高中数学2.3.2 圆的一般方程同步测试题

2.3.2　圆的一般方程

知识点一  圆的一般方程

1.若圆的方程是x2＋y2－2x＋10y＋23＝0，则该圆的圆心坐标和半径分别是(　　)

A．(－1,5)，  B．(1，－5)，

C．(－1,5)，3  D．(1，－5)，3

答案　B

解析　解法一(化为标准方程)：(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则圆心为(1，－5)，半径为.

解法二(利用一般方程)：为圆心，

半径r＝，－＝1，－＝－5，r＝.

2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　)

A．a<1  B．a>1

C．－2<a<  D．－2<a<0

答案　A

解析　当a2＋4a2－4>0时表示圆的方程，故－a＋1>0，解得a<1.

3．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(　　)

A．－1  B．1 

C．3  D．－3

答案　B

解析　化圆为标准形式(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(－1,2)．因为直线过圆心，所以3×(－1)＋2＋a＝0，所以a＝1.

4．过(1,2)的直线平分圆x2＋y2＋4x＋3＝0，则该直线的方程是(　　)

A．3x－2y＋4＝0  B．x＝1

C．2x－3y＋4＝0  D．y＝2

答案　C

解析　由于直线平分圆，把圆的方程化为标准方程得圆心(－2,0)，则直线过圆心(－2,0)．又直线过点(1,2)，由两点式得直线方程为2x－3y＋4＝0.

5．当圆x2＋y2＋2x＋2ky＋2k2＝0的面积最大时，圆心坐标是(　　)

A．(0，－1)  B．(－1,0)

C．(1，－1)  D．(－1,1)

答案　B

解析　将圆x2＋y2＋2x＋2ky＋2k2＝0化成标准方程，得(x＋1)2＋(y＋k)2＝1－k2，∴该圆的圆心C(－1，－k)，半径r＝，当且仅当k＝0时，半径r取得最大值1，此时圆心坐标为C(－1,0).

知识点二  求圆的一般方程

6.过A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)三点的圆的一般方程是(　　)

A．x2＋y2＋8x＋6y＝0

B．x2＋y2－8x－6y＝0

C．x2＋y2＋8x－6y＝0

D．x2＋y2－8x＋6y＝0

答案　D

解析　设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)三点在圆上，所以解得于是所求圆的一般方程是x2＋y2－8x＋6y＝0.

7．过原点且与x轴、y轴的交点分别为A(a,0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)的圆的方程为(　　)

A．x2＋y2＋ax＋by＝0

B．x2＋y2－ax－by＝0

C．x2＋y2＋ax－by＝0

D．x2＋y2－ax＋by＝0

答案　B

解析　因为圆过三点O(0,0)，A(a,0)，B(0，b)，所以将三点坐标代入圆的一般方程即可．本题也可以采用验证法．

8．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且到直线3x＋4y＋4＝0的距离为2，则圆C的方程为(　　)

A．x2＋y2－2x－3＝0

B．x2＋y2＋4x＝0

C．x2＋y2＋2x－3＝0

D．x2＋y2－4x＝0

答案　D

解析　设圆心为(a,0)(a>0)，由题意知圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝＝＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2,0)，则圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，化简得x2＋y2－4x＝0，所以D正确．

9．(多选)已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，则圆的方程为(　　)

A．x2＋y2－4x－8y－20＝0

B．x2＋y2－2x－12＝0

C．x2＋y2－10x－8y＋4＝0

D．x2＋y2＋x＋3y－18＝0

答案　BC

解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆与y轴的交点为A(0，m)，B(0，n)，令x＝0，则y2＋Ey＋F＝0，所以m，n是这个方程的根，且m＋n＝－E，mn＝F.所以|AB|2＝(m－n)2＝(m＋n)2－4mn＝E2－4F＝(4)2，故E2－4F＝48　①.又点P(4，－2)，Q(－1,3)在这个圆上，所以16＋4＋4D－2E＋F＝0，且1＋9－D＋3E＋F＝0，即4D－2E＋F＋20＝0　②，－D＋3E＋F＋10＝0　③.解①②③得D＝－2，E＝0，F＝－12或D＝－10，E＝－8，F＝4.因此圆的方程是x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.故选BC.

10．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的一般方程．

解　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，

将两点的坐标代入圆的一般方程，得

设圆在x轴上的截距为x1，x2，它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，得x1＋x2＝－D.设圆在y轴上的截距为y1，y2，它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，得y1＋y2＝－E.

由已知，得－D＋(－E)＝－2，

即D＋E－2＝0.　③

联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20.

所以所求圆的一般方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.

一、选择题

1．方程x2＋y2－2x＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是(　　)

A．m＜1  B．m＜2

C．m≤  D．m≤1

答案　A

解析　由圆的一般方程可知(－2)2－4m＞0，∴m＜1.

2．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为(　　)

A．－2或2  B.或

C．2或0  D．－2或0

答案　C

解析　将圆的一般方程化为圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以圆心(1,2)到直线的距离d＝＝，解得a＝0或a＝2.

3．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，则直线x＋ay＋b＝0一定不经过(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

答案　D

解析　圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为(a，－b)，则a<0，b>0.直线x＋ay＋b＝0化为y＝－x－，则斜率k＝－>0，在y轴上的截距－>0，所以直线一定不经过第四象限．

4．圆x2＋y2－2x－1＝0关于直线2x－y＋3＝0对称的圆的方程是(　　)

A．(x＋3)2＋(y－2)2＝

B．(x－3)2＋(y＋2)2＝

C．(x＋3)2＋(y－2)2＝2

D．(x－3)2＋(y＋2)2＝2

答案　C

解析　已知圆的圆心为(1,0)，半径等于，圆心关于直线2x－y＋3＝0对称的点为(－3,2)，此点即为对称圆的圆心，两圆的半径相等，故选C.

5．(多选)与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同心，且过点(1，－1)的圆为圆C，则下列说法正确的是(　　)

A．圆C的圆心为(2，－3)

B．圆C的半径为

C．点(2,1)在圆C的内部

D．圆C与y轴正半轴无交点

答案　ABD

解析　设圆C的方程为x2＋y2－4x＋6y＋m＝0，由该圆过点(1，－1)，得m＝8，所以圆C的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0，化为(x－2)2＋(y＋3)2＝5，所以圆C的圆心为(2，－3)，半径为，故A，B正确；因为(2－2)2＋(1＋3)2＝16>5，所以点(2,1)在圆C的外部，故C错误；当x＝0时，(y＋3)2＝1，解得y＝－2或y＝－4，所以圆C与y轴正半轴无交点，故D正确．故选ABD.

二、填空题

6．已知圆C：x2＋y2＋2x＋2y－5＝0，则圆心坐标为________；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为________．

答案　(－1，－)　x＋y＝0

解析　将圆C的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋)2＝9，故圆心为C(－1，－)．因为kCO＝，所以所求直线的斜率为k＝－，直线的方程为y＝－x，即x＋y＝0.

7．已知点P是圆C：x2＋y2＋4x＋ay－5＝0上任意一点，P点关于直线2x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a＝________.

答案　－10

解析　由题意知圆心应在直线2x＋y－1＝0上，代入解得a＝－10，符合D2＋E2－4F>0的条件．

8．已知圆：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为________．

答案　2

解析　将原点坐标(0,0)代入圆的方程，得2m2－6m＋4＝0，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，原方程为x2＋y2＝0，不表示圆的方程，故舍去．

当m＝2时，原方程为x2＋y2－2x＋2y＝0表示圆的方程，故所求的实数m的值为2.

三、解答题

9．试判断A(1,2)，B(0,1)，C(7，－6)，D(4,3)四点是否在同一个圆上．

解　解法一：线段AB，BC的斜率分别是kAB＝1，kBC＝－1，得kAB≠kBC，则A，B，C三点不共线，设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

因为A，B，C三点在圆上，所以

解得所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－8x＋4y－5＝0，将点D的坐标(4,3)代入方程，得42＋32－8×4＋4×3－5＝0，即点D在圆上，故A，B，C，D四点在同一个圆上．

解法二：因为kAB·kBC＝×＝－1，所以AB⊥BC，所以AC是过A，B，C三点的圆的直径，|AC|＝＝10，线段AC的中点M即为圆心M(4，－2)．

因为|DM|＝＝5＝|AC|，

所以点D在圆M上，所以A，B，C，D四点在同一个圆上．

10．在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)，经过这三个点的圆记为M.

(1)求BC边的中线AD所在直线的一般式方程；

(2)求圆M的一般方程．

解　(1)解法一：由B(2,0)，C(0，－4)，知BC的中点D的坐标为(1，－2)．

又A(－3,0)，所以直线AD的方程为＝，

即中线AD所在直线的一般式方程为x＋2y＋3＝0.

解法二：由题意，得|AB|＝|AC|＝5，则△ABC是等腰三角形，所以AD⊥BC.

因为直线BC的斜率kBC＝2，

所以直线AD的斜率kAD＝－，

由直线的点斜式方程，

得直线AD的方程为y－0＝－(x＋3)，

即直线AD的一般式方程为x＋2y＋3＝0.

(2)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

将A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)三点的坐标分别代入方程，得解得

所以圆M的一般方程是x2＋y2＋x＋y－6＝0.