选择性必修 第一册2.2.3 两条直线的位置关系同步训练题

2．2.3　两条直线的位置关系

知识点一  两条直线的相交、平行与重合

1.已知过点A(1,2)，B(－5,0)的直线l1和过点C(m,1)，D(－1，m)的直线l2平行，则实数m的值为(　　)

A.  B．－ 

C．1  D．0

答案　A

解析　由kAB＝kCD可得，＝，解得m＝.

2．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)

A．x－2y－1＝0  B．x－2y＋1＝0

C．2x＋y－2＝0  D．x＋2y－1＝0

答案　A

解析　过点(1,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.故选A.

3．(多选)下列说法正确的有(　　)

A．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行

B．若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等或都不存在

C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交

D．若两条直线的斜率都不存在，则这两条直线平行

答案　BC

解析　若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，所以A不正确；若这两条直线平行，则这两条直线的斜率相等或都不存在，所以B正确；若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，所以C正确；若两条直线的斜率都不存在，则这两条直线平行或重合，所以D不正确．故选BC.

4．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0，l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0，求适合下列条件的a的取值范围．

(1)l1与l2相交；

(2)l1∥l2；

(3)l1与l2重合．

解　(1)∵l1与l2相交，∴A1B2－A2B1≠0，

即a(a－1)－2≠0，∴a≠－1且a≠2.

∴a∈R且a≠－1且a≠2时，l1与l2相交．

(2)∵l1∥l2，∴A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0，

即解得a＝－1.

∴a＝－1时，l1∥l2.

(3)∵l1与l2重合，

∴A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0，

即解得a＝2.

∴a＝2时，l1与l2重合．

5．直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交点在第四象限，求m的取值范围．

解　由方程组

解得

∴两条直线的交点坐标为.

∵交点在第四象限，

∴解得－<m<2.

故所求m的取值范围是(－，2).

知识点二  两条直线的垂直

6.直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(　　)

A．平行  B．重合

C．相交但不垂直  D．垂直

答案　D

解析　设l1与l2的斜率分别为k1，k2，则由根与系数的关系知k1k2＝－1，所以l1与l2互相垂直，故选D.

7．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是(　　)

A．3x＋2y－1＝0  B．3x＋2y＋7＝0

C．2x－3y＋5＝0  D．2x－3y＋8＝0

答案　A

解析　直线2x－3y＋4＝0的斜率为，由题设知，直线l的斜率为－.由直线方程的点斜式得直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.

8．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.

答案　1

解析　根据题意知，当m＝0时，两直线不会垂直，故m≠0，则直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0的斜率分别为和－.由两直线垂直得·(－)＝－1，故m＝1.

9．从点(2,3)射出的光线沿与直线x－2y＝0平行的直线射到y轴上，则经y轴反射的光线所在的直线方程为________．

答案　x＋2y－4＝0

解析　由题意得，射出的光线的方程为y－3＝(x－2)，即x－2y＋4＝0，与y轴交点为(0,2)，又(2,3)关于y轴的对称点为(－2，3)，∴反射光线所在直线过(0,2)，(－2,3)，故方程为y－2＝x，即x＋2y－4＝0.

10．已知点A(2,3)关于直线l的对称点为B(－2,7)，求直线l的方程．

解　由题意可知，直线l为线段AB的垂直平分线，易求线段AB的中点坐标为(0,5)，

又kAB＝＝－1，

∴线段AB的垂直平分线的斜率为k＝－＝1.

又直线l过点(0,5)，

∴直线l的方程为y－5＝x－0，即x－y＋5＝0.

11．已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0.

(1)求直线l的方程；

(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S.

解　(1)联立两直线方程

解得则两直线的交点为P(－2,2)．

∵直线x－2y－1＝0的斜率为k2＝，

所求直线l垂直于直线x－2y－1＝0，

那么所求直线l的斜率k＝－＝－2，

∴所求直线l的方程为y－2＝－2(x＋2)，

即2x＋y＋2＝0.

(2)对于方程2x＋y＋2＝0，

令y＝0，则x＝－1，则直线与x轴交点坐标A(－1,0)，令x＝0，则y＝－2，则直线与y轴交点坐标B(0，－2)，直线l与坐标轴围成的三角形为直角三角形AOB，

∴S＝|OA||OB|＝×1×2＝1.

一、选择题

1．下列命题：

①若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；

②若两直线平行，则它们的斜率相等；

③若两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；

④若两直线垂直，则它们的斜率之积为－1.

其中正确的为(　　)

A．①②③④  B．①③

C．②④  D．以上全错

答案　B

解析　当两直线l1，l2的斜率k1，k2都存在且不重合时，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1，故①③正确；当两条不重合的直线都与x轴垂直时，它们平行，其斜率不存在，故②错误；当两直线中一条直线与x轴平行(或重合)，另一条直线与x轴垂直时，它们垂直，但一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，故④错误．

2．平行于直线4x＋3y－3＝0，且不过第一象限的直线的方程是(　　)

A．3x＋4y＋7＝0  B．4x＋3y＋7＝0

C．4x＋3y－42＝0  D．3x＋4y－42＝0

答案　B

解析　平行于直线4x＋3y－3＝0的直线具有形式4x＋3y＋c＝0，故排除A，D.但选项C中直线的截距为正，直线过第一象限，不符合条件，故应选B.

3．直线(m2＋1)x＋3y－3m＝0和直线3x－2y＋m＝0的位置关系是(　　)

A．平行  B．重合 

C．相交  D．不确定

答案　C

解析　由A1B2－A2B1＝－2(m2＋1)－9＝－2m2－11<0得两条直线相交．

4．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是(　　)

A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．以A点为直角顶点的直角三角形

D．以B点为直角顶点的直角三角形

答案　C

解析　kAB＝＝－，kBC＝＝－5，kAC＝＝，因为kAB·kAC＝－1，所以三角形是以A点为直角顶点的直角三角形．

5．(多选)已知直线l1：nx＋y－2＝0和l2：(m＋2)x－3y＋4＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则m，n的值可能为(　　)

A．2,1  B．2，

C．－1,3  D．4，

答案　BCD

解析　由题意得两条直线互相垂直，所以－n×＝－1，即n(m＋2)＝3.故选BCD.

二、填空题

6．过点(0,5)且与直线x＋2y－1＝0平行的直线方程为________________．

答案　x＋2y－10＝0

解析　解法一：∵直线x＋2y－1＝0的斜率k＝－，所求直线与该直线平行，且过点(0,5)，

∴所求直线方程为y＝－x＋5，即x＋2y－10＝0.

解法二：设所求直线方程为x＋2y＋c＝0，由于直线过点(0,5)，故c＝－10，则所求直线方程为x＋2y－10＝0.

7．经过原点和直线l1：x－y＝0与l2：x＋y－2＝0交点的直线方程为________________．

答案　x－y＝0

解析　解方程组得l1，l2的交点为(1,1)，由直线经过原点和点(1,1)知，直线方程为x－y＝0.

8．已知A(7，－4)，B(－5,6)，则直线AB的一般式方程是________________，过AB中点且垂直AB的直线方程的一般式是________________．

答案　5x＋6y－11＝0　6x－5y－1＝0

解析　∵直线AB过A，B两点，∴y＋4＝(x－7)，整理得，直线AB的方程为5x＋6y－11＝0，∵所求直线垂直于AB，∴设其方程为6x－5y＋m＝0，又此直线过AB的中点(1,1)，代入得m＝－1，∴所求直线方程为6x－5y－1＝0.

三、解答题

9．对于直线l上任一点(x，y)，点(4x＋2y，x＋3y)也在直线l上，求直线l的方程．

解　设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，①

∵点(4x＋2y，x＋3y)在直线l上，

∴A(4x＋2y)＋B(x＋3y)＋C＝0，②

∵①②为同一条直线，∴当C≠0时，

＝＝，此时无解；

当C＝0时，＝，

∴(2A＋B)(A－B)＝0，

∴x－2y＝0或x＋y＝0.

10．已知A，B，C(2－2a,1)，D(－a,0)四点．当a为何值时，直线AB和直线CD：

(1)平行？

(2)垂直？

解　kAB＝＝－，

kCD＝＝(a≠2)．

(1)kAB＝kCD，

∴－＝，即a2－2a－3＝0.

∴a＝3或a＝－1.

当a＝3时，kAB＝－1，kBD＝＝－≠kAB.

∴AB与CD平行不重合．

当a＝－1时，kAB＝，kBC＝＝，

∴AB与CD重合．

当a＝2时，kAB＝－，kCD不存在．

∴AB和CD不平行．

∴a＝3时，直线AB和直线CD平行．

(2)由－·＝－1，

解得a＝.

当a＝2时，kAB＝－，直线CD的斜率不存在．

∴直线AB与CD不垂直．

∴a＝时，直线AB与CD垂直．