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人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列第2课时练习
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列第2课时练习,共7页。
第2课时 等差数列前n项和的性质及应用知识点一 等差数列前n项和的性质1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( )A.63 B.45 C.36 D.27答案 B解析 因为S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,所以a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=45.故选B.2.在等差数列{an}中,已知公差d=且a1+a3+a5+…+a99=60,则a2+a4+a6+…+a100的值为( )A.85 B.145 C.110 D.90答案 A解析 a2+a4+a6+…+a100=50d+a1+a3+a5+…+a99=85.故选A.知识点二 等差数列前n项和的最值3.(多选)等差数列{an}中,S6<S7,S7>S8,则下列命题中为真命题的是( )A.d<0B.S9<S6C.a7是各项中最大的项D.S7是Sn中最大的值答案 ABD解析 由S6<S7,S7>S8,得a7>0,a8<0,d<0成立,各项中最大的项是a1,A正确,C错误;S9-S6=a7+a8+a9=3a8<0,S9<S6,B正确;S7是Sn中最大的值成立,D正确.故选ABD.4.在等差数列{an}中,a1>0,公差d<0,a5=3a7,前n项和为Sn,若Sn取得最大值,则n=________.答案 7或8解析 在等差数列{an}中,a1>0,公差d<0,∵a5=3a7,∴a1+4d=3(a1+6d),∴a1=-7d,∴Sn=n(-7d)+d=(n2-15n)=2-d,∴n=7或8时,Sn取最大值.5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a1>0,S11=S18,则当n为何值时Sn最大?解 解法一:由S11=S18,得11a1+d=18a1+d,即a1=-14d>0,所以d<0.构建不等式组即解得14≤n≤15.故当n=14或n=15时Sn最大.解法二:由S11=S18知,a1=-14d,所以Sn=na1+d=-14dn+d=2-d.由于n∈N*,结合Sn对应的二次函数的图象知,当n=14或n=15时Sn最大.解法三:由S11=S18知,a12+a13+a14+a15+a16+a17+a18=0,即7a15=0,所以a15=0.又a1>0,所以d<0,故当n=14或n=15时Sn最大.知识点三 等差数列前n项和的综合问题6.已知正项数列{an},a1=1,前n项和Sn满足Sn·-Sn-1·=2(n≥2),则a10=( )A.72 B.80 C.90 D.82答案 A解析 由Sn·-Sn-1·=2(n≥2),两边同除以,得-=2;而S1=a1=1,∴=1+2(n-1)=2n-1,∴Sn=4n2-4n+1;再根据an=Sn-Sn-1,得an=8n-8,所以a10=8×10-8=72.7.一个有11项的等差数列,奇数项之和为30,则它的中间项为( )A.8 B.7 C.6 D.5答案 D解析 S奇=6a1+×2d=30,a1+5d=5,S偶=5a2+×2d=5(a1+5d)=25,a中=S奇-S偶=30-25=5.8.一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为120°,公差为5°,那么这个多边形的边数n等于( )A.12 B.16 C.9 D.16或9答案 C解析 an=120+5(n-1)=5n+115,由an<180,得n<13且n∈N*.由n边形内角和定理,得(n-2)×180=n×120+×5,解得n=16或n=9,因为n<13,所以n=9.9.中国古诗词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是( )A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤答案 B解析 用a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小分到的绵数,由题意知,数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,∴8a1+×17=996,解得a1=65,∴a8=65+7×17=184.故选B.10.已知一次函数f(x)=x+8-2n.(1)设函数y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标构成数列{an},求证:数列{an}是等差数列;(2)设函数y=f(x)的图象与y轴的交点到x轴的距离构成数列{bn},求数列{bn}的前n项和Sn.解 (1)证明:由题意,得an=8-2n.因为an+1-an=8-2(n+1)-8+2n=-2,所以数列{an}是等差数列.(2)由题意,得bn=|8-2n|.因为b1=6,b2=4,b3=2,b4=0,b5=2,所以此数列前4项是首项为6,公差为-2的等差数列,从第5项起是以2为首项,2为公差的等差数列.所以当n≤4时,Sn=6n+×(-2)=-n2+7n;当n≥5时,Sn=S4+(n-4)×2+×2=12+n2-7n+12=n2-7n+24.故Sn= 一、选择题1.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为( )A.5 B.4 C.3 D.2答案 C解析 由题意得S偶-S奇=5d=15,∴d=3.或由解方程组求得d=3.故选C.2.等差数列{an}中,a1=-5,它的前11项的平均值是5,若从中抽取1项,余下的10项的平均值为4,则抽取的项是( )A.a8 B.a9 C.a10 D.a11答案 D解析 设抽取的项为ak,∵S11=5×11=55=11a1+d=55d-55,∴d=2,∵S11-ak=4×10=40,∴ak=15,又a1=-5,由ak=-5+2(k-1)=15,得k=11.∴抽取的项为a11.3.在等差数列{an}和{bn}中,a1+b100=100,b1+a100=100,则数列{an+bn}的前100项和为( )A.0 B.100 C.1000 D.10000答案 D解析 {an+bn}的前100项的和为+=50(a1+a100+b1+b100)=50×200=10000.4.已知数列{an}为等差数列,且a1≥1,a2≤5,a5≥8,设数列{an}的前n项和为Sn,S15的最大值为M,最小值为m,则M+m=( )A.500 B.600 C.700 D.800答案 B解析 由题意,可知公差最大时,M最大,公差最小时,m最小.公差最大时,a1=1,a2=5,此时公差d=4,M=S15=1×15+×4=435;公差最小时,a2=5,a5=8,此时公差d=1,m=S15=4×15+×1=165.M+m=435+165=600.5.(多选)已知数列{2n-19},那么这个数列的前n项和Sn( )A.有最大值且是整数 B.有最小值且是整数C.有最大值且是分数 D.无最大值答案 BD解析 易知数列{2n-19}的通项为an=2n-19,∴a1=-17,d=2.∴该数列是递增等差数列.令an=0,得n=9.∴a1<a2<a3<…<a9<0<a10<….∴该数列前n项和Sn无最大值,有最小值,为S9=9a1+d=-81.故选BD.二、填空题6.n阶幻方(n≥3,n∈N*)是由连续的正整数1,2,3,…,n2组成的一个n阶方阵,其各行、各列及两条对角线上的n个数之和(简称幻和)相等,例如3阶幻方的幻和为15(如下表所示),则5阶幻方的幻和为________.816357492答案 65解析 1+2+3+4+…+24+25==325,由n阶幻方(n≥3,n∈N*)的定义可得,5阶幻方的幻和为=65.7.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且=,则使得为整数的n的个数是________.答案 5解析 由等差数列的性质,知====∈Z,则n-2只能取-1,1,3,11,33这5个数,故满足题意的n有5个.8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为________.答案 4解析 ∵等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4≥10,S5≤15,∴即∴∴≤a4≤3+d,5+3d≤6+2d,d≤1,∴a4≤3+d≤3+1=4,故a4的最大值为4.三、解答题9.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=24,S11=0,(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和Sn;(3)当n为何值时,Sn最大,并求Sn的最大值.解 (1)依题意,∵a3=24,S11=0,∴a1+2d=24,a1+5d=0,解得a1=40,d=-8,∴an=48-8n.(2)由(1)知,a1=40,an=48-8n,∴Sn==-4n2+44n.(3)由(2)有,Sn=-4n2+44n=-4(n-5.5)2+121,故当n=5或n=6时,Sn最大,且Sn的最大值为120.10.甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明:从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明:养鸡场个数由第1年的30个减少到第6年的10个.请您根据提供的信息,解决下列问题:(1)求第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数;(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了?请说明理由;(3)哪一年的规模最大?请说明理由.解 由题干图可知,从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡的只数成等差数列,记为{an},公差为d1,且a1=1,a6=2;从第1年到第6年养鸡场个数也成等差数列,记为{bn},公差为d2,且b1=30,b6=10.从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn},则cn=anbn.(1)由a1=1,a6=2,得∴⇒a2=1.2;由b1=30,b6=10,得∴⇒b2=26.∴c2=a2b2=1.2×26=31.2(万只).∴第2年养鸡场的个数为26,全县出产鸡的总只数为31.2万.(2)c6=a6b6=2×10=20<c1=a1b1=30,∴到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了.(3)∵an=1+(n-1)×0.2=0.2n+0.8(1≤n≤6),bn=30+(n-1)×(-4)=-4n+34(1≤n≤6),∴cn=anbn=(0.2n+0.8)(-4n+34)=-0.8n2+3.6n+27.2(1≤n≤6).∵对称轴为n=2.25,∴当n=2时,cn最大.∴第2年的规模最大.
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