2023新教材高中数学第4章概率与统计4.3统计模型4.3.2独立性检验对点练新人教B版选择性必修第二册

这是一份2023新教材高中数学第4章概率与统计4.3统计模型4.3.2独立性检验对点练新人教B版选择性必修第二册，共8页。
4.3.2　独立性检验知识点一  2×2列联表中数据的表示1. 如表是关于新生婴儿的性别与出生时间段调查的列联表，那么，A＝________，B＝________，C＝________，D＝________. 晚上白天总计男A4792女53BC总计D82180答案　45　35　88　98解析　A＝92－47＝45，D＝180－82＝98，B＝82－47＝35，C＝180－92＝88.知识点二  用2×2列联表估计概率2.通过随机询问120名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男女合计爱好452570不爱好203050总计6555120则爱好该项运动的概率估计为________，爱好该项运动且是女生的概率估计为________．答案　　解析　由2×2列联表可知，爱好该项运动的概率估计为＝，爱好该项运动且是女生的概率估计为＝.知识点三  利用χ2公式进行独立性检验3. 在吸烟与患气管炎这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是(　　)A．若χ2的观测值为k＝3.842，那么在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为吸烟与患气管炎有关系，那么在100个吸烟者中，必有95人患气管炎B．由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为吸烟与患气管炎有关系时，我们说某人吸烟，那么他有90%的可能患有气管炎C．若由独立性检验求出在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患气管炎有关系，是指有1%的可能性使得推断出现错误D．以上三种说法都不正确答案　C解析　χ2是检验吸烟与患气管炎相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法A不正确；说法B中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法C正确．4．某校对学生课外活动内容进行调查，结果整理成2×2列联表如下： 体育文娱总计男生212344女生62935总计275279试分析“喜欢体育还是喜欢文娱”与“性别”之间有关系吗？注：P(χ2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解　由公式χ2＝，得χ2≈8.106.因为χ2≈8.106> 7.879，所以我们在犯错误概率不超过0.005的前提下可以判定“喜欢体育还是喜欢文娱”与“性别”之间有关系.知识点四  独立性检验与统计的综合应用5. 某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计(满分150分)，其中120分(含120分)以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：   (1)根据以上两个直方图完成下面的2×2列联表：　　成绩性别　　优秀不优秀总计男生   女生   总计    (2)根据(1)中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别有关系？注：P(χ2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.(3)若从成绩在[130,140)的学生中任取2人，求取到的2人中至少有1名女生的概率．解　(1)　　成绩性别　　优秀不优秀总计男生131023女生72027总计203050(2)由(1)中表格的数据知，χ2＝≈4.844.∵χ2≈4.844>3.841，∴有95%以上的把握认为学生的数学成绩与性别有关系．(3)由题知，成绩在[130,140)范围内的男生有4人，女生有2人，故从中抽2人，取到的2人中至少有1名女生的概率为1－＝.  一、选择题1．在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力(　　)A．平均数与方差  B．回归分析C．独立性检验  D．概率答案　C解析　判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验．2．通过随机询问100名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下的2×2列联表： 男女总计走天桥402565走斑马线102535总计5050100χ2＝(n＝a＋b＋c＋d)．附表：P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828 参照附表，得到的正确结论是(　　)A．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”B．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “选择过马路的方式与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “选择过马路的方式与性别无关”答案　A解析　因为χ2＝≈9.890>6.635，所以有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”．故选A.3．假设有两个变量X与Y，它们的取值分别为x1，x2和y1，y2，其列联表如下： y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d以下各组数据中，对于同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为(　　)A．a＝50，b＝40，c＝30，d＝20B．a＝50，b＝30，c＝40，d＝20C．a＝20，b＝30，c＝40，d＝50D．a＝20，b＝30，c＝50，d＝40答案　D解析　当(ad－bc)2的值越大，随机变量χ2＝的值越大，可知X与Y有关系的可能性就越大．显然选项D中，(ad－bc)2的值最大．4．某科研机构为了研究中年人秃发与心脏病是否有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如表： 心脏病无心脏病秃发20300不秃发5450根据表中数据得到χ2＝≈15.968，因为χ2>6.635，则断定秃发与心脏病有关系，那么这种判断出错的可能性不超过(　　)A．0.1  B．0.05 C．0.025  D．0.01答案　D解析　因为χ2>6.635，由P(χ2>6.635)的临界值为0.01，故这种判断出错的可能性不超过0.01.故选D.5．(多选)对甲、乙两个班级学生的数学考试成绩按照优秀和不优秀统计人数后，得到列联表如下： 优秀不优秀总计甲班10b10＋b乙班c3030＋c总计10＋c30＋b40＋b＋c已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　)A．列联表中c的值为20，b的值为45B．列联表中c的值为15，b的值为50C．有95%以上的把握认为成绩与班级有关系D．没有95%以上的把握认为成绩与班级有关系答案　AC解析　由题意，知成绩优秀的学生人数是105×＝30，成绩不优秀的学生人数是105－30＝75，所以c＝20，b＝45，故A正确，B错误．因为χ2＝≈6.109>3.841，因此有95%以上的把握认为成绩与班级有关系，故C正确，D错误．故选AC.二、填空题6．某同学发现，中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人的邮箱名称里含有数字的比较少．为了研究邮箱名称里是否含有数字与国籍的关系，该同学随机收集了126个邮箱名称，其中中国人的64个，外国人的62个，中国人的邮箱名称中有43个含有数字，外国人的邮箱名称中有27个含有数字．那么在犯错误的概率不超过________的前提下，认为邮箱名称里是否含有数字与国籍有关．答案　1%解析　列联表如下： 中国人的邮箱名称外国人的邮箱名称总计有数字432770无数字213556总计6462126由表中数据，得χ2＝≈7.127.∵χ2>6.635，∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为邮箱名称里是否含有数字与国籍有关．7．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示： 喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100根据表中数据回答：有________的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．参考公式：χ2＝.参考数据：P(χ2≥k)0.250.150.100.050.0250.010k1.3232.0722.7063.8415.0246.635答案　95%解析　将2×2列联表中的数据代入计算公式，得χ2＝＝≈4.762.由于4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．8．某高校“初步统计”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：　　专业性别非统计专业统计专业男1310女720为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到χ2＝≈4.844，因为P(χ2≥3.841)≈0.05，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．答案　5%解析　χ2＝≈4.844＞3.841，∴判定这种判断出错的可能性为0.05＝5%.三、解答题9．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人．(1)根据以上数据列出2×2列联表；(2)估计该地区中，生活不规律者所占的比例；(3)可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关吗？为什么？解　(1)由已知可列2×2列联表如下： 患胃病未患胃病总计生活规律20200220生活不规律60260320总计80460540(2)该地区中，生活不规律者所占的比例约为＝.(3)根据列联表中的数据，由计算公式得χ2＝≈9.638.∵9.638＞6.635，因此，可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关．10．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表： 喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生ab＝5 女生c＝10d 合计  50已知在全部50人中随机抽取1人抽到爱打篮球的学生的概率为.(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关；请说明理由．附参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.P(χ2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解　(1)列联表补充如下： 喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20525女生101525合计302050(2)∵χ2＝≈8.333＞7.879，∴有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．