高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用第1课时课时作业

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5．3.2　函数的极值与最大(小)值第1课时　函数的极值知识点一  函数极值的概念1.关于函数的极值，下列说法正确的是(　　)A．导数为零的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值、一个极小值D．若f(x)在区间(a，b)上有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数答案　D解析　易知选项A，B，C均不正确；对于D，不妨设x0是f(x)在区间(a，b)上的极小值点，则在x0附近，当x<x0时，f(x)>f(x0)，当x>x0时，f(x)>f(x0)，故在x0附近函数f(x)不单调，即f(x)在区间(a，b)内不是单调函数，故选D.2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　)答案　C解析　由题意可得f′(－2)＝0，而且当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，此时xf′(x)>0，排除B，D；当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)>0，此时若x∈(－2,0)，xf′(x)<0，若x∈(0，＋∞)，xf′(x)>0，所以函数y＝xf′(x)的图象可能是C.知识点二  求函数的极值3.(多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)A．函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增B．函数f(x)在(1,2)上单调递减C．函数f(x)有极大值f(1)D．函数f(x)有极小值f(2)答案　ABD解析　当x<－2时，1－x>0，(1－x)f′(x)>0，则f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当－2<x<1时，1－x>0，(1－x)f′(x)<0，则f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当1<x<2时，1－x<0，(1－x)f′(x)>0，则f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x>2时，1－x<0，(1－x)f′(x)<0，则f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)有极大值f(－2)，有极小值f(2)．故选ABD.4．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为(　　)A.，0  B．0，C．－，0  D．0，－答案　A解析　f′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0，得解得∴f(x)＝x3－2x2＋x.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，得x＝或x＝1，易得当x＝时，f(x)取极大值；当x＝1时，f(x)取极小值0.知识点三  已知函数极值求参数5.已知函数f(x)＝asin2x－(a＋2)cosx－(a＋1)x在上无极值，则a＝________.答案　2解析　函数f(x)的导数为f′(x)＝acos2x＋(a＋2)sinx－a－1＝a(1－2sin2x)＋(a＋2)sinx－a－1＝－2asin2x＋(a＋2)sinx－1＝－(2sinx－1)(asinx－1)．当sinx＝，即x＝∈时，f′(x)＝0.所以要使f(x)在上无极值，则a＝2.6．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．解　(1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x，∴f′(x)＝＋2bx＋1.由题意可知f′(1)＝f′(2)＝0，∴解方程组得a＝－，b＝－.(2)由(1)，知f(x)＝－ln x－x2＋x，则f′(x)＝－x－1－x＋1.当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1,2)时，f′(x)>0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0.故在x＝1处函数f(x)取得极小值.在x＝2处函数f(x)取得极大值－ln 2.∴x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点．7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，求f(2)的值．解　f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由题意，得即解得或当a＝4，b＝－11时，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－∞，－－－，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值显然函数f(x)在x＝1处取极小值，符合题意，此时f(2)＝18.当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，∴f(x)没有极值，不符合题意．综上可知f(2)＝18.  一、选择题1．已知函数y＝f(x)，x∈R有唯一的极值，且x＝1是f(x)的极小值点，则(　　)A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≤0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≤0答案　C解析　由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数是左负右正，又函数f(x)，x∈R有唯一的极值，故当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0.2．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)A．－4  B．－2 C．4  D．2答案　D解析　由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以a＝2.3．函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则x＋x等于(　　)A.  B． C．  D．答案　C解析　由图象可得f(x)＝0的根为0,1,2，故d＝0，f(x)＝x(x2＋bx＋c)，则1,2为x2＋bx＋c＝0的根，由根与系数的关系得b＝－3，c＝2，故f(x)＝x3－3x2＋2x，则f′(x)＝3x2－6x＋2，由图可得x1，x2为3x2－6x＋2＝0的根，则x1＋x2＝2，x1x2＝，故x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝.4．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是(　　)A．a＝0或a＝21  B．0≤a≤21C．a<0或a>21  D．0<a<21答案　B解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，因为f(x)在R上不存在极值，则Δ＝4a2－84a≤0，解得0≤a≤21.5．(多选)函数f(x)＝ax3－bx2＋cx的图象如图所示，且f(x)在x＝x0与x＝1处取得极值，给出下列判断，其中正确的判断是(　　)A．c>0B．a<0C．f(1)＋f(－1)>0D．函数y＝f′(x)在区间(0，＋∞)上是增函数答案　CD解析　f′(x)＝3ax2－2bx＋c＝3a(x－x0)(x－1)，由图可知x>1时，f(x)为增函数，可知f′(x)>0，所以有a>0，B错误；又由f′(x)＝3ax2－2bx＋c＝3a(x－x0)(x－1)＝3ax2－3a(1＋x0)x＋3ax0，所以有2b＝3a(1＋x0)，c＝3ax0，因为x0<－1<0，所以c＝3ax0<0，A错误；因为x0<－1<0，所以有1＋x0<0，所以f(1)＋f(－1)＝－2b＝－3a(1＋x0)>0，C正确；因为f′(x)＝3ax2－2bx＋c开口向上，对称轴为x＝＝＝(1＋x0)<0，所以函数y＝f′(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，D正确．二、填空题6．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋6，其导数f′(x)的图象如图所示，则函数的极小值是________．答案　6解析　依题意f′(x)＝3ax2＋2bx.由题图象可知，当x<0时，f′(x)<0，当0<x<2时，f′(x)>0，故x＝0时函数f(x)取极小值f(0)＝6.7．已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为________．答案　解析　∵f′(x)＝x2－x＋c且f(x)有极值，∴f′(x)＝0有不等的实数根，即Δ＝1－4c>0，解得c<.8．已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．答案　解析　由题知，x>0，f′(x)＝ln x＋1－2ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f′(x)＝0有两个不等的正根，即函数y＝ln x＋1与y＝2ax的图象有两个不同的交点(x>0)，则a>0；设函数y＝ln x＋1上任一点(x0，1＋ln x0)处的切线为l，则kl＝y′＝，当l过坐标原点时，＝⇒x0＝1，令2a＝1⇒a＝，结合图象(略)知0<a<.三、解答题9．已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处有极值，且极大值为4，极小值为0，试确定a，b，c的值．解　f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，于是f′(x)＝5ax2(x2－1)．①当a>0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，0)0(0,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0－0＋f(x) 极大值无极值极小值由表可知又5a＝3b，解得a＝3，b＝5，c＝2.②当a<0时，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2.10．已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．解　因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1.所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0.所以由f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.作出f(x)的大致图象如图所示．因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(－3,1)．