人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念第1课时测试题

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4．1　数列的概念第1课时　数列的概念与通项公式知识点一  根据数列的前几项求通项公式1.数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是(　　)A．an＝(－1)n·(2n－1)B．an＝(－1)n·(2n－1)C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)答案　A解析　数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1，3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)．2．根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：(1)0.9,0.99,0.999,0.9999，…；(2)1，2，3，4，…；(3)，，，，…；(4)3,5,9,17，….解　(1)0.9＝1－0.1＝1－10－1,0.99＝1－10－2,0.999＝1－10－3,0.9999＝1－10－4，故an＝1－10－n.(2)1＝1＋，2＝2＋，3＝3＋，4＝4＋，故an＝n＋.(3)＝＝1－，＝＝1－，＝＝1－，＝＝1－，故an＝＝1－.(4)3＝1＋2,5＝1＋22,9＝1＋23,17＝1＋24，故an＝1＋2n.知识点二  数列通项公式的应用3.数列，，，，…的第10项是(　　)A.  B． C．  D．答案　C解析　由题意知，数列的通项公式是an＝，∴a10＝＝.故选C.4．若数列an＝＋＋…＋，则a5－a4＝(　　)A.  B．－ C．  D．答案　C解析　依题意知，a5－a4＝－＝＋－＝.故选C.5．已知数列，3，，，3，…，，…，则9是这个数列的(　　)A．第12项  B．第13项C．第14项  D．第15项答案　C解析　依题意，该数列的通项公式为an＝.令an＝9，得n＝14，故选C.6．已知数列{an}的通项公式为an＝则a2a3的值是(　　)A．70  B．28 C．20  D．16答案　D解析　a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3－1＝8，a2a3＝16.故选D.知识点三  数列的单调性7.已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　　)A．递增数列  B．递减数列C．先增后减数列  D．常数列答案　A解析　an＝＝2－，单调递增．故选A.8．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是(　　)A．第5项  B．第6项C．第4项或第5项  D．第5项或第6项答案　A解析　an＝－22＋，因为n∈N*,5＜＜6，且a5＝55，a6＝54，所以数值最大的项为第5项．故选A.9．已知数列{an}的通项公式an＝(a，b为正数)，那么an与an＋1的关系是(　　)A．an>an＋1  B．an<an＋1C．an＝an＋1  D．以上都不对答案　B解析　y＝＝＝＋＝＋.其图象可由y＝先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，如图．由图象不难得知函数y＝在[1，＋∞)上单调递增，所以an＝的值随n的增大而增大．所以数列{an}是递增数列，即an<an＋1.故选B.10．已知下列数列：①2,22,222,2222；②0，，，…，，…；③1，，，…，，…；④－2,0，－2,0，…，(－1)n－1，…；⑤a，a，a，a，….其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________(将正确的序号填在横线上)．答案　①　②③④⑤　①②　③　⑤解析　①是有穷数列，也是递增数列，②是无穷数列，也是递增数列，③是无穷数列，也是递减数列，④是无穷数列，⑤是无穷数列，也是常数列．11．设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________．答案　(2,3)解析　由题意，得点(n，an)分布在分段函数f(x)＝的图象上．因此当3－a＞0时，a1＜a2＜a3＜…＜a7；当a＞1时，a8＜a9＜a10＜…；为使数列{an}递增还需a7＜a8.故实数a满足条件解得2＜a＜3，故实数a的取值范围是(2,3).  一、选择题1．数列7,9,11，…，2n－1的项数是(　　)A．n－3  B．n－2 C．n－1  D．n答案　A解析　数列通项公式为2n＋5，而2n－1＝2(n－3)＋5，所以项数为n－3.故选A.2．数列－，，－，，…的通项公式an为(　　)A．(－1)n＋1B．(－1)n＋1C．(－1)nD．(－1)n答案　D解析　观察式子的分子为1,2,3,4，…，n，…，分母为3×5,5×7，7×9，…，(2n＋1)(2n＋3)，…，而且正负间隔，故通项公式an＝(－1)n.3．下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　)A．1，，，，…B．－1，－2，－3，－4，…C．－1，－，－，－，…D．1，，，…，答案　C解析　对于A，an＝，n∈N*，它既是无穷数列又是递减数列；对于B，an＝－n，n∈N*，它既是无穷数列又是递减数列；D是有穷数列；对于C，an＝－n－1，它既是无穷数列又是递增数列．故选C.4．设an＝＋＋＋…＋(n∈N*)，那么an＋1－an等于(　　)A.  B．C.＋  D．－答案　D解析　∵an＝＋＋＋…＋，∴an＋1＝＋＋…＋＋＋，∴an＋1－an＝＋－＝－.5．(多选)已知数列{an}的前四项分别为1,0,1,0，则下列通项公式可以作为数列{an}的通项公式的是(　　)A．an＝[1＋(－1)n＋1]B．an＝sin2C．an＝D．an＝[1＋(－1)n＋1]＋(n－1)(n－2)答案　ABC解析　要判别某一公式不是数列的通项公式，只要把适当的n代入an，其不满足即可，若要确定它是通项公式，必须加以一定的说明．容易验证A，B，C均符合；对于D，将n＝3代入不符合．故选ABC.二、填空题6．已知一组数1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，按这组数的规律，x应为________．答案　13解析　由题意得1＋1＝2,1＋2＝3,2＋3＝5,3＋5＝8.∴x＝5＋8＝13.7．数列，，，，，…的一个通项公式是________．答案　an＝解析　∵＝，＝，＝，＝，＝，…，∴an＝.8．数列{an}满足an＝，若ap最大，aq最小，则p＝________，q＝________.答案　45　44解析　an＝＝1＋.由于44＜＜45，则当n≤44时，an＝1－＜1且递减；当n≥45时，an＝1＋＞1且递减．所以a44最小，a45最大，即p＝45，q＝44.三、解答题9．已知数列an＝试求a1＋a100和a1－a2＋a3－a4＋…＋a99－a100的值．解　∵a1＝1－1＝0，a100＝100.∴a1＋a100＝100.又a1＝0，a3＝2，a5＝4，…，a99＝98，而a2＝2，a4＝4，a6＝6，…，a98＝98，a100＝100，∴a1－a2＋a3－a4＋…＋a99－a100＝0－2＋2－4＋4－…＋98－100＝－100.10．数列{an}中，an＝.(1)求数列的第7项；(2)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；(3)区间内有无数列的项？若有，有几项？解　(1)a7＝＝.(2)证明：∵an＝＝1－，∴0<an<1，故数列的各项都在区间(0,1)内．(3)∵<<，∴<n2<2.又n∈N*，∴n＝1，即在区间内有且只有一项a1.