高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程巩固练习

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程巩固练习，共7页。试卷主要包含了故选B等内容，欢迎下载使用。
2．6　双曲线及其方程2.6.1　双曲线的标准方程知识点一  双曲线的定义1.平面内到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于4的点M的轨迹为(　　)A．椭圆   B．线段C．两条射线   D．双曲线答案　D解析　根据双曲线的定义，|MF1|－|MF2|＝±4，且|F1F2|＝6>4，所以点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，且焦距为6，故选D.2．已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是(　　)A．一条射线   B．双曲线C．双曲线左支  D．双曲线右支答案　A解析　如果是双曲线，那么|PM|－|PN|＝4＝2a，a＝2，而两个定点M(－2,0)，N(2,0)为双曲线的焦点，c＝2，而在双曲线中c>a，所以把后三个关于双曲线的答案全部排除，故选A.3．已知定点A，B，且|AB|＝2，动点P满足|PA|－|PB|＝1，则点P的轨迹为(　　)A．双曲线   B．双曲线一支C．两条射线   D．一条射线答案　B解析　动点P满足|PA|－|PB|＝1<|AB|＝2，所以点P是以A，B为焦点的双曲线的一支．故选B.知识点二  双曲线的标准方程4.焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为(　　)A．x2－＝1  B.－y2＝1C．y2－＝1  D.－＝1答案　A解析　由双曲线定义知，2a＝－＝5－3＝2，∴a＝1，又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1.故选A.5．若椭圆＋＝1和双曲线－＝1有相同的焦点，则实数n的值是(　　)A．±5          B．±3         C．5          D．9答案　B解析　由题意得34－n2＝n2＋16,2n2＝18，解得n＝±3.故选B.6．平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是(　　)A.－＝1(x≤－4)  B.－＝1(x≤－3)C.－＝1(x≥4)  D.－＝1(x≥3)答案　D解析　由已知，知动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，且a＝3，c＝5，b2＝c2－a2＝16，∴所求轨迹方程为－＝1(x≥3)．7．若k∈R，则“k＞3”是“方程－＝1表示双曲线”的(　　)A．充分不必要条件   B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件答案　A解析　当k>3时，k－3>0，k＋3>0，∴方程－＝1表示双曲线．反之，若该方程表示双曲线，则(k－3)(k＋3)>0，∴k>3或k<－3.故“k>3”是“方程－＝1表示双曲线”的充分不必要条件．8．已知双曲线的焦点在y轴上，且它的一个焦点在直线5x－2y＋20＝0上，两焦点关于原点对称，＝，则双曲线的方程为(　　)A.－＝1  B.－＝1C.－＝－1  D.－＝－1答案　D解析　令x＝0，y＝10，∴双曲线的焦点坐标F1(0，－10)，F2(0,10)，∴c＝10，又＝，∴a＝6，∴b2＝c2－a2＝100－36＝64，故双曲线方程为－＝1，故选D.9．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，|PF1||PF2|＝2，则双曲线的标准方程为________．答案　－y2＝1解析　由题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．由·＝0，知PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2.又c＝，∴|PF1|2＋|PF2|2＝20.又由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝±2a.两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2.∴4a2＝20－2×2＝16，a2＝4，从而b2＝c2－a2＝1.故双曲线的标准方程为－y2＝1.10．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中，F1(－c,0)，F2(c，0)为左、右焦点，c＝2a，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，S△F1PF2＝12，求双曲线的标准方程．解　||PF1|－|PF2||＝2a，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos60°＝＝，∴|PF1||PF2|＝4(c2－a2)＝4b2.∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin60°＝2b2·＝b2.∴b2＝12，b2＝12.由c＝2a，c2＝a2＋b2，得a2＝4.∴双曲线的标准方程为－＝1.11．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sinB－sinA＝sinC.(1)求线段AB的长度；(2)求顶点C的轨迹方程．解　(1)将椭圆方程化为标准形式为＋y2＝1，可得A(－2,0)，B(2,0)，故|AB|＝4.(2)∵sinB－sinA＝sinC，由正弦定理，得|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|＝4，即动点C到两定点A，B的距离之差为定值，∴动点C的轨迹是双曲线的右支，且c＝2，a＝1，∴b2＝c2－a2＝3.故顶点C的轨迹方程为x2－＝1(x>1).  一、选择题1．若k∈R，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线的充要条件是(　　)A．－3＜k＜－2   B．k＜－3C．k＜－3或k＞－2   D．k＞－2答案　A解析　由题意可知，解得－3＜k＜－2.2．设点P在双曲线－＝1上，若F1，F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于(　　)A．22           B．16           C．14            D．12答案　A解析　由双曲线定义知|PF2|－|PF1|＝6，又|PF1|∶|PF2|＝1∶3，由两式得|PF1|＝3，|PF2|＝9，进而易得周长为22.3．平面内动点P(x，y)与A(－2,0)，B(2,0)两点连线的斜率之积为，动点P的轨迹方程为(　　)A.＋y2＝1  B.－y2＝1C.＋y2＝1(x≠±2)  D.－y2＝1(x≠±2)答案　D解析　依题意有kPA·kPB＝，即·＝(x≠±2)，整理得－y2＝1(x≠±2)．4．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为(　　)A.                B.   C.               D．5答案　C解析　如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.5．(多选)已知点P是双曲线E：－＝1的右支上一点，F1，F2为双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的是(　　)A．点P的横坐标为B．△PF1F2的周长为C．∠F1PF2小于D．△PF1F2的内切圆半径为答案　ABC解析　设△F1PF2的内心为I，连接IP，IF1，IF2，双曲线E：－＝1中的a＝4，b＝3，c＝5，不妨设P(m，n)，m>0，n>0，由△PF1F2的面积为20，可得|F1F2|n＝cn＝5n＝20，即n＝4，由－＝1，可得m＝，故A正确；由P，4，且F1(－5,0)，F2(5,0)，可得|PF1|＋|PF2|＝ ＋ ＝＋＝，则△PF1F2的周长为＋10＝，故B正确；由kPF1＝，kPF2＝，得tan∠F1PF2＝＝∈(0，)，则∠F1PF2<，故C正确；设△PF1F2的内切圆半径为r，可得r(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)＝·|F1F2|·4，可得r＝40，解得r＝，故D不正确．故选ABC.二、填空题6．已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则实数a＝________.答案　1解析　由双曲线－＝1可知a＞0，且焦点在x轴上．根据题意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1 或a＝－2(舍去)，故实数a＝1.7．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则|PF1|＝________，|PF2|＝________.答案　8　6解析　依题意有解得|PF2|＝6，|PF1|＝8.8．一动圆过定点A(－4,0)，且与定圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．答案　－＝1(x≤－2)解析　设动圆圆心为点P，则|PB|＝|PA|＋4，即|PB|－|PA|＝4＜|AB|＝8.∴点P的轨迹是以A，B为焦点，且2a＝4，a＝2的双曲线的左支．又2c＝8，∴c＝4.∴b2＝c2－a2＝12.∴动圆圆心的轨迹方程为－＝1(x≤－2)．三、解答题9.已知双曲线的方程为x2－＝1，如图，点A的坐标为(－，0)，B是圆：x2＋(y－)2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．解　设点D的坐标为(，0)，则点A，D是双曲线的焦点．由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2.所以|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|.又B是圆：x2＋(y－)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，)，半径为1，故|BD|≥|CD|－1＝－1.从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥＋1.当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|＋|MB|的最小值为＋1.10．动圆C与定圆C1：(x＋3)2＋y2＝9，C2：(x－3)2＋y2＝1都外切，求动圆圆心C的轨迹方程．解　如图所示，由题意，得定圆圆心C1(－3，0)，C2(3,0)，半径r1＝3，r2＝1，设动圆圆心为C(x，y)，半径为r，则|CC1|＝r＋3，|CC2|＝r＋1.两式相减，得|CC1|－|CC2|＝2，∴C点的轨迹为以C1，C2为焦点，且2a＝2的双曲线的右支．∵a＝1，c＝3，∴b2＝c2－a2＝8.∴动圆圆心C的轨迹方程为x2－＝1(x≥1)．