高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质课堂检测

2．5.2            椭圆的几何性质

知识点一  由椭圆方程研究简单几何性质

1.椭圆25x2＋9y2＝1的范围为(　　)

A．|x|≤5，|y|≤3   B．|x|≤，|y|≤

C．|x|≤3，|y|≤5   D．|x|≤，|y|≤

答案　B

解析　椭圆方程可化为＋＝1，所以a＝，b＝，所以|x|≤，|y|≤.故选B.

2．(多选)下面是关于曲线4x2＝12－3y2对称性的一些叙述，其中正确的为(　　)

A．关于x轴对称   B．关于y轴对称

C．关于原点对称   D．关于直线y＝x对称

答案　ABC

解析　曲线方程4x2＝12－3y2可化为＋＝1，故该曲线为焦点在y轴上的椭圆，由椭圆的性质，知该曲线关于x轴、y轴、原点对称．将曲线方程中的x换成y，y换成x，得＋＝1，与原曲线方程不同，故该曲线不关于直线y＝x对称．故选ABC.

3．(多选)设椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是(　　)

A．当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6

B．当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为

C．存在点P，使PF1⊥PF2

D．|PF1|的取值范围是[1,3]

答案　ABD

解析　由椭圆方程可知，a＝2，b＝，从而c＝＝1.根据椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|F1F2|＝2c＝2，所以△PF1F2的周长是6，A正确；设点P(x0，y0)(y0≠0)，因为|F1F2|＝2，则S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝|y0|.因为0<|y0|≤b＝，则△PF1F2面积的最大值为，B正确；当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2为最大，此时，|PF1|＝|PF2|＝a＝2，又|F1F2|＝2，则△PF1F2为正三角形，∠F1PF2＝60°，所以不存在点P，使PF1⊥PF2，C错误；当点P为椭圆C的右顶点时，|PF1|取最大值，此时|PF1|＝a＋c＝3；当点P为椭圆C的左顶点时，|PF1|取最小值，此时|PF1|＝a－c＝1，所以|PF1|∈[1,3]，D正确．故选ABD.

知识点二  由椭圆的几何性质求方程

4.已知直线2x＋y－2＝0经过椭圆＋＝1(a>0，b>0)的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为(　　)

A.＋＝1  B.＋y2＝1

C.＋＝1  D.＋＝1

答案　A

解析　直线2x＋y－2＝0与坐标轴的交点坐标为(1,0)，(0,2)，由题意得c＝1，b＝2，所以a＝＝，所以椭圆的方程为＋＝1.故选A.

5．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则(　　)

A．a2＝25，b2＝16

B．a2＝9，b2＝25

C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25

D．a2＝25，b2＝9

答案　D

解析　因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9.

6．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是________．

答案　＋＝1

解析　由2a＝18，得a＝9.又因为2c＝＝6，所以c＝3.所以b2＝a2－c2＝81－9＝72.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

知识点三  椭圆的离心率问题

7.已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则椭圆C的离心率为(　　)

A．1－        B．2－        C.        D.－1

答案　D

解析　在直角三角形PF1F2中，∵PF1⊥PF2，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝c，|PF1|＝c.由椭圆的定义得c＋c＝2a，∴C的离心率e＝＝＝－1.故选D.

8．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆外，且线段PF1与椭圆E交于点M，若|OM|＝|MF1|＝|OP|，则椭圆E的离心率为(　　)

A.           B.         C.－1      D.

答案　C

解析　设椭圆E的右焦点为F2.因为|OM|＝|MF1|＝|OP|，所以∠F1PO＝30°，∠MF1F2＝60°，连接MF2，则可得三角形MF1F2为直角三角形．在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，则c＋c＝2a，则离心率e＝＝＝－1.故选C.

9．如图所示，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一点，PF⊥x轴，OP∥AB，则椭圆的离心率为________．

答案　

解析　解法一：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，

则kAB＝－.

又PF⊥x轴，∴P点的坐标为，

∴kOP＝－.∵OP∥AB，∴kAB＝kOP，

即－＝－，∴b＝c，a2＝2c2，

因此，a＝c，∴e＝.

解法二：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，

则P.

又OP∥AB，∴∠POF＝∠BAO，

∴Rt△OPF∽Rt△ABO，

∴＝，即＝，

即＝，∴b＝c，∴a＝c，∴e＝＝.

10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝，求椭圆离心率的取值范围．

解　在△F1PF2中，∠F1PF2＝，

由余弦定理，可得

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos

＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，

由于|PF1|＋|PF2|＝2a，

所以4c2＝4a2－3|PF1||PF2|.

结合基本不等式，可得

4a2－4c2＝3|PF1||PF2|≤32

＝3a2(当且仅当|PF1|＝|PF2|＝a时等号成立)，

即a2≤4c2，

可得e≥，又e<1，

所以椭圆离心率的取值范围是.

一、选择题

1．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为(　　)

A.＋＝1   B．x2＋＝1

C.＋y2＝1  D.＋＝1

答案　B

解析　椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，故可设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝.又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.故选B.

2．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为(　　)

A.          B.           C.  D.

答案　A

解析　将椭圆方程x2＋4y2＝1化为标准方程x2＋＝1，则a2＝1，b2＝，所以a＝1，c＝＝，故离心率e＝＝.

3．已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，则椭圆C的方程为(　　)

A.＋y2＝1   B．x2＋＝1

C.＋＝1  D.＋＝1

答案　A

解析　因为＝，且c＝，所以a＝，b＝＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点Q为椭圆上一点．△F1QF2的重心为G，内心为I，且＝λ，则该椭圆的离心率为(　　)

A.          B.          C.  D.

答案　A

解析　椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，设Q(x0，y0)．∵G为△F1QF2的重心，∴G点坐标为G，.∵＝λ，则∥，∴I的纵坐标为.又|QF1|＋|QF2|＝2a，|F1F2|＝2c，∴S△F1QF2＝·|F1F2|·|y0|.又I为△F1QF2的内心，∴即为内切圆的半径，内心I把△F1QF2分为三个底分别为△F1QF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，∴S△F1QF2＝(|QF1|＋|F1F2|＋|QF2|)，即×2c·|y0|＝(2a＋2c)·，∴2c＝a，∴椭圆C的离心率为e＝，∴该椭圆的离心率为.故选A.

5．(多选)设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是(　　)

A．|PF1|＋|PF2|＝2

B．离心率e＝

C．△PF1F2面积的最大值为

D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切

答案　AD

解析　由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，所以A正确；依题意a＝，b＝1，c＝1，所以e＝＝＝，所以B错误；|F1F2|＝2c＝2，当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，为·2c·b＝c·b＝1，所以C错误；以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为c＝1，圆心到直线x＋y－＝0的距离为＝1，即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切，所以D正确．故选AD.

二、填空题

6．已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于，则此椭圆的标准方程是________．

答案　＋y2＝1或＋x2＝1

解析　设椭圆的半长轴长为a，半短轴长为b，焦距为2c，则b＝1，a2＋b2＝()2，即a2＝4.所以椭圆的标准方程是＋y2＝1或＋x2＝1.

7．比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则________更扁(填序号)．

答案　①

解析　x2＋9y2＝36化为标准方程得＋＝1，故离心率e1＝＝；椭圆＋＝1的离心率e2＝.因为e1>e2，故①更扁．

8.如图，把椭圆＋＝1的长轴(线段AB)分成8等份，过每个分点作x轴的垂线，分别交椭圆于P1，P2，P3，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝________.

答案　35

解析　由椭圆的对称性及定义，知|P1F|＋|P7F|＝2a，|P2F|＋|P6F|＝2a，|P3F|＋|P5F|＝2a，|P4F|＝a，所以|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋|P4F|＋|P5F|＋|P6F|＋|P7F|＝7a.因为a＝5，所以所求式子的值为35.

三、解答题

9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点(1，e)和e，都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．求椭圆的方程．

解　∵(1，e)和e，在椭圆上，且e＝，

∴由①得b2＝1，

将其代入②，整理得4a4－25a2＋25＝0，

解得a2＝5或a2＝，

∴椭圆的方程为＋y2＝1或＋y2＝1.

10．已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1,0)，一个顶点为H(2,0)．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．

解　(1)由题意可得，c＝1，a＝2，所以b＝.

所以所求椭圆E的标准方程为＋＝1.

(2)设M(x0，y0)(x0≠±2)，则＋＝1.①

＝(t－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，

由MP⊥MH可得·＝0，

即(t－x0)(2－x0)＋y＝0.②

由①②消去y0，整理得t(2－x0)＝－x＋2x0－3.

因为x0≠2，所以t＝x0－.

因为－2＜x0＜2，所以－2＜t＜－1.

所以实数t的取值范围为(－2，－1)．