高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第2课时课后复习题

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第2课时　等比数列的性质及应用知识点一  等比数列的性质的运用1.在等比数列{an}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则等于(　　)A.  B．C.或  D．－或－答案　C解析　在等比数列{an}中，a4·a14＝a7·a11＝6，　①又a4＋a14＝5，　②由①②组成方程组，得或∴＝＝或.故选C.2．一个等比数列中，前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有(　　)A．10项  B．11项 C．12项  D．13项答案　C解析　设该等比数列为{an}，由已知a1a2a3＝2，an－2·an－1an＝4及等比数列的性质，得(a1an)3＝8，所以a1an＝2.又因为a1a2a3…an＝64＝26＝(a1an)6，所以该数列有12项．故选C.3．若数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为－的等比数列，则a5等于(　　)A．－64  B．－32 C．32  D．64答案　C解析　∵数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为－的等比数列，∴a5＝a1××××＝1×(－)×(－)2×(－)3×(－)4＝(－)10＝32.知识点二  等比数列的综合问题4.一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了2个伙伴；第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴；……；如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂．答案　729解析　每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列{an}，a1＝3，q＝3，所以第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a6＝36＝729(只)．5．设等比数列{an}的公比为q，k∈N*，bn＝a(n－1)k＋1＋a(n－1)k＋2＋…＋ank(n＝1,2，…)，试判断数列{bn}是否是等比数列？如果是，求出其公比；如果不是，请说明理由．解　由bn＝a1q(n－1)k(1＋q＋…＋qk－1)，得bn＋1＝a1qnk(1＋q＋…＋qk－1)．①当1＋q＋…＋qk－1＝0，即当q＝－1且k为偶数时，bn＝0，此时，数列{bn}不是等比数列．②当1＋q＋…＋qk－1≠0时，＝＝qk(qk为常数)，此时，数列{bn}是首项为b1＝a1＋a2＋…＋ak，公比为qk的等比数列．6．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常数．(1)求a1及an；(2)若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．解　(1)由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1.经验证，n＝1时，上式也成立，∴an＝2kn－k＋1.(2)∵am，a2m，a4m成等比数列，∴a＝am·a4m.即(4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，整理，得mk(k－1)＝0.∵对任意的m∈N*成立，∴k＝0或k＝1.7．设关于x的一元二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1,2,3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.(1)试用an表示an＋1；(2)求证：数列是等比数列；(3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式．解　(1)根据根与系数的关系，有代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，得－＝3，所以an＋1＝an＋.(2)证明：因为an＋1＝an＋，所以an＋1－＝.所以数列是以为公比的等比数列．(3)当a1＝时，a1－＝，故数列是首项为，公比为的等比数列，所以an＝＋n(n＝1,2,3，…).知识点三  等差数列与等比数列的综合运用8.(多选)已知等比数列{an}，满足a1＝1，q＝2，则(　　)A．数列是等差数列B．数列是递减数列C．数列{log2an}是等差数列D．数列{log2an}是递减数列答案　BC解析　因为an＝2n－1，＝，＝＝，所以是公比为的等比数列，不是等差数列，故A不正确；由A可知，数列是首项为1，公比为的等比数列，所以是递减数列，故B正确；log2an＝n－1，log2an＋1－log2an＝n－(n－1)＝1，所以{log2an}是等差数列，故C正确；由C可知{log2an}是公差为1的等差数列，所以是递增数列，故D不正确．故选BC.9．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.答案　－6解析　由题意，知a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.∵a1，a3，a4成等比数列，∴a＝a1a4，∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，解得a1＝－8，∴a2＝－6.10．已知－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则＝________.答案　－1解析　解法一：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则有－7＋3d＝－1，－4×q4＝－1，解得d＝2，q2＝，8所以a2－a1＝d＝2，b2＝－4×q2＝－4×＝－2，所以＝＝－1.解法二：因为－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，所以a2－a1＝[(－1)－(－7)]＝2，因为－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，所以－4，b2，－1成等比数列，所以b＝(－4)×(－1)＝4，所以b2＝2或b2＝－2，由b＝－4×b2＞0知b2＜0，所以b2＝－2，所以＝＝－1.  一、选择题1．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15等于(　　)A．±2  B．±4 C．2  D．4答案　C解析　∵T13＝4T9，∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9，∴a10a11a12a13＝4，∵a10a13＝a11a12＝a8a15.∴(a8a15)2＝4，∴a8a15＝±2，又等比数列{an}是递减数列，∴q>0，{an}中各项同号，即a8a15＝2，故选C.2．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献. 十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　　)A.f  B．f C．f  D．f答案　D解析　由题意知，十三个单音的频率构成首项为f，公比为的等比数列，设该等比数列为{an}，则a8＝a1q7，即a8＝f，故选D.3．在数列{an}中，a1＝2，当n为奇数时，an＋1＝an＋2；当n为偶数时，an＋1＝2an－1，则a12等于(　　)A．32  B．34 C．66  D．64答案　C解析　依题意，a1，a3，a5，a7，a9，a11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a11＝a1×25＝64，a12＝a11＋2＝66.故选C.4．给定正数p，q，a，b，c，其中p≠q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2－2ax＋c＝0(　　)A．无实根B．有两个相等实根C．有两个同号相异实根D．有两个异号实根答案　A解析　∵p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，∴a2＝pq,2b＝p＋c,2c＝b＋q，b＋c＝p＋q.解得b＝，c＝；∴Δ＝(－2a)2－4bc＝4a2－4bc＝4pq－(2p＋q)(p＋2q)＝－p2－q2＋pq＝－(p2－2pq＋q2)＝－(p－q)2.又p≠q，∴－(p－q)2＜0，即Δ＜0，原方程无实根．故选A.5．(多选)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数，其中是“保等比数列函数”的为(　　)A．f(x)＝x2  B．f(x)＝2xC．f(x)＝  D．f(x)＝ln |x|答案　AC解析　由等比数列性质知anan＋2＝a，f(an)f(an＋2)＝aa＝(a)2＝f2(an＋1)，故A正确；f(an)f(an＋2)＝2an·2 an＋2＝2 an＋an＋2≠22 an＋1＝f2(an＋1)，故B不正确；f(an)f(an＋2)＝＝＝f2(an＋1)，故C正确；f(an)f(an＋2)＝ln |an|ln |an＋2|≠(ln |an＋1|)2＝f2(an＋1)，故D不正确．故选AC.二、填空题6．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．答案　8解析　设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.7．记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，已知am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m＝________.答案　4解析　∵am－1am＋1－2am＝0，由等比数列的性质可得，a－2am＝0，∵am≠0，∴am＝2.∵T2m－1＝a1a2·…·a2m－1＝(a1a2m－1)(a2a2m－2)…am＝aam＝a＝22m－1＝128，∴2m－1＝7，∴m＝4.8．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则a1＝________，满足an·an＋1·an＋2＞的最大正整数n的值为________．答案　8　4解析　∵a2·a4＝4＝a，且a3＞0，∴a3＝2.又a1＋a2＋a3＝＋＋2＝14，∴＝－3(舍去)或＝2，即q＝，a1＝8.又an＝a1qn－1＝8×n－1＝n－4，∴an·an＋1·an＋2＝3n－9＞，即23n－9＜9，∴n的最大值为4.三、解答题9．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．解　原式可化为∴或 ∴a3＝8，a5＝2，q＝或a5＝8，a3＝2，q＝2.∴当q＝时，a1＝32，an＝64×n＝26－n.当q＝2时，a1＝，an＝2n－2.10．如图所示，在边长为1的等边三角形A1B1C1中，连接各边中点得△A2B2C2，再连接△A2B2C2各边的中点得△A3B3C3，…，如此继续下去，试证明数列S△A1B1C1，S△A2B2C2，S△A3B3C3，…是等比数列．证明　由题意，得△AnBnCn(n＝1,2,3…)的边长AnBn是首项为1，公比为的等比数列，故AnBn＝n－1.因为△AnBnCn为等边三角形，所以S△AnBnCn＝×2n－2.所以＝＝.因此数列S△A1B1C1，S△A2B2C2，S△A3B3C3，…是等比数列．