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    2023新教材高中数学第4章数列4.2等差数列4.2.2等差数列的前n项和公式第2课时等差数列前n项和的性质及应用对点练新人教A版选择性必修第二册

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    人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列第2课时练习

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    这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列第2课时练习,共7页。
    第2课时 等差数列前n项和的性质及应用知识点一  等差数列前n项和的性质1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7a8a9=(  )A.63  B.45 C.36  D.27答案 B解析 因为S3S6S3S9S6成等差数列,所以a7a8a9S9S6=2(S6S3)-S3=45.故选B.2.在等差数列{an}已知公差da1a3a5+…+a99=60,a2a4a6+…+a100的值为(  )A.85  B.145 C.110  D.90答案 A解析 a2a4a6+…+a100=50da1a3a5+…+a99=85.故选A.知识点二  等差数列前n项和的最值3.(多选)等差数列{an}S6<S7S7>S8则下列命题中为真命题的是(  )A.d<0B.S9<S6C.a7是各项中最大的项D.S7Sn中最大的值答案 ABD解析 S6<S7S7>S8a7>0,a8<0,d<0成立各项中最大的项是a1,A正确,C错误S9S6a7a8a9=3a8<0,S9<S6,B正确S7Sn中最大的值成立,D正确故选ABD.4.在等差数列{an}a1>0,公差d<0,a5=3a7n项和为SnSn取得最大值n=________.答案 7或8解析 在等差数列{an}中,a1>0,公差d<0,a5=3a7a1+4d=3(a1+6d),a1=-7dSnn(-7d)+d(n2-15n)=2dn=7或8时,Sn取最大值.5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a1>0,S11S18,则当n为何值时Sn最大?解 解法一:由S11S18,得11a1d=18a1da1=-14d>0,所以d<0.构建不等式组解得14≤n≤15.故当n=14或n=15时Sn最大.解法二:由S11S18知,a1=-14d所以Snna1d=-14dnd2d.由于nN*,结合Sn对应的二次函数的图象知,当n=14或n=15时Sn最大.解法三:由S11S18知,a12a13a14a15a16a17a18=0,即7a15=0,所以a15=0.又a1>0,所以d<0,故当n=14或n=15时Sn最大.知识点三  等差数列前n项和的综合问题6.已知正项数列{an},a1=1,前n项和Sn满足Sn·Sn-1·=2(n≥2),则a10=(  )A.72  B.80 C.90  D.82答案 A解析 Sn·Sn-1·=2(n≥2),两边同除以,得=2;而S1a1=1,=1+2(n-1)=2n-1,Sn=4n2-4n+1;再根据anSnSn-1,得an=8n-8,所以a10=8×10-8=72.7.一个有11项的等差数列,奇数项之和为30,则它的中间项为(  )A.8  B.7 C.6  D.5答案 D解析 S=6a1×2d=30,a1+5d=5,S=5a2×2d=5(a1+5d)=25,aSS=30-25=5.8.一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为120°,公差为5°,那么这个多边形的边数n等于(  )A.12  B.16 C.9  D.16或9答案 C解析 an=120+5(n-1)=5n+115,由an<180,得n<13且nN*.由n边形内角和定理,得(n-2)×180=n×120+×5,解得n=16或n=9,因为n<13,所以n=9.9.中国古诗词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是(  )A.174斤  B.184斤 C.191斤  D.201斤答案 B解析 a1a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小分到的绵数,由题意知,数列a1a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,8a1×17=996,解得a1=65,a8=65+7×17=184.故选B.10.已知一次函数f(x)=x+8-2n.(1)设函数yf(x)的图象与y轴交点的纵坐标构成数列{an},求证:数列{an}是等差数列;(2)设函数yf(x)的图象与y轴的交点到x轴的距离构成数列{bn},求数列{bn}的前n项和Sn.解 (1)证明:由题意,得an=8-2n.因为an+1an=8-2(n+1)-8+2n=-2,所以数列{an}是等差数列.(2)由题意,得bn=|8-2n|.因为b1=6,b2=4,b3=2,b4=0,b5=2,所以此数列前4项是首项为6,公差为-2的等差数列,从第5项起是以2为首项,2为公差的等差数列.所以当n≤4时,Sn=6n×(-2)=-n2+7nn≥5时,SnS4+(n-4)×2+×2=12+n2-7n+12=n2-7n+24.故Sn  一、选择题1.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为(  )A.5  B.4 C.3  D.2答案 C解析 由题意得SS=5d=15,d=3.或由解方程组求得d=3.故选C.2.等差数列{an}中,a1=-5,它的前11项的平均值是5,若从中抽取1项,余下的10项的平均值为4,则抽取的项是(  )A.a8  B.a9 C.a10  D.a11答案 D解析 设抽取的项为akS11=5×11=55=11a1d=55d-55,d=2,S11ak=4×10=40,ak=15,又a1=-5,由ak=-5+2(k-1)=15,得k=11.抽取的项为a11.3.在等差数列{an}和{bn}中,a1b100=100,b1a100=100,则数列{anbn}的前100项和为(  )A.0  B.100 C.1000  D.10000答案 D解析 {anbn}的前100项的和为=50(a1a100b1b100)=50×200=10000.4已知数列{an}为等差数列,且a1≥1,a2≤5,a5≥8,设数列{an}的前n项和为SnS15的最大值为M,最小值为m,则Mm=(  )A.500  B.600 C.700  D.800答案 B解析 由题意,可知公差最大时,M最大,公差最小时,m最小.公差最大时,a1=1,a2=5,此时公差d=4,MS15=1×15+×4=435;公差最小时,a2=5,a5=8,此时公差d=1,mS15=4×15+×1=165.Mm=435+165=600.5.(多选)已知数列{2n-19},那么这个数列的前n项和Sn(  )A.有最大值且是整数  B.有最小值且是整数C.有最大值且是分数  D.无最大值答案 BD解析 易知数列{2n-19}的通项为an=2n-19,a1=-17,d=2.该数列是递增等差数列.an=0,n=9.a1<a2<a3<…<a9<0<a10<….该数列前n项和Sn无最大值,有最小值,为S9=9a1d=-81.故选BD.二、填空题6.n阶幻方(n≥3,nN*)是由连续的正整数1,2,3,…,n2组成的一个n阶方阵,其各行、各列及两条对角线上的n个数之和(简称幻和)相等,例如3阶幻方的幻和为15(如下表所示),则5阶幻方的幻和为________.816357492答案 65解析 1+2+3+4+…+24+25==325,由n阶幻方(n≥3,nN*)的定义可得,5阶幻方的幻和为=65.7.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为SnTn,且,则使得为整数的n的个数是________.答案 5解析 由等差数列的性质,知Z,则n-2只能取-1,1,3,11,33这5个数,故满足题意的n有5个.8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为________.答案 4解析 等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4≥10,S5≤15,a4≤3+d,5+3d≤6+2dd≤1,a4≤3+d≤3+1=4,故a4的最大值为4.三、解答题9.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=24,S11=0,(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和Sn(3)当n为何值时,Sn最大,并求Sn的最大值.解 (1)依题意,a3=24,S11=0,a1+2d=24,a1+5d=0,解得a1=40,d=-8,an=48-8n.(2)由(1)知,a1=40,an=48-8nSn=-4n2+44n.(3)由(2)有,Sn=-4n2+44n=-4(n-5.5)2+121,故当n=5或n=6时,Sn最大,且Sn的最大值为120.10.甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明:从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明:养鸡场个数由第1年的30个减少到第6年的10个.请您根据提供的信息,解决下列问题:(1)求第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数;(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了?请说明理由;(3)哪一年的规模最大?请说明理由.解 由题干图可知,从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡的只数成等差数列,记为{an},公差为d1,且a1=1,a6=2;从第1年到第6年养鸡场个数也成等差数列,记为{bn},公差为d2,且b1=30,b6=10.从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn},cnanbn.(1)由a1=1,a6=2,得a2=1.2;b1=30,b6=10,得b2=26.c2a2b2=1.2×26=31.2(万只).第2年养鸡场的个数为26,全县出产鸡的总只数为31.2万.(2)c6a6b6=2×10=20<c1a1b1=30,到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了.(3)an=1+(n-1)×0.2=0.2n+0.8(1≤n≤6),bn=30+(n-1)×(-4)=-4n+34(1≤n≤6),cnanbn=(0.2n+0.8)(-4n+34)=-0.8n2+3.6n+27.2(1≤n≤6).对称轴为n=2.25,n=2时,cn最大.第2年的规模最大. 

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