.故选B.

6．已知线段BC的中点为D(3，).若线段BC所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，求BC所在直线的方程．

解　由已知得直线BC的斜率存在且不为0.

设直线BC在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b.

则直线BC的截距式方程为＋＝1.

由题意得a＋b＝9，①

又点D(3，)在直线BC上，∴＋＝1，

∴6b＋3a＝2ab，②

由①②联立得2a2－21a＋54＝0，即(2a－9)(a－6)＝0，解得a＝或a＝6.

∴或

故直线BC的方程为＋＝1或＋＝1.

知识点三  直线的一般式方程

7.若方程Ax＋By＋C＝0表示的直线是y轴，则A，B，C满足(　　)

A．B·C＝0  B．A≠0

C．B·C＝0且A≠0  D．A≠0且B＝C＝0

答案　D

解析　∵y轴方程表示为x＝0，∴A，B，C满足条件A≠0且B＝C＝0.

8．如果AC<0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

答案　C

解析　∵k＝－<0，b＝－>0，∴直线不通过第三象限．

9．过点(2，－1)且法向量为(－3,1)的直线方程是(　　)

A．x＋3y＋1＝0  B．x－3y－5＝0

C．3x－y－7＝0  D．3x－y－1＝0

答案　C

解析　因为直线的法向量为(－3,1)，设直线方程为3x－y＋C＝0，将(2，－1)代入，得6＋1＋C＝0，即C＝－7，故所求直线方程为3x－y－7＝0.

10．不论m为何值，直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点(　　)

A.  B．(－2,1)

C．(2，－1)  D.

答案　B

解析　直线方程变形为m(x＋2)－(y－1)＝0，∴过定点(－2,1)．

11．过点A(5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的一般式方程为(　　)

A．x－y－3＝0

B．2x－5y＝0

C．2x－5y＝0或x－y－3＝0

D．2x＋5y＝0或x＋y－3＝0

答案　C

解析　设直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为－a.若a＝0，则直线过原点，其方程为2x－5y＝0.若a≠0，则设其方程为＋＝1，又点(5,2)在直线上，∴＋＝1，∴a＝3.所以直线方程为x－y－3＝0.综上直线l的一般式方程为2x－5y＝0或x－y－3＝0.

一、选择题

1．过点(－1,2)且斜率为2的直线方程是(　　)

A．2x＋y＝0  B．2x－y＋4＝0

C．2x－y＋5＝0  D．x＋2y－3＝0

答案　B

解析　因为直线过点(－1,2)，且斜率为2，所以该直线方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0，故选B.

2．直线l的方程为y＋2＝2(x－1)，则(　　)

A．直线l过点(2，－2)，斜率为

B．直线l过点(－2,2)，斜率为

C．直线l过点(1，－2)，斜率为2

D．直线l过点(－1,2)，斜率为2

答案　C

解析　∵直线l的方程为y＋2＝2(x－1)，则直线的斜率为2，且经过定点(1，－2)，故选C.

3．在y轴上的截距为－1，且斜率是直线x－y－＝0的斜率的2倍的直线方程是(　　)

A．2x＋y＋1＝0  B．2x＋y－1＝0

C．2x－y＋1＝0  D．2x－y－1＝0

答案　D

解析　由x－y－＝0得y＝x－，其斜率为，所以所求直线的斜率为2，所以其方程为y＝2x－1，即2x－y－1＝0.

4．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m为(　　)

A．1  B．2

C．－  D．2或－

答案　D

解析　由题知直线过点(1,0)，∴2m2＋m－3＝4m－1，则m＝－或m＝2.

5．(多选)已知过定点(4,5)的直线m的一个法向量是d＝(2，－3t)，t∈N*，则直线m的方程可以为(　　)

A．4x－5y＋9＝0  B．3x－2y－2＝0

C．x－3y＋11＝0  D．2x－3y＋7＝0

答案　CD

解析　∵直线m的一个法向量是d＝(2，－3t)，∴直线的一个方向向量为(3t,2)，又t∈N*，∴直线的斜率为，又直线过点A(4,5)，∴直线的方程为y－5＝(x－4)，即y＝x－＋5.当t＝2时，直线方程为y＝x＋，即x－3y＋11＝0，故C正确；当t＝1时，直线方程为y＝x＋，即2x－3y＋7＝0，故D正确．故选CD.

二、填空题

6．已知直线方程为5x＋4y－20＝0，则此直线在x轴上的截距为________，在y轴上的截距为________．

答案　4　5

解析　将方程5x＋4y－20＝0化为截距式为＋＝1，∴在x轴、y轴上的截距分别为4,5.

7．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点分别为B(1,4)，D(5,0)，则直线l的方程为________．

答案　2x－3y＝0

解析　由平面几何知识知，若直线l平分平行四边形ABCD的面积，则直线l过平行四边形对角线的交点，即过BD的中点(3,2)，又直线l过原点，由两点式，得直线方程为2x－3y＝0.

8．若直线(2t－3)x＋y＋6＝0不经过第一象限，则t的取值范围为________．

答案　

解析　方程可化为y＝(3－2t)x－6，

∴3－2t≤0，得t≥.

三、解答题

9．已知直线l经过点P(－5，－4)，且l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程．

解　由题意，设直线l的方程为＋＝1，则

即或

∴或

∴l的方程为－＝1或－＋＝1，

即2x－5y－10＝0或8x－5y＋20＝0.

10．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.

(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；

(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．

解　解法一：(1)证明：将直线方程变形为y＝ax＋，当a>0时，则不论a取何值，直线l一定经过第一象限；

当a＝0时，直线y＝，显然过第一象限；

当a<0时，>0，因此直线l过第一象限．

综上，直线l：5ax－5y－a＋3＝0一定过第一象限．

(2)∵直线l不经过第二象限，

∴解得a≥3，

∴a的取值范围为a≥3.

解法二：(1)证明：直线方程变形为y－＝a，它表示经过定点A，斜率为a的直线．

∵点A在第一象限，

∴直线l必过第一象限．

(2)如图，直线OA的斜率

k＝＝3.

∵直线l不过第二象限，

∴直线l的斜率k≥3，即a≥3.