高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用第3课时课后测评

第3课时　函数的最大(小)值(2)

知识点一  利用导数求解函数的零点或方程的根的问题

1.若a>2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰好有(　　)

A．0个零点  B．1个零点

C．2个零点  D．3个零点

答案　B

解析　∵f′(x)＝x2－2ax，且a>2，∴当x∈(0,2)时，f′(x)<0，即f(x)在(0,2)上是减函数．又f(0)＝1>0，f(2)＝－4a<0，∴f(x)在(0，2)上恰好有1个零点，故选B.

2．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．

答案　(－∞，2ln 2－2]

解析　由原函数有零点，可将问题转化为方程ex－2x＋a＝0有解问题，即方程a＝2x－ex有解．

令函数g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，得x＝ln 2，所以g(x)在(－∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数，所以g(x)的最大值为g(ln 2)＝2ln 2－2.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以，a∈(－∞，2ln 2－2]．

3．已知函数f(x)＝＋－3，F(x)＝ln x＋－3x＋2.

(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性；

(2)判断函数F(x)在(0，＋∞)上零点的个数．

解　(1)f′(x)＝－＋＝，

令f′(x)>0，解得x>1，令f′(x)<0，解得0<x<1，

所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．

(2)F′(x)＝＋－3＝f(x)，

由(1)得∃x1，x2满足0<x1<1<x2，

使得f(x)在(0，x1)上大于0，在(x1，x2)上小于0，在(x2，＋∞)上大于0，即F(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增．

而F(1)＝0，x→0时，F(x)→－∞；

x→＋∞时，F(x)→＋∞，

画出函数F(x)的草图，如图所示．

故F(x)在(0，＋∞)上的零点有3个.

知识点二  导数在解决实际问题中的应用

4.把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为(　　)

A．2  B．4

C．6  D．8

答案　D

解析　设其中一段长为x，则另一段长为16－x，则两个正方形面积之和为S(x)＝2＋2(0<x<16)，则S′(x)＝2··＋2··＝(x－8)．令S′(x)＝0，得x＝8.当0<x<8时，S′(x)<0；当8<x<16时，S′(x)>0.∴x＝8是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．

∴当x＝8时，S(x)取最小值，S(x)最小＝S(8)＝8，即两个正方形面积之和的最小值是8，故选D.

5．圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径之比为(　　)

A．2∶1  B．1∶2

C．1∶4  D．4∶1

答案　A

解析　设其体积为V，高与底面半径分别为h，r，则V＝πr2h，即h＝.由题意，知当表面积S最小时所用材料最省．S＝2πr2＋2πrh＝2πr2＋2πr·＝2πr2＋.令S′＝4πr－＝0，得r＝，当r＝时，h＝＝，则h∶r＝2∶1时，所用材料最省．

6．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．

答案　115

解析　利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000，S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大．即每件商品的定价为115元时，利润最大．

7．某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln (x＋b)(a>0，b>0)．已知投资额为零时收益为零．

(1)求a，b的值；

(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．

参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1.

解　(1)由投资额为零时收益为零，

可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6ln b＝0，

解得a＝2，b＝1.

(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln (x＋1)．

设投入经销B商品的资金为x万元(0<x≤5)，

则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，

设所获得的收益为S(x)万元，

则S(x)＝2(5－x)＋6ln (x＋1)＝6ln (x＋1)－2x＋10(0<x≤5)．

S′(x)＝－2，令S′(x)＝0，得x＝2.

当0<x<2时，S′(x)>0，函数S(x)单调递增；

当2<x≤5时，S′(x)<0，函数S(x)单调递减．

所以当x＝2时，函数S(x)取得最大值，

S(x)max＝S(2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．

所以当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元.

一、选择题

1．函数f(x)＝＋sinx的图象大致是(　　)

答案　C

解析　显然函数f(x)为奇函数，排除B.又f′(x)＝＋cosx，可知f′(x)有无数个零点，因此函数f(x)有无数个极值点，排除A.又当x是一个比较小的正数时，f(x)＝＋sinx>0，排除D.故选C.

2．设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则y＝f(x)(　　)

A．在区间，(1，e)内均有零点

B．在区间，(1，e)内均无零点

C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点

D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点

答案　D

解析　f′(x)＝－＝，令f′(x)＝0，得x＝3，当0<x<3时，f′(x)<0，所以函数f(x)在区间(0,3)上为减函数．又f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，f＝＋1>0，所以y＝f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．

3．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品数是(　　)

A．100  B．150

C．200  D．300

答案　D

解析　设总成本为C，总利润为P，

由题意，总成本为C＝20000＋100x，

所以总利润为

P＝R－C＝

P′＝令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．

4．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，则四角截去的正方形的边长为(　　)

A．6 cm  B．8 cm

C．10 cm  D．12 cm

答案　B

解析　设四角截去的小正方形边长为x cm，则V＝(48－2x)2x＝4x3－4×48x2＋482x(0<x<24)，V′＝12x2－8×48x＋482＝12(x2－8×4x＋48×4)＝12(x－24)(x－8)．当0<x＜8时，V′＞0；当8＜x＜24时，V′＜0，∴V在x＝8处取最大值，故选B.

5．(多选)已知函数f(x)＝sinx＋x3－ax，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)是奇函数

B．若f(x)是增函数，则a≤1

C．当a＝－3时，函数f(x)恰有两个零点

D．当a＝3时，函数f(x)恰有两个极值点

答案　ABD

解析　因为f(x)＝sinx＋x3－ax，则f(－x)＝sin(－x)＋(－x)3－a(－x)＝－sinx－x3＋ax＝－f(x)，A正确；

若f(x)为增函数，则f′(x)＝cosx＋3x2－a≥0恒成立，

故a≤cosx＋3x2恒成立，

令g(x)＝cosx＋3x2，则可得g(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，

故当x＝0时，g(x)取得最小值g(0)＝1，

所以a≤g(x)min＝1，B正确；

当a＝－3时，f(x)＝sinx＋x3＋3x为奇函数，且f(0)＝0，

当x>0时，f′(x)＝cosx＋3x2＋3>0恒成立，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

根据奇函数的对称性可知函数在(－∞，0)上单调递增，

故f(x)在R上单调递增，f(0)＝0，即只有一个零点，C错误；

当a＝3时，f(x)＝sinx＋x3－3x为奇函数，故先考虑x>0时，函数极值的存在情况，

f′(x)＝cosx＋3x2－3，令φ(x)＝cosx＋3x2－3，

则φ′(x)＝6x－sinx.

再令H(x)＝6x－sinx，则H′(x)＝6－cosx.

因为当x>0时，H′(x)>0，所以函数H(x)在(0，＋∞)上单调递增，即H(x)>H(0)＝0，即x>0时，φ′(x)>0，故当x>0时，φ(x)＝cosx＋3x2－3单调递增，即f′(x)单调递增，且f′(0)＝－2<0，f′(1)＝cos1>0，

故存在x0∈(0,1)，使得f′(x0)＝0，

因此，当0<x<x0时，f′(x)<0，函数单调递减，

当x>x0时，f′(x)>0，函数单调递增，

故x＝x0为函数f(x)在x>0时的唯一的极小值，

根据奇函数的对称性可知，当x<0时，存在极大值，故D正确．故选ABD.

二、填空题

6．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为________．

答案　20 km/h

解析　设轮船的速度为x km/h时，燃料费用为Q元，

则Q＝kx3(k≠0)．

因为6＝k×103，所以k＝，所以Q＝x3.

所以行驶每千米的费用总和为

y＝·＝x2＋(x＞0)．

所以y′＝x－.令y′＝0，解得x＝20.

因为当x∈(0,20)时，y′＜0，此时函数单调递减；

当x∈(20，＋∞)时，y′＞0，此时函数单调递增，

所以当x＝20时，y取得最小值，即此轮船以20 km/h的速度行驶时，每千米的费用总和最小．

7．已知函数f(x)＝－a有两个零点，则实数a的取值范围是________．

答案　(e，＋∞)

解析　由函数f(x)＝－a有两个零点，f′(x)＝，

易得f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

故x＝1是函数的极小值点，也是最小值点，

且f(1)＝e－a<0，故a>e，所以a的取值范围是(e，＋∞)．

8．若函数f(x)＝2x2－8ln x－14x－m有唯一零点，则实数m的值为________．

答案　－16ln 2－24

解析　已知函数f(x)＝2x2－8ln x－14x－m有唯一零点，f′(x)＝4x－－14＝，x>0，

当x>4时，f′(x)>0，函数单调递增；当0<x<4时，f′(x)<0，函数单调递减，故当x＝4时，

函数取得极小值f(4)＝－16ln 2－24－m，

若f(x)＝2x2－8ln x－14x－m有唯一零点，

则－16ln 2－24－m＝0，所以m＝－16ln 2－24.

三、解答题

9．已知f(x)＝2ln (x＋a)－x2－x在x＝0处取得极值．

(1)求实数a的值；

(2)若关于x的方程f(x)＋b＝0的区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．

解　(1)f′(x)＝－2x－1，当x＝0时，f(x)取得极值，

所以f′(0)＝0，解得a＝2，检验知a＝2符合题意．

(2)令g(x)＝f(x)＋b＝2ln (x＋2)－x2－x＋b，

则g′(x)＝－2x－1＝－(x>－2)．

g(x)，g′(x)在(－2，＋∞)上的变化状态如下表：

由上表可知函数在x＝0处取得极大值，极大值为2ln 2＋b.

要使f(x)＋b＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，

只需

即

所以－2ln 2<b≤2－2ln 3.

故实数b的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3]．

10．某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为：y＝x3－x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．

(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少耗油量为多少升？

解　(1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了＝2.5(时)，耗油×2.5＝17.5(升)．

答：当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．

(2)当汽车的速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了时，设耗油量为h(x)升．

依题意，得h(x)＝·＝x2＋－(0<x≤120)，

h′(x)＝－＝(0<x≤120)，

令h′(x)＝0，得x＝80.

当x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；

当x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数．

故当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25.

因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．

答：当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少耗油量为11.25升．