2023新教材高中数学第4章概率与统计单元质量测评新人教B版选择性必修第二册

这是一份2023新教材高中数学第4章概率与统计单元质量测评新人教B版选择性必修第二册，共11页。
第四章　单元质量测评　　时间：120分钟　　　满分：150分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设随机变量X的分布列为X1234P又设Y＝3X＋2，则E(Y)＝(　　)A．0  B． C．  D．答案　D2．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份x1234用水量y4.5432.5由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是 ＝－0.7x＋ ，则 等于(　　)A．10.5  B．5.15  C．5.2  D．5.25答案　D解析　＝＝2.5，＝＝3.5，∴3.5＝－0.7×2.5＋ ，解得 ＝5.25.3．若随机变量X的密度为f(x)＝，X在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的关系为(　　)A．p1＞p2  B．p1＜p2C．p1＝p2  D．不确定答案　C解析　由正态曲线的对称性及题意知，μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x＝0对称，所以p1＝p2.4．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是(　　)A．(0,0.4]  B．[0.4,1)C．(0,0.6]  D．[0.6,1)答案　B解析　设事件A在一次试验中发生的概率P＝x，则0<x<1.由题意得Cx1(1－x)3≤Cx2(1－x)2，解得x≥0.4，所以0.4≤x<1.5．若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，为将y转化为t的线性回归方程，需要进行变换，即令t＝(　　)A．x2  B．(x＋a)2C．2  D．ax＋b答案　C解析　由题意，知y＝a2＋.令t＝2，则y＝at＋，满足题意，故选C.6．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么概率是的事件为(　　)A．恰有1只是坏的  B．4只全是好的C．恰有2只是好的  D．至多有2只是坏的答案　C解析　X＝k表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．∴P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，故表示恰好有2只是好的．7．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　)A．  B． C．  D．答案　B解析　设A与B中至少有一个不闭合的事件为T，E与F至少有一个不闭合的事件为R，则P(T)＝P(R)＝1－×＝，所以灯亮的概率为P＝1－P(T)P(R)P() P()＝.8．某厂生产螺口灯泡和卡口灯泡两种灯泡，其中螺口灯泡的产量占70%，螺口灯泡的合格率是95%，卡口灯泡的合格率是85%.现随机取一只灯泡，发现是合格的，这支灯泡是螺口灯泡的概率约为(　　)A．0.665  B．0.723 C．0.7  D．0.737答案　B解析　设A1表示螺口灯泡，A2表示卡口灯泡，B表示合格品，则P(A1)＝0.7，P(A2)＝0.3，P(B|A1)＝0.95，P(B|A2)＝0.85，∵P(B|A1)＝，∴P(A1B)＝P(A1)P(B|A1)＝0.7×0.95＝0.665，P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.7×0.95＋0.3×0.85＝0.92，∴一只合格的灯泡是螺口灯泡的概率为P(A1|B)＝＝≈0.723.二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．下列说法中正确的是(　　)A．若r>0，则x增大时，y也相应增大B．若r<0，则x增大时，y也相应增大C．若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上D．|r|越小，则x与y的线性相关越强答案　AC解析　若r>0，表示两个相关变量正相关，x增大时，y也相应增大，故A正确．r<0，表示两个变量负相关，x增大时，y相应减小，故B错误．|r|越接近1，表示两个变量相关性越高，|r|＝1表示两个变量有确定的关系(即函数关系)，故C正确．|r|越小，表示两变量之间的线性相关越弱，|r|越大，表示两变量之间的线性相关越强，故D错误．故选AC.10．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以A1，A2，A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是(　　)A．事件B与事件A1相互独立B．A1，A2，A3是两两互斥的事件C．P(B)＝D．P(B|A1)＝答案　BD解析　乙罐取出的球是红球的事件与前面是否取出红球相关，A错误；A1，A2，A3两两不可能同时发生，B正确；P(B)＝×＋×＝，C错误；P(B|A1)＝＝＝，D正确．故选BD.11．设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是 (　　)A．P(Y≥μ2)>P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)>P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)D．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)答案　BD解析　由正态分布密度曲线可知，x＝μ1为X曲线的对称轴，x＝μ2为Y曲线的对称轴，μ1＜μ2，所以P(Y≥μ2)＝＜P(Y≥μ1)，故A错误；由正态分布密度曲线可知，0＜σ1＜σ2，所以P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，故B正确；对任意正数t，P(X＞t)＜P(Y＞t)，即有P(X≥t)＜P(Y≥t)，故C错误；对任意正数t，P(X＞t)＜P(Y＞t)，因此有P(X≤t)≥P(Y≤t)，故D正确．故选BD.12．春节期间，“履行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表： 做不到“光盘”能做到“光盘”男4510女3015附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．P(χ2≥k)0.100.050.025k2.7063.8415.024参照附表，得到的正确结论是(　　)A．做不到“光盘”的居民的概率估计为B．能做到“光盘”且为女性居民的概率估计为C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D．有99%的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”答案　ABC解析　做不到“光盘”的居民的概率估计为＝，A正确；能做到“光盘”且为女性居民的概率估计为＝，B正确；由2×2列联表得到a＝45，b＝10，c＝30，d＝15，则a＋b＝55，c＋d＝45，a＋c＝75，b＋d＝25，ad＝675，bc＝300，n＝100，代入χ2＝得χ2＝≈3.030，∵2.706＜3.030＜3.841.∴有90%的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”，即在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”，故C正确，D错误．故选ABC.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，则这个正态总体的均值为________．答案　1解析　正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x＝1对称，所以正态总体的均值为1.14．某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个，则甲通过自主招生初试的概率为________；记甲答对试题的个数为X，则X的数学期望E(X)＝________.答案　　3解析　依题意，甲能通过的概率为P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝＋＝.由于P(X＝2)＝＝，故E(X)＝2×＋3×＋4×＝3.15．已知甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，若目标被击中，则它是被甲击中的概率是________．答案　0.75解析　令事件A，B分别表示甲、乙两人各射击一次击中目标，由题意可知P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，令事件C表示目标被击中，则C＝A∪B，则P(C)＝1－P()·P()＝1－0.4×0.5＝0.8，所以P(A|C)＝＝＝0.75.16．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得k≈3.918，经查对临界值表P(χ2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．(把你认为正确的都填上)①在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，则他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.答案　①解析　查对临界值表知P(χ2≥3.841)＝0.05，故有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；95%仅是指“血清能起到预防感冒的作用”的可信程度，但也有“在100个使用血清的人中一个患感冒的人也没有”的可能，故①正确，其余都错误．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为，乙投篮一次命中的概率为.每人各投4个球，两人投篮是否命中互不影响．(1)求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率；(2)若规定每投篮一次命中得3分，未命中得－1分，求乙所得分数η的分布列和数学期望．解　(1)设“甲至多命中1个球”为事件A，“乙至少命中1个球”为事件B，由题意得，P(A)＝4＋C×13＝＋＝，P(B)＝1－4＝1－＝，故甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.(2)乙所得分数η的所有可能取值为－4,0,4,8,12，则P(η＝－4)＝4＝，P(η＝0)＝C×13＝，P(η＝4)＝C×22＝＝，P(η＝8)＝C×31＝，P(η＝12)＝4＝.故η的分布列为η＝k－404812P(η＝k) 数学期望E(η)＝－4×＋0×＋4×＋8×＋12×＝.18．(本小题满分12分)现在要对某个学校今年将要毕业的900名高三学生进行乙型肝炎病毒检验，可以利用两种方法：①对每个人的血样分别化验，这时共需要化验900次；②把每个人的血样分成两份，取其中m个人的血样各一份混合在一起作为一组进行化验，如果结果为阴性，那么对这m个人只需进行这一次化验就够了；如果结果为阳性，那么再对这m个人的另一份血样逐个化验，这时对这m个人一共需要m＋1次化验．据统计报道，对所有人来说，化验结果为阳性的概率为0.1.(1)求当m＝3时，一个小组经过一次化验就能确定化验结果的概率是多少？(2)试比较在第二种方法中，m＝4和m＝6哪种分组方法所需要的化验次数更少一些？解　(1)当m＝3时，一个小组有3个人，经过一次化验就能确定化验结果是指经过一次化验，结果为阴性，所以概率为P＝(1－0.1)3＝0.729.(2)当m＝4时，一个小组有4个人，这时每个人需要化验的次数是一个随机变量η1，其分布列为η1P0.941－0.94所以E(η1)＝×0.94＋×(1－0.94)≈0.59.当m＝6时，一个小组有6个人，这时每个人需要化验的次数是一个随机变量η2，其分布列为η2P0.961－0.96所以E(η2)＝×0.96＋×(1－0.96)≈0.64.由于E(η2)>E(η1)，因此当每4个人一组时所需要的化验次数更少一些．19．(本小题满分12分)一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共11只，现在盒子上开一小孔，每次只能飞出1只昆虫(假设任意1只昆虫等可能地飞出)．若有2只昆虫先后任意飞出(不考虑顺序)，则飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是.(1)求盒子中蜜蜂有几只；(2)若从盒子中先后任意飞出3只昆虫(不考虑顺序)，记飞出蜜蜂的只数为X，求随机变量X的分布列与数学期望E(X)．解　(1)设“2只昆虫先后任意飞出，飞出的是蝴蝶或蜻蜓”为事件A，盒子中蜜蜂为x只，则由题意，得P(A)＝＝，所以(11－x)(10－x)＝42，解得x＝4或x＝17(舍去)，故盒子中蜜蜂有4只．(2)由(1)知，盒子中蜜蜂有4只，则X的取值可为0,1,2,3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.故X的分布列为X0123P数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 20．(本小题满分12分)已知一个口袋中有m个白球，n个黑球(m，n∈N＋，n≥2)，这些球除颜色外完全相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，…，m＋n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k＝1,2,3，…，m＋n)．123…m＋n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，证明：E(X)＜.解　(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p＝＝.(2)证明：随机变量X的概率分布为X……P……随机变量X的期望为E(X)＝·＝·.所以E(X)＜＝＝(1＋C＋C＋…＋C)＝(C＋C＋C＋…＋C)＝(C＋C＋…＋C)＝…＝(C＋C)＝＝，即E(X)＜.21．(本小题满分12分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差x(℃)101113128发芽数y(颗)2325302616该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程 ＝ x＋ ；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得到的线性回归方程是否可靠？解　(1)设抽到不相邻的两组数据为事件A，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，其中数据为12月份的日期数．每种情况都是等可能出现的，事件A包括的基本事件有6种．所以P(A)＝＝.所以选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是.(2)由数据，求得＝12，＝27.由公式，求得 ＝， ＝－ ＝－3.所以y关于x的线性回归方程为 ＝x－3.(3)当x＝10时， ＝×10－3＝22，|22－23|<2；同样，当x＝8时， ＝×8－3＝17，|17－16|<2；所以该研究所得到的回归方程是可靠的．22．(本小题满分12分)为了调查一款电视机的使用时间，研究人员对该款电视机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：并对不同年龄层的市民对这款电视机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示： 愿意购买该款电视机不愿意购买该款电视机总计40岁及以上800 100040岁以下 600 总计1200  (1)根据图中的数据，试估计该款电视机的平均使用时间；(2)根据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关；(3)若按照电视机的使用时间进行分层抽样，从使用时间在[0,4)和[4,20]的电视机中抽取5台，再从这5台中随机抽取2台进行配件检测，求被抽取的2名电视机的使用时间都在[4,20]内的概率．附：χ2＝，P(χ2≥k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828解　(1)依题意，所求平均数为2×0.2＋6×0.36＋10×0.28＋14×0.12＋18×0.04＝0.4＋2.16＋2.8＋1.68＋0.72＝7.76.(2)依题意，完善表中的数据如下表所示： 愿意购买该款电视机不愿意购买该款电视机总计40岁及以上800200100040岁以下4006001000总计12008002000故χ2＝≈333.33>10.828； 故有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关．(3)依题意，使用时间在[0,4)内的有1台，使用时间在[4,20]内的有4台，则随机抽取2台，所有的情况共C＝10种，其中满足条件的共C＝6种，故所求概率P＝＝.