数学第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.4 点到直线的距离随堂练习题

2．2.4　点到直线的距离

知识点一  点到直线的距离

1.若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是，则实数a为(　　)

A．－1  B．5

C．－1或5  D．－3或3

答案　C

解析　由点到直线的距离公式得＝，∴a＝－1或5.

2．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m为(　　)

A．0或－  B.或－6

C．－或  D．0或

答案　B

解析　由题意知直线mx＋y＋3＝0与AB平行或过AB的中点，则有－m＝或m×＋＋3＝0，∴m＝或m＝－6.

3．到两条直线3x－4y＋5＝0和5x－12y＋13＝0距离相等的点P(x，y)的坐标必满足方程(　　)

A．x－4y＋4＝0

B．7x＋4y＝0

C．x－4y＋4＝0或4x－8y＋9＝0

D．7x＋4y＝0或32x－56y＋65＝0

答案　D

解析　由题意得＝.整理，得7x＋4y＝0或32x－56y＋65＝0.

4．已知定点A(0,1)，点B在直线x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是________．

答案　(－，)

解析　AB垂直直线x＋y＝0时满足题意，故AB的方程为y－1＝x.解方程组得故点B的坐标为(－，).

5．P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离等于，则点P的坐标为________．

答案　(2，－1)或(1,2)

解析　设P(x，y)，∵P到直线x－y－1＝0的距离为，

∴＝，∴x－y－1＝2或x－y－1＝－2.从而或解得或

6．已知点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上任意一点，则的最小值为________．

答案　

解析　因为是点P(m，n)与原点O间的距离，所以根据直线的性质，原点O到直线2x＋y＋5＝0的距离就是 的最小值．根据点到直线的距离公式可得d＝＝.故答案为.

知识点二  两条平行直线之间的距离

7.两条平行直线3x－4y－3＝0和mx－8y＋5＝0间的距离是(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　A

解析　由两直线平行，得m＝6，所以mx－8y＋5＝0可化成3x－4y＋＝0，因此两条平行线间的距离d＝＝，故选A.

8．已知△ABC的边AB所在的直线方程是x＋y－3＝0，边AC所在的直线方程是x－2y＋3＝0，边BC所在的直线方程是2x－y－3＝0.若△ABC夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　B

解析　联立直线方程，易得A(1,2)，B(2,1)．如图所示，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A，B，又两平行直线的斜率为1，直线AB的斜率为－1，所以线段AB的长度就是过A，B两点的平行直线间的距离，易得|AB|＝，即两条平行直线间的距离的最小值是.

9．已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0平行且距离相等，则l的方程为________．

答案　2x－y＋1＝0

解析　由题意，设所求的直线l方程为2x－y＋c＝0(c≠3，c≠－1)，因为直线l与到两直线l1，l2的距离相等，即＝，解得c＝1，故直线l的方程为2x－y＋1＝0.

10．已知直线l1与l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0，直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且＝，求直线l的方程．

解　∵直线l平行于l1，可设l的方程为7x＋8y＋C＝0，

∴d1＝.

同理，可得d2＝.

∵2d1＝d2，

∴2×＝，

解得C＝21或C＝5，

于是直线l的方程为7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0.

11．已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.

(1)求a的值；

(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：

①点P在第一象限；

②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；

③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．

解　(1)直线l2的方程等价于2x－y－＝0，

所以两条平行线l1与l2间的距离

d＝＝，

即＝.

又因为a＞0，解得a＝3.

(2)假设存在点P.设点P(x0，y0)，若点P满足条件②，则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，且＝·，

解得c＝或，

所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0.

若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，

得＝·，

即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，

所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.

若点P满足条件①，则3x0＋2＝0不符合题意，舍去．

解方程组得

不符合点P在第一象限，舍去．

解方程组

得

符合条件①.

所以存在点P同时满足三个条件．

一、选择题

1．到直线3x－4y－1＝0的距离为2的直线方程是(　　)

A．3x－4y－11＝0

B．3x－4y＋11＝0

C．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0

D．3x－4y＋11＝0或3x－4y＋9＝0

答案　C

解析　到直线3x－4y－1＝0的距离为2的直线与直线3x－4y－1＝0平行，设直线方程为3x－4y＋C＝0，则＝2，∴C＝9或C＝－11.故选C.

2．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是(　　)

A．8  B．2 

C.  D．16

答案　A

解析　由题知所求即为原点到直线x＋y－4＝0的距离的平方，即＝＝8.故选A.

3．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－11＝0和l2：x＋y－1＝0上移动，则AB中点M所在直线的方程为(　　)

A．x－y－6＝0  B．x＋y＋6＝0

C．x－y＋6＝0  D．x＋y－6＝0

答案　D

解析　由题意，得点M所在的直线与直线l1，l2平行，所以设为x＋y＋n＝0，此直线到直线l1和l2的距离相等，所以＝，解得n＝－6，所以所求直线的方程为x＋y－6＝0.故选D.

4．若直线3x＋4y＋12＝0和6x＋8y－11＝0间的距离为一圆的直径，则此圆的面积为(　　)

A．49π  B. 

C.  D.

答案　C

解析　将直线3x＋4y＋12＝0化为6x＋8y＋24＝0，用两平行直线间的距离公式得圆的直径为＝，半径为，故圆的面积为.

5．(多选)已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的有(　　)

A．y＝x＋1  B．y＝2

C．y＝x  D．y＝2x＋1

答案　BC

解析　可通过求各直线上的点到点M的最小距离，即点M到直线的距离d来分析．对于A，d＝＝3>4，故直线上不存在点到点M的距离等于4，不是“切割型直线”；对于B，d＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；对于C，d＝＝4，直线上存在一点，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；对于D，d＝＝>4，故直线上不存在点到点M的距离等于4，不是“切割型直线”．故选BC.

二、填空题

6．如果已知两点O(0,0)，A(4，－1)到直线mx＋m2y＋6＝0的距离相等，那么m可取不同实数值的个数为________．

答案　3

解析　解方程＝(m≠0)，得m＝6或m＝－2或m＝4.

7．直线l在x轴上的截距为1，又点A(－2，－1)，B(4,5)到l的距离相等，则l的方程为________．

答案　x－y－1＝0或x＝1

解析　当直线斜率不存在时，显然l⊥x轴时符合要求，此时l的方程为x＝1.当直线斜率存在时，设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.∵点A，B到l的距离相等，

∴＝，

∴|1－3k|＝|3k－5|，∴k＝1，

∴l的方程为x－y－1＝0.

8．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为________，靠近点A的AB的三等分点N到点M的最短距离为________．

答案　3　

解析　由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x＋y＋c＝0，则＝，即c＝－6，∴点M在直线x＋y－6＝0上，∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即＝3.设点N在直线x＋y＋m＝0上，则＝×，即m＝－3(舍去)或m＝－，点M，N之间的最短距离为点M所在直线与点N所在直线的距离，即＝.

三、解答题

9．已知直线l1：ax＋by＋1＝0(a，b不同时为0)，l2：(a－2)x＋y＋a＝0.

(1)若b＝0且l1⊥l2，求实数a的值；

(2)当b＝3且l1∥l2时，求直线l1与l2间的距离．

解　(1)当b＝0时，l1：ax＋1＝0，由l1⊥l2知a－2＝0，解得a＝2.

(2)当b＝3时，l1：ax＋3y＋1＝0，

当l1∥l2时，联立

解得a＝3，

此时，l1的方程为3x＋3y＋1＝0，

l2的方程为x＋y＋3＝0，

即3x＋3y＋9＝0，则

它们之间的距离为d＝＝.

10．过点M(2,4)作两条互相垂直的直线，分别交x，y轴的正半轴于点A，B，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB的方程．

解　设直线AB的方程为＋＝1(a>0，b>0)，

∴A(a,0)，B(0，b)．

∵MA⊥MB，

∴(a－2)×(－2)＋(－4)×(b－4)＝0，

即a＝10－2b.

∵a>0，b>0，

∴0<b<5,0<a<10.

∵直线AB的一般式方程为bx＋ay－ab＝0，

∴点M到直线AB的距离为d＝.

∴△MAB的面积S1＝d|AB|＝|2b＋4a－ab|＝|b2－8b＋20|＝b2－8b＋20，

△OAB的面积S2＝ab＝5b－b2.

∵直线AB平分四边形OAMB的面积，

∴S1＝S2，可得2b2－13b＋20＝0，

解得或

∴所求直线AB的方程为x＋2y－5＝0或2x＋y－4＝0.