高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第2课时课后练习题

第2课时　等差数列的性质及应用

知识点一  等差数列的性质的运用

1.等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　　)

A．无实根  B．有两个相等实根

C．有两个不等实根  D．不能确定有无实根

答案　A

解析　∵a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，∴3a5＝9，∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，Δ＝62－4×10<0，无实数解．故选A.

2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于(　　)

A．40  B．42

C．43  D．45

答案　B

解析　∵a2＋a3＝2a1＋3d＝13，又a1＝2，∴d＝3.

∴a4＋a5＋a6＝3a5＝3×(a1＋4d)＝3×(2＋12)＝42.

3．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为(　　)

A．4  B．6

C．8  D．10

答案　C

解析　由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.

4．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于(　　)

A．－182  B．－78

C．－148  D．－82

答案　D

解析　a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33＝50＋2×(－2)×33＝－82.

5．已知等差数列{an}中，a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________.

答案　18

解析　∵a5＋a8＝a2＋a11＝a3＋a10，又a2＋a3＋a10＋a11＝36，∴a5＋a8＝18.

6．在等差数列{an}中，a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，且a4＞a2，则a5＝________.

答案　13

解析　∵a2＋a3＋a4＋a5＝34，且a3＋a4＝a2＋a5，

∴2(a2＋a5)＝34，∴a2＋a5＝17.又a2·a5＝52，

∴或又a4＞a2，∴a4－a2＝2d＞0，

∴d＞0，∴a5＞a2，∴a5＝13.

7．如图所示，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列，且AD＝21 cm，这三个正方形的面积之和是179 cm2.

(1)求AB，BC，CD的长；

(2)以AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？

解　(1)设公差为d(d>0)，BC＝x，

则AB＝x－d，CD＝x＋d.

由题意得

解得或(舍去)．

所以AB＝3(cm)，BC＝7(cm)，CD＝11(cm)．

(2)正方形的边长组成首项是3，公差是4的等差数列{an}，所以a10＝3＋(10－1)×4＝39.

a＝392＝1521(cm2)．

所求正方形的面积为1521 cm2.

知识点二  等差数列的综合运用

8.《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的晷影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的晷影长的和是37.5尺，芒种的晷影长为4.5尺，则冬至的晷影长为(　　)

A．15.5尺  B．12.5尺

C．10.5尺  D．9.5尺

答案　A

解析　设题中等差数列为{an}，n＝1,2，…，12，公差为d，则a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝37.5，a1＋11d＝4.5，解得d＝－1，a1＝15.5.故选A.

9．设方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝(　　)

A．1  B．

C．  D．

答案　C

解析　∵方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0的一次项系数相同，由根与系数的关系及等差数列的性质，

令x1，x4为方程x2－2x＋m＝0的两根，

x2，x3为方程x2－2x＋n＝0的两根．

令x1＝，则x4＝2－＝，从而x2＝，x3＝.

∴m＝x1x4＝，n＝x2x3＝，∴|m－n|＝.

10．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________.

答案　n2

解析　依题意得－＋1＝0，即－＝1，

∴数列为等差数列，且公差d＝1.

又＝1，∴＝1＋(n－1)×1＝n，an＝n2.

11．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．

答案　15

解析　不妨设∠A＝120°，c<b，则a＝b＋4，c＝b－4，

于是cos120°＝＝－，

解得b＝10，所以S＝bcsin120°＝15.

12．在△ABC中，若lg (sinA)，lg (sinB)，lg (sinC)成等差数列，并且三个内角A，B，C也成等差数列，试判断该三角形的形状．

解　由A，B，C成等差数列，得2B＝A＋C，

又A＋B＋C＝π，

∴3B＝π，∴B＝.

∵lg (sinA)，lg (sinB)，lg (sinC)成等差数列，

∴2lg (sinB)＝lg (sinA)＋lg (sinC)，

即sin2B＝sinAsinC，∴sinAsinC＝.

又∵cos(A＋C)＝cosAcosC－sinAsinC，cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC，

∴sinAsinC＝－[cos(A＋C)－cos(A－C)]．

∴－＝.

∴＋cos(A－C)＝.

∴cos(A－C)＝1.

∵A－C∈(－π，π)，

∴A－C＝0，即A＝C＝，

∴A＝B＝C.

故△ABC为等边三角形．

一、选择题

1．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为(　　)

A．14  B．15

C．16  D．17

答案　C

解析　由题意知5a8＝120，∴a8＝24，∴a9－a11＝(a8＋d)－(a8＋3d)＝a8＝16.

2．在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50，则a40＝(　　)

A．40  B．70

C．80  D．90

答案　D

解析　在等差数列中，间隔相等的项成等差数列，∵a10＝30，a20＝50，∴a30＝70，a40＝90.故选D.

3．在3与27之间插入7个数，使这9个数成等差数列，则插入这7个数中的第4个数值为(　　)

A．18  B．9

C．12  D．15

答案　D

解析　设这7个数分别为a1，a2，…，a7，易知a4是3与27的等差中项，∴a4＝＝15.

4．在等差数列{an}中，a3，a9是方程2x2－x－7＝0的两根，则a6等于(　　)

A.  B．

C．－  D．－

答案　B

解析　由根与系数的关系及等差数列的性质，知a3＋a9＝＝2a6⇒a6＝，故选B.

5．(多选)已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1＜0，则下列说法正确的是(　　)

A．数列{an}的通项公式为an＝n＋

B．数列{an}是递增数列

C．k＝23

D．ak－2＋ak＋2＝

答案　CD

解析　由3an＋1＝3an－2得an＋1－an＝－，所以数列{an}为首项a1＝15，公差d＝－的等差数列，所以an＝15－(n－1)＝－n＋，故A，B错误；由ak·ak＋1＜0得ak＞0，ak＋1＜0，令an＝－n＋＝0得n＝，所以a23＞0，a24＜0，所以k＝23，故C正确；由ak－2＋ak＋2＝2ak＝2a23＝，故D正确．故选CD.

二、填空题

6．若lg 2，lg (2x－1)，lg (2x＋3)成等差数列，则x＝________.

答案　log25

解析　由题意得2lg (2x－1)＝lg 2＋lg (2x＋3)，

所以(2x－1)2＝2·(2x＋3)，即(2x－5)(2x＋1)＝0，

所以2x＝5，即x＝log25.

7．若{an}为等差数列，且a1＋a5＋a9＝π，则cos(a2＋a8)的值为________．

答案　－

解析　∵{an}为等差数列，∴a1＋a9＝2a5＝a2＋a8.代入a1＋a5＋a9＝π，得(a2＋a8)＝π，

∴a2＋a8＝，从而cos(a2＋a8)＝－.

8．中国古代数学有着很多令人惊叹的成就．北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术．隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，每一层长有a个，宽有b个，共计ab个木桶，每一层长宽各比上一层多一个，共堆放n层．假设最上层有长2宽1共2个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放15层，则最底层木桶的个数为________．

答案　240

解析　最上层2个，从上往下第2层：(1＋1)×(2＋1)＝2×3(个)；第3层：(2＋1)×(3＋1)＝3×4(个)；…；第15层：15×16＝240(个)．

三、解答题

9．已知等差数列{an}，设bn＝an，已知b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求数列{an}的通项公式．

解　∵b1＋b2＋b3＝，bn＝an.

∴a1＋a2＋a3＝，

∵b1b2b3＝，

∴a1·a2·a3＝，

∴a1＋a2＋a3＝，∴a1＋a2＋a3＝3.

又a1，a2，a3成等差数列，

可设a1＝a2－d，a3＝a2＋d，于是a2＝1.

由1－d＋＋1＋d＝，

∴＋×d＝，

∴×2d＋×2－d＝，

∴2d＋2－d＝，解得d＝2或d＝－2.

当d＝2时，a1＝1－d＝－1，

∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3；

当d＝－2时，a1＝1－d＝3，

∴an＝3－2(n－1)＝－2n＋5，

∴所求通项公式为当a1＝－1，d＝2时，an＝2n－3；

当a1＝3，d＝－2时，an＝－2n＋5.

10．某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？

解　设从第一年起，第n年的利润为an万元，则a1＝200，an＋1－an＝－20，n∈N*，每年的利润构成一个等差数列{an}，从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由an＝220－20n<0，得n>11.即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．