高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程测试题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程测试题，共7页。
2．7　抛物线及其方程2.7.1　抛物线的标准方程知识点一  抛物线的定义1.已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　)A．椭圆   B．双曲线C．抛物线   D．圆答案　C解析　方程5＝|3x＋4y－12|可化为＝，它表示点M到坐标原点O的距离等于它到直线3x＋4y－12＝0的距离，由抛物线的定义可知，动点M的轨迹是抛物线．故选C.2．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为(　　)A．2   B．3C．4   D．5答案　D解析　解法一：∵y＝4，∴x2＝4y＝16，∴x＝±4，∴A(±4，4)，焦点坐标为(0,1)，∴所求距离为＝＝5.解法二：抛物线的准线方程为y＝－1，∴A到准线的距离为5，又A到准线的距离与A到焦点的距离相等，∴所求距离为5.3．给出下列命题：①到定点F(－1,0)的距离和定直线x＝1的距离相等的动点P的轨迹为抛物线；②到定点F(2,1)的距离和到定直线3x－2y－4＝0的距离相等的动点P的轨迹为抛物线；③抛物线的焦点一定在y轴上．其中假命题是________(填序号)．答案　②③解析　由抛物线的定义，知命题①为真命题；因为定点F(2,1)在定直线3x－2y－4＝0上，可知动点P的轨迹为一条直线，所以命题②为假命题；因为抛物线的焦点可以随建立坐标系的方式不同而不同，因此可以在x轴上，所以命题③为假命题.知识点二  抛物线的标准方程4.抛物线x2＝ay的准线方程是y＝2，则实数a的值为(　　)A．8   B．－8C.   D．－答案　B解析　∵x2＝ay的准线方程为y＝－＝2，∴a＝－8.5．焦点在坐标轴上的抛物线过点(－2,3)，则它的标准方程是(　　)A．x2＝－y或y2＝xB．y2＝－x或x2＝yC．x2＝yD．y2＝－x答案　B解析　∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)或y2＝－2p1x(p1>0)，把(－2,3)代入，得(－2)2＝2p·3或9＝－2p1·(－2)，∴2p＝，或－2p1＝－.故所求抛物线的标准方程为x2＝y或y2＝－x.6．抛物线y＝2x2的焦点坐标是________，准线方程为________．答案　　y＝－解析　抛物线方程即x2＝y，可知焦点在y轴上，且＝，所以焦点坐标是，准线方程为y＝－.7．根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y＝－1；(2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.解　(1)由准线方程为y＝－1知抛物线焦点在y轴正半轴上，且＝1，则p＝2.故抛物线的标准方程为x2＝4y.(2)设焦点在x轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则焦点坐标为，准线方程为x＝－，则焦点到准线的距离为p＝3，因此所求抛物线的标准方程是y2＝6x.知识点三  与抛物线有关的轨迹问题8.过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为(　　)A．圆            B．椭圆           C．直线           D．抛物线答案　D解析　如图，设点P为满足条件的一点，不难得出结论：点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，故点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线，因此选D.9．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是(　　)A．x＋4＝0   B．x－4＝0C．y2＝8x   D．y2＝16x答案　D解析　依题意可知点M到点F的距离等于点M到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，经过原点，焦点在x轴正半轴上，∴其方程为y2＝16x.故选D.10．有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD，按如图所示方式进行折叠，使每次折叠后点B都落在AD边上，此时将B记为B′(注：图中EF为折痕，点F也可落在边CD上)．过B′作B′T∥CD交EF于点T，求点T的轨迹方程．解　如图所示，以边AB的中点O为原点，AB边所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(0，－2)．由题意可知|BT|＝|B′T|，B′T⊥AD，根据抛物线的定义，点T的轨迹是以点B为焦点，以AD为准线的抛物线的一部分．设T(x，y)，又|AB|＝4，即定点B到定直线AD的距离为4，∴抛物线方程为x2＝－8y.在折叠中，线段AB′的长度|AB′|在区间[0,4]内变化，而x＝|AB′|，∴0≤x≤4.故点T的轨迹方程为x2＝－8y(0≤x≤4)．  一、选择题1．抛物线y2＝8x的准线方程是(　　)A．x＝－2   B．x＝－4C．y＝－2   D．y＝－4答案　A解析　∵y2＝8x＝2·4x，∴p＝4，准线方程为x＝－＝－2.2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为(　　)A．－2         B．2        C．－4           D．4答案　D解析　由椭圆方程可知a＝，b＝，∴c＝＝2，∴椭圆右焦点为(2,0)，∴＝2，∴p＝4.故选D.3．已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)A．2   B．2C．2   D．4答案　C解析　抛物线C的准线方程为x＝－，焦点F(，0)，由|PF|＝4及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝3，从而yP＝±2，∴S△POF＝|OF||yP|＝××2＝2.4．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　)A．y2＝8x   B．y2＝－8xC．y2＝4x   D．y2＝－4x答案　A解析　设动圆的半径为r，圆心为O′(x，y)，且O′到点(2,0)的距离为r＋1，O′到直线x＝－1的距离为r，所以O′到(2,0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义，知动圆圆心的轨迹方程为y2＝8x.故选A.5．(多选)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，抛物线D：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，若点P(m,1)是抛物线D与双曲线C的一个公共点，则下列选项正确的是(　　)A．a＝3bB．抛物线D的方程为x2＝18yC．m＝±3D．双曲线C的方程为－y2＝1答案　ABCD解析　由已知可得e2＝＝，所以a2＝9b2，即A正确；由抛物线D：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，得－＝－，解得p＝9，所以抛物线D的方程为x2＝18y，B正确；由点P(m,1)在抛物线D上，得m2＝18，解得m＝±3，C正确；又点P(m,1)在双曲线C上，可得解得故双曲线C的标准方程为－y2＝1，D正确．故选ABCD.二、填空题6．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝________.答案　1解析　由y2＝x，得2p＝1，即p＝，因此抛物线的准线方程为l：x＝－，设A点到准线l的距离为d，由抛物线的定义可知，d＝|AF|，所以x0＋＝x0，解得x0＝1.7．已知点A(0,2)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线于点B，过B点作l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p＝________.答案　解析　由抛物线的定义可得|BM|＝|BF|，F，0，又AM⊥MF，故点B为线段FA中点，即B，1，所以1＝2p×，所以p＝.8．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则＝________.答案　1＋解析　由正方形的定义可知BC＝CD，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|AD|＝p＝a，D，0，F＋b，b，将点F的坐标代入抛物线的方程得b2＝2p＋b＝a2＋2ab，变形得2－－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍去)，所以＝1＋.三、解答题9．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且与y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程．解　抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F的坐标为，0，则直线l的方程为y＝2x－，它与y轴的交点为A0，－，∴△OAF的面积为·＝4，解得a＝±8.∴抛物线的方程为y2＝±8x.10．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．解　(1)依题意，抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.由抛物线的定义，知|PF|＝d，于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为＝.(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2，因为2＞2，所以点B在抛物线内部．自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)，由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.