2022-2023学年四川省遂宁市高二下学期期末数学（文）试题含答案

2022-2023学年四川省遂宁市高二下学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由复数的乘法运算以及共轭复数的定义即可求解.

【详解】由得，所以的共轭复数为，

故选：A

2．命题“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据全称命题的否定为特称命题判断即可.

【详解】根据全称命题的否定可得，命题“，”的否定为

“，”.

故选：C

3．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.

【详解】，

所以，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

4．设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数图象得出单调性，然后判断导函数的正负即可选出答案.

【详解】由函数的图象，知

当时，是单调递减的，所以；

当时，先递减，后递增，最后递减，所以先负后正，最后为负．

故选：B．

5．已知抛物线的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（   ）

A．10 B．16 C．11 D．26

【答案】C

【分析】根据抛物线的定义转化为到抛物线准线的距离求解即可.

【详解】记抛物线的准线为，作于，由抛物线的定义知，

所以，当，，三点共线时，有最小值，最小值为．

故选：C

6．执行如图所示的算法框图，则输出的l的值为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】根据框图逐步运算求解即可.

【详解】开始，

①，为否；

②，为否；

③，为否；

④，为是；输出.

故选：B

7．“燃脂单车”运动是一种在音乐的烘托下，运动者根据训练者的指引有节奏的踩踏单车，进而达到燃脂目的的运动，由于其操作简单，燃脂性强，受到广大健身爱好者的喜爱.已知某一单车爱好者的骑行速度v（单位：km/h）随时间t（单位：h）变换的函数关系为，，则该单车爱好者骑行速度的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，求出函数的最小值，即可得解.

【详解】因为，，

所以，所以时，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以.

故选：C

8．短道速滑队6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内)进行冬奥会选拔，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若是真命题，是假命题，是真命题，则选拔赛的结果为(    )

A．甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名 B．甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名

C．甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名 D．甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名

【答案】D

【分析】根据或且非命题真假判断即可.

【详解】若是真命题，是假命题，则p和q一真一假；

若是真命题，则q是假命题，r是真命题；

综上可知，p真q假r真，故“甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名”.

故选：D.

9．已知圆，若双曲线的一条渐近线与圆C相切，则（    ）

A． B． C． D．8

【答案】C

【分析】求出圆心和半径，及双曲线的渐近线，由相切关系列出方程，求出答案.

【详解】变形为，故圆心为，半径为1，

的渐近线方程为，

不妨取，由点到直线距离公式可得，解得，负值舍去.

故选：C

10．若函数的最小值是，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求时函数的最小值，再根据函数的最小值，得时，，求出m的取值范围.

【详解】当时，，，

，，单调递减，

，，单调递增，，

因为的最小值为，所以当时，，

当时，.

①若，在上单调递减，

，，得；

②若，在上单调递减，在上单调递增，，舍去.

综上.

故选：B.

11．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，利用不等式的性质以及导数求解单调性即可两两比较求解.

【详解】令，

由于，

因此，

故，

令，

故在单调递增，，

即，

所以，因此，

故选：D

12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点M是椭圆C上任意一点，且的取值范围为．当点M不在x轴上时，设的内切圆半径为m，外接圆半径为n，则mn的最大值为（    ）．

A． B． C． D．1

【答案】C

【分析】由的取值范围为可求出，由正弦定理可得，再由焦点三角形的等面积法可得，所以，求出即可得出答案.

【详解】，

，所以，

所以，解得：，

设，

由正弦定理可得：，

，

可得：，

又因为，

设内切圆的圆心为A，所以，

所以，所以，

又因为当在短轴的端点时，最大，此时，，

，所以，

故当时，mn取得最大值为.

故选：C.

二、填空题

13．设是虚数单位，则复数的模为          

【答案】

【分析】根据模长公式即可求解.

【详解】,

故答案为：

14．已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是          ．

【答案】且

【分析】根据方程表示椭圆有，即可得范围.

【详解】由方程表示椭圆，则，可得且.

故答案为：且

15．设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为          ．

【答案】/

【分析】根据双曲线方程求出、、，再由双曲线的定义求出、，最后由余弦定理计算可得.

【详解】因为双曲线，则，，所以，

因为为双曲线右支上一点，所以，又，

所以，，，

由余弦定理，

即，解得，又，

所以.

故答案为：

16．函数图象在点处切线斜率为2，，若在上恒成立，则实数的最大值为      

【答案】0

【分析】根据切线斜率可得，进而将问题转化为在上恒成立，构造函数，即可利用换元法，由导数求解函数的最值即可求解.

【详解】由得，由题意可得，

由得在上恒成立，

记，

令，则在时恒成立，所以在时单调递增，故，

则， ，

令，得，在单调递增，令，得，在单调递减，

所以

因此所以的最大值为0，

故答案为：0

三、解答题

17．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，其中.

(1)求的普通方程与直线的直角坐标方程；

(2)直线与曲线交于A，两点，且A，两点对应的极角分别为，，求的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用参数方程、极坐标方程、普通方程的转化即可得出结果；

（2）先将的极坐标方程写出，再与联立解方程，由图象分析即可得出结果.

【详解】（1）由得，

消去得为的普通方程；

由，得，

令，，得为直线的直角坐标方程.

（2）在中，令，，

所以，即为的极坐标方程，

联立得，

所以，所以，又，所以，

所以或或或，解得或或或，

由图可知，两交点位于第一、四象限，所以或，

所以.

18．分别求适合下列条件的方程：

(1)长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；

(2)经过点的抛物线的标准方程.

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）根据长轴和焦距的定义求出a、c，进而求出b，即可求解；

（2）设抛物线方程为或，将点P坐标代入，即可求解.

【详解】（1）设椭圆的长轴长为，焦距为

由条件可得.所以.

所以，

当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为；

当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为.

（2）当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，

将点的坐标代入抛物线的标准方程得，

此时，所求抛物线的标准方程为；

当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，

将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，

此时，所求抛物线的标准方程为.

综上所述，所求抛物线的标准方程为或.

19．已知函数的图象过点，且在点P处的切线恰好与直线垂直．

(1)求函数的解析式；

(2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】(1)将点坐标代入函数解析式得到关于的方程，再根据函数在切点处的导数等于切线的斜率再建立关于的另一个方程，即可求出，即可确定函数的解析式; (2)求出函数的单调区间，利用可求解.

【详解】（1）因为函数的图象过点,所以,

又因为,且点P处的切线恰好与直线垂直,

所以,

由解得,所以.

（2）由(1)知，

令，即，解得或，

令，即，解得，

所以在单调递增，单调递减，

单调递增，

根据函数在区间上单调递增，

则有或，解得或.

20．根据交管部门有关规定，驾驶电动自行车必须佩戴头盔，保护自身安全，某市去年上半年对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口去年连续5个月监控设备抓拍到的电动自行车驾驶员不戴头盔的统计数据：

(1)请利用所给数据求不戴头盔人数与月份之间的回归直线方程；

(2)交管部门统计连续5年来通过该路口的电动车出事故的100人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？

参考数据和公式：，

【答案】(1)；

(2)有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关

【分析】（1）先求得，进而求得不戴头盔人数与月份之间的回归直线方程；

（2）求得的值并与进行大小比较进而得到是否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关.

【详解】（1）由题意知， ， ，

  ，

所以，回归直线方程为

（2）

故有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关

21．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，为椭圆上一点，面积最大值为.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线与椭圆相交于两点，若轴，垂足为.求证：直线的斜率；

(3)为椭圆的右顶点，若过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，为坐标原点.问：轴上是否存在定点，使得恒成立.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)存在

【分析】（1）先求得，然后求得，从而求得椭圆的方程.

（2）设，求得的坐标，进而求得直线的斜率.

（3）设直线l为且，并与椭圆方程联立，化简写出判别式和根与系数关系，由列方程，化简求得的坐标.

【详解】（1）双曲线的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标为，则，

又椭圆中，由于，

所以面积最大值，故，则，

所以椭圆的方程为：.

（2）设，由于直线过原点，则，.

所以直线的斜率.

（3）由题设，可设直线l为且，联立椭圆方程，

整理得：，

则，

所以，即且，

所以，，

若存在使恒成立，则，

由椭圆对称性，不妨令在轴上方且，显然，

所以，即，

所以，

即，

综上，，

所以，存在使恒成立.

22．已知函数（e是自然对数的底数）.

(1)当时，求的极值点；

(2)讨论函数的单调性；

(3)若有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)极小值点为，无极大值点.

(2)答案见解析

(3)

【分析】（1）求导即可得函数单调性进而可求极值点，

（2）根据和两种情况，即可根据导数正负求解单调性，

（3）将式子变形为有两个零点，构造函数，求导即可结合零点存在性定理求解.

【详解】（1）当时，,则.

当时，，此时函数递减，当时，，此时函数递增，

所以极小值点为，无极大值点.

（2）求导

①当时，，在上递增

②当时，

当时，，在上递减，

当时，，此时函数在上递增.

（3）等价于有两个零点，

令，则在时恒成立，所以在时单调递增，故，

所以有两个零点，等价于有两个零点.

因为 ，

①当时，，在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意舍去，

②当时，令，得，单调递增，令，得，单调递减，

所以.

若，得，此时恒成立，没有零点；

若，得，此时有一个零点.

若，得，因为，，，

所以在，上各存在一个零点，符合题意，

综上，的取值范围为.

【点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题判断函数零点个数的常用方法：

(1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个；

(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；

(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.