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数学选择性必修 第二册4.3 等比数列第1课时课后练习题
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这是一份数学选择性必修 第二册4.3 等比数列第1课时课后练习题,共6页。试卷主要包含了3.1 等比数列的概念等内容,欢迎下载使用。
4.3 等比数列4.3.1 等比数列的概念第1课时 等比数列的概念及通项公式知识点一 等比数列的定义1.数列m,m,m,…一定( )A.是等差数列,但不是等比数列B.是等比数列,但不是等差数列C.是等差数列,但不一定是等比数列D.既是等差数列,又是等比数列答案 C解析 当m=0时,数列是等差数列,但不是等比数列;当m≠0时,数列既是等差数列,又是等比数列.故选C.2.等比数列中,首项为,末项为,公比为,则项数是( )A.3 B.4 C.5 D.6答案 B解析 等比数列中的第二项为×=,第三项为×=,第四项为×=,故此等比数列的项数为4.知识点二 等比数列的通项公式3.一批设备价值a万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低b%,则n年后这批设备的价值为( )A.na(1-b%) B.a(1-nb%)C.a(1-b%)n D.a[1-(b%)n]答案 C解析 依题意可知第一年后的价值为a(1-b%),第二年后的价值为a(1-b%)2,依此类推形成首项为a(1-b%),公比为1-b%的等比数列,则可知n年后这批设备的价值为a(1-b%)n.故选C.4.(多选)下列通项公式可以作为等比数列通项公式的是( )A.an=(-1)n32n-1 B.an=C.an=2-n D.an=log2n答案 AC解析 对于A,an=(-1)n32n-1,==-9,是常数,成立;对于B,an=,=,不是常数,不成立;对于C,an=2-n,==,是常数,成立;对于D,an=log2n,=,不是常数,不成立.故选AC.5.已知一个等比数列的前4项之积为,第2项与第3项的和为,则这个等比数列的公比为________.答案 3±2或-5±2解析 设这4个数为a,aq,aq2,aq3(其中aq≠0),由题意,得所以所以=±,整理得q2-6q+1=0或q2+10q+1=0,解得q=3±2或q=-5±2.知识点三 等比数列的证明6.已知数列{an}的首项a1=t>0,an+1=,n∈N*,若t=,求证是等比数列并求出{an}的通项公式.解 由题意知an>0,==+,-1=,-1=,所以数列是首项为,公比为的等比数列.-1=n-1=,an=.知识点四 等比中项及应用7.若1,x,y,z,16这五个数成等比数列,则y的值为( )A.4 B.-4 C.±4 D.2答案 A解析 由于⇒y=4,故选A.8.若互不相等的实数a,b,c成等差数列,a是b,c的等比中项,且a+3b+c=10,则a的值是( )A.1 B.-1 C.-3 D.-4答案 D解析 由题意,得解得a=-4,b=2,c=8.9.已知一等比数列的前三项依次为x,2x+2,3x+3,那么-13是此数列的第________项.答案 4解析 由x,2x+2,3x+3成等比数列,可知(2x+2)2=x(3x+3),解得x=-1或-4,又当x=-1时,2x+2=0,这与等比数列的定义相矛盾.∴x=-4.∴该数列是首项为-4,公比为的等比数列,其通项an=-4×n-1,由-4×n-1=-13,得n=4.10.在等比数列{an}中,若a4a5a6=27,则a3与a7的等比中项是________.答案 ±3解析 由等比中项的定义知a=a4a6,∴a=27.∴a5=3,∴a1q4=3,∴a3a7=aq8=32,因此a3与a7的等比中项是±3. 一、选择题1.若等比数列{an}满足anan+1=16n,则公比为( )A.2 B.4 C.8 D.16答案 B解析 由anan+1=16n,知a1a2=16,a2a3=162,后式除以前式得q2=16,∴q=±4.∵a1a2=aq=16>0,∴q>0,∴q=4.2.在数列{an}中,a1=1,点(an,an+1)在直线y=2x上,则a4的值为( )A.7 B.8 C.9 D.16答案 B解析 ∵点(an,an+1)在直线y=2x上,∴an+1=2an.∵a1=1≠0,∴an≠0.∴{an}是首项为1,公比为2的等比数列,∴a4=1×23=8.3.一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列,其公比为( )A. B. C. D.答案 A解析 设这个数为x,则(50+x)2=(20+x)(100+x),解得x=25.∴这三个数分别为45,75,125,公比q为=.4.在如下表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则a+b+c的值为( )12 0.51 a b cA.1 B.2 C.3 D.答案 D解析 按题意要求,每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列填表如图,12340.511.520.250.50.7510.1250.250.3750.50.06250.1250.18750.25故a=,b=,c=,则a+b+c=.故选D.5.(多选)设数列{an}为等比数列,q为公比,则下面四个数列中,一定是等比数列的是( )A.{a} B.{pan}(p为非零常数)C.{an·an+1} D.{an+an+1}答案 ABC解析 对于A,因为=3=q3(常数),所以{a}是等比数列;对于B,因为==q(常数),所以{pan}是等比数列;对于C,因为==q2(常数),所以{an·an+1}是等比数列;对于D,当q=-1时,an+an+1=0,故此时{an+an+1}不是等比数列;当q≠-1时,因为===q(常数),所以{an+an+1}是等比数列.故选ABC.二、填空题6.一个直角三角形的三边成等比数列,则较小锐角的正弦值是________.答案 解析 设该直角三角形的三边分别为a,aq,aq2 (q>1),则(aq2)2=(aq)2+a2,∴q2=.较小锐角记为θ,则sinθ==.7.已知数列1,a1,a2,4成等差数列;1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值为________.答案 2.5解析 解法一:∵a1+a2=1+4=5,b=1×4=4且b2与1,4同号,∴b2=2,∴==2.5.解法二:设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q.∴1+3d=4,d=1,∴a2=2,a3=3,q4=4,∴q2=2,b2=q2=2.∴==2.5.8.各项均为正数的等比数列{an}中,a2-a1=1.当a3取最小值时,等比数列的公式q=________,此时数列{an}的通项公式an=________.答案 2 2n-1解析 由a2-a1=1,得a1(q-1)=1,所以a1=.a3=a1q2==(q>0),而-+=-2+, ①当q=2时①式有最大值,所以当q=2时a3有最小值4.此时a1===1.所以数列{an}的通项公式an=2n-1.三、解答题9.等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.解 (1)设{an}的公比为q,由已知得16=2q3,解得q=2,∴an=a1qn-1=2n.(2)由(1)得a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32,设{bn}的公差为d,则有解得从而bn=-16+12(n-1)=12n-28,∴数列{bn}的前n项和Sn==6n2-22n.10.数列{an}满足a1=-1,且an=3an-1-2n+3(n=2,3,…).(1)求a2,a3,并证明数列{an-n}是等比数列;(2)求an.解 (1)a2=3a1-2×2+3=-4,a3=3a2-2×3+3=-15.下面证明{an-n}是等比数列:证明:由an=3an-1-2n+3可得an-n=3[an-1-(n-1)],因为a1-1=-2≠0,所以an-n≠0,所以===3(n=1,2,3,…).又a1-1=-2,所以{an-n}是以-2为首项,3为公比的等比数列.(2)由(1)知an-n=-2·3n-1,所以an=n-2·3n-1.
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