高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用第2课时精练

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第2课时　函数的单调性(2)知识点一  函数变化快慢的判断1.若函数y＝f′(x)在区间(x1，x2)上是单调递减函数，则函数y＝f(x)在区间(x1，x2)上的图象可以是(　　)答案　B解析　若函数y＝f′(x)在区间(x1，x2)上是单调递减函数，当f′(x)>0时，|f′(x)|越来越小，即y＝f(x)递增得越来越慢，其图象上升得越来越平缓，故选B.2.已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如右图所示，则f(x)的图象只可能是(　　)答案　D解析　从f′(x)的图象可以看出，在区间上，导数单调递增；在区间上，导数单调递减．即函数f(x)的图象在区间上越来越陡，在区间上越来越平缓，由此可知，只有D符合.知识点二  已知函数单调性求参数的值或取值范围3.函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是(　　)A．[3，＋∞)  B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞)  D．(－∞，－3)答案　B解析　∵f(x)＝x3＋ax－2，∴f′(x)＝3x2＋a.∵由已知，f′(x)≥0在区间(1，＋∞)上恒成立，∴a≥－3x2在区间(1，＋∞)上恒成立，∴a≥－3.4．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，2)，则b＝__________，c＝__________.答案　－　－6解析　f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1<x<2是不等式f′(x)<0的解，即－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个根，因此b＝－，c＝－6.5．已知f(x)＝2ax－，若f(x)在x∈(0,1]上是增函数，则a的取值范围为________．答案　[－1，＋∞)解析　由已知得f′(x)＝2a＋.∵f(x)在(0,1]上单调递增，∴f′(x)≥0，即a≥－在x∈(0,1]上恒成立，而g(x)＝－在(0,1]上单调递增，∴g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1.6．已知函数f(x)＝2ax3＋4x2＋3x－1在R上是增函数，求实数a的取值范围．解　f′(x)＝6ax2＋8x＋3.∵f(x)在R上是增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立，即6ax2＋8x＋3≥0在R上恒成立，∴解得a≥.经检验，当a＝时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．∴当a≥时，f(x)在R上单调递增.知识点三  构造函数解不等式7.若定义在R上的函数y＝f(x)满足f′(x)>f(x)，则当a>0时，f(a)与eaf(0)的大小关系为(　　)A．f(a)<eaf(0)  B．f(a)>eaf(0)C．f(a)＝eaf(0)  D．不能确定答案　B解析　令F(x)＝，则F′(x)＝＝>0，从而F(x)＝在R上单调递增，于是当a>0时，F(a)＝>F(0)＝＝f(0)，即f(a)>eaf(0)．8．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意的x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式exf(x)>ex＋1的解集是(　　)A．{x|x>0}B．{x|x<0}C．{x|x<－1或x>1}D．{x|x<－1或0<x<1}答案　A解析　构造函数g(x)＝exf(x)－ex－1，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]．由已知f(x)＋f′(x)>1，可得g′(x)>0，所以g(x)为R上的增函数．又g(0)＝e0f(0)－e0－1＝0，所以exf(x)>ex＋1，即g(x)>0的解集为{x|x>0}．9．(多选)已知函数f(x)＝xln x，若0<x1<x2，则下列结论正确的是(　　)A．x2f(x1)<x1f(x2)B．x1＋f(x1)<x2＋f(x2)C.<1D．当ln x>－1时，x1f(x1)＋x2f(x2)>2x2f(x1)答案　AD解析　令g(x)＝＝ln x，∵g(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴当0<x1<x2时，g(x1)<g(x2)，∴<，即x2f(x1)<x1f(x2)，A正确；令g(x)＝f(x)＋x＝xln x＋x，∴g′(x)＝ln x＋2，∴当x∈(e－2，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(0，e－2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减．∴x1＋f(x1)与x2＋f(x2)无法比较大小，B错误；令g(x)＝f(x)－x＝xln x－x，∴g′(x)＝ln x，∴当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)在(0,1)上单调递减，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴当0<x1<x2<1时，g(x1)>g(x2)，∴f(x1)－x1>f(x2)－x2，∴f(x1)－f(x2)>x1－x2，∴<1.当1<x1<x2时，g(x1)<g(x2)，∴f(x1)－x1<f(x2)－x2，∴f(x1)－f(x2)<x1－x2，∴>1，C错误；∵ln x>－1时，f(x)单调递增，又A正确，∴x1f(x1)＋x2f(x2)－2x2f(x1)>x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]＝(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，D正确．故选AD.知识点四  含参数的函数的单调区间10.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)设函数f(x)在区间上是减函数，求a的取值范围．解　(1)f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，f′(x)＝3x2＋2ax＋1，令f′(x)＝0，即3x2＋2ax＋1＝0，则Δ＝4a2－12＝4(a2－3)．当a2≤3时，Δ≤0，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增；当a2>3时，由f′(x)＝0求得两根为x＝，即f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．(2)由(1)可得解得a≥2，即a的取值范围为[2，＋∞)．  一、选择题1．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　)A．(－∞，－2]  B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)  D．[1，＋∞)答案　D解析　因为f(x)＝kx－ln x，所以f′(x)＝k－.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，f′(x)＝k－≥0恒成立，即k≥在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以0<<1，所以k≥1.故选D.2．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－)∪[，＋∞)B．[－，]C．(－∞，－)∪(，＋∞)D．(－，)答案　B解析　由题意得f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，∴Δ＝4a2－12≤0，∴－≤a≤ .3．设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)A．1＜a≤2  B．a≥4C．a≤2  D．0＜a≤3答案　A解析　∵f(x)＝x2－9ln x，∴f′(x)＝x－(x＞0)．令x－≤0，解得0＜x≤3，即函数f(x)在(0,3]上是减函数，∴a－1＞0且a＋1≤3，解得1＜a≤2.4．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g(x)恒不为0，当x<0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，且f(3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)答案　D解析　令F(x)＝，则F(x)为奇函数，F′(x)＝.∵当x<0时，F′(x)>0，∴F(x)在(－∞，0)上为增函数．又F(3)＝＝0，∴F(－3)＝0.∴当x<－3时，F(x)<0；当－3<x<0时，F(x)>0.又F(x)为奇函数，∴当0<x<3时，F(x)<0；当x>3时，F(x)>0.而不等式f(x)g(x)<0和<0为同解不等式(g(x)恒不为0)，∴不等式f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．5．(多选)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且(x＋1)f′(x)－f(x)<x2＋2x对x∈(0，＋∞)恒成立．则下列结论正确的是(　　)A．2f(2)－3f(1)>5B．若f(1)＝2，x>1，则f(x)>x2＋x＋C．f(3)－2f(1)<7D．若f(1)＝2,0<x<1，则f(x)>x2＋x＋答案　CD解析　设函数g(x)＝，则g′(x)＝＝.因为(x＋1)f′(x)－f(x)<x2＋2x，所以g′(x)<0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递减，从而g(1)>g(2)>g(3)，整理得2f(2)－3f(1)<5，f(3)－2f(1)<7，故A错误，C正确；若f(1)＝2，因为g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以当0<x<1时，g(x)>g(1)＝，即>，即f(x)>x2＋x＋，当x>1时，g(x)<g(1)＝，即<，即f(x)<x2＋x＋，故B错误，D正确．故选CD.二、填空题6．函数f(x)＝xln (ax)(a<0)的单调递减区间为________．答案　解析　∵f(x)＝xln (ax)(a<0)，∴f′(x)＝x′ln (ax)＋x[ln (ax)]′＝ln (ax)＋x·＝ln (ax)＋1.令f′(x)<0，得ln (ax)<－1，∴ax<，又a<0，∴x>，且原函数定义域为(－∞，0)，∴f(x)的单调递减区间为.7．已知函数f(x)＝x2－cosx，x∈，则满足f(x0)>f的x0的取值范围为________．答案　∪解析　f′(x)＝2x＋sinx，当x∈时，f′(x)≥0，所以f(x)在上单调递增，由f(x0)>f，知<x0≤，因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以－≤x0<－也满足条件．8．定义运算＝ad－bc，若函数f(x)＝的单调递减区间是(0,2)，则实数m＝________.答案　－3解析　由题意可知f(x)＝(x2－1)(x＋m)－1×(－x)＝x3＋mx2－x－m＋x＝x3＋mx2－m.∴f′(x)＝3x2＋2mx，∵函数f(x)的单调递减区间是(0,2)，∴－＝2，解得m＝－3.三、解答题9．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间[1,4]上为减函数，在区间[6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．解　f′(x)＝x2－ax＋a－1，由f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，对于任意的x∈(1，＋∞)，f′(x)＞0，即函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，不符合题意；当a－1＞1，即a＞2时，函数f(x)在(－∞，1]和[a－1，＋∞)上单调递增，在[1，a－1]上单调递减，依题意[1,4]⊆[1，a－1]且[6，＋∞)⊆[a－1，＋∞)，从而4≤a－1≤6，故5≤a≤7.综上，实数a的取值范围为[5,7]．10．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x，a≠0.(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．解　(1)因为h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ax－2.因为h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解，即a>－有解．设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min即可．而G(x)＝2－1，所以G(x)min＝－1，所以a>－1.(2)因为h(x)在[1,4]上单调递减，所以当x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥－恒成立．所以a≥G(x)max.而G(x)＝2－1.因为x∈[1,4]，所以∈.所以G(x)max＝－(此时x＝4)．所以a≥－.