2022-2023学年四川省遂宁市安居育才中学校高中部高二下学期期末校考数学（文）试题含答案

2022-2023学年四川省遂宁市安居育才中学校高中部高二下学期期末校考数学（文）试题

一、单选题

1．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】直接写出存在量词命题的否定即可.

【详解】命题“”的否定是“”.

故选：D.

2．已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由共轭复数的概念求解即可.

【详解】∵与互为共轭复数，

∴.

故选：D.

3．设，则“”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】由得或，因此“若，则”是真命题，“若，则”是假命题，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

4．下列有关回归分析的说法中不正确的是（    ）

A．回归直线必过点

B．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线

C．当相关系数时，两个变量正相关

D．如果两个变量的线性相关性越弱，则就越接近于

【答案】B

【分析】根据线性回归直线的性质可判断选项AB；根据相关系数的性质可判断CD，进而可得正确选项.

【详解】对于A选项，回归直线必过点，A对；

对于B选项，线性回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，B错；

对于C选项，当相关系数时，两个变量正相关，C对；

对于D选项，如果两个变量的线性相关性越弱，则就越接近于，D对.

故选：B.

5．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出y的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据程序框图运行即可求解.

【详解】因为成立，所以运行，即，

所以输出的y的值是.

故选：A

6．点极坐标为，则它的直角坐标是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据极坐标与直角坐标互化原则直接求解即可.

【详解】由点的直角坐标为，则，，

则点的直角坐标为.

故选：C.

7．已知下列四个命题，其中正确的个数有（    ）

① ，  ② ， ③ ， ④.

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

【答案】A

【分析】根据求导公式及运算律，简单复合函数导数逐项求导验证即可

【详解】因为,所以①错,

因为,所以②错,

因为,所以③错.

因为,所以④错,

故选：A.

8．下面几种推理过程是演绎推理的是（    ）

A．由等边三角形、等腰三角形的内角和是180°，推测所有三角形的内角和都是180°

B．由三角形的两边之和大于第三边，推测四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积

C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分

D．在数列中，，，算出由此得出的通项公式为

【答案】C

【分析】根据合情推理与演绎推理的定义，可得答案.

【详解】对于A，是从特殊到一般的推理，属于归纳推理，是合情推理，故A错误；

对于B，是从特殊到特殊的推理，为类比推理，属于合情推理，故B错误；

对于C，为三段论，是从一般到特殊的推理，是演绎推理，故C正确；

对于D，为不完全归纳推理，属于合情推理，故D错误；

故选：C.

9．已知双曲线的两条渐近线方程为，则其离心率为（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【分析】讨论双曲线的焦点位置，根据渐近线方程得的值，再根据离心率公式可得结果.

【详解】当双曲线的焦点在轴上时，由渐近线方程可知，

所以离心率.

当双曲线的焦点在轴上时，由渐近线方程可知，

所以离心率.

故选：D

10．已知函数在上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求导，由单调性得到在上恒成立，由二次函数数形结合得到不等关系，求出m的取值范围.

【详解】，

因为在上为单调递增函数，

所以在上恒成立，

令，

要满足①，或②，

由①得：，由②得：，

综上：实数m的取值范围是.

故选：D

11．设函数,对任意,若,则下列式子成立的是(    )

A．  B．  C． D．

【答案】C

【分析】由题意得函数是区间上的偶函数，利用导数确定在上的单调性，进而结合偶函数的性质即可求解．

【详解】，

故函数是区间上的偶函数，

，

当，，所以，

则函数在区间上单调递增，

所以．

故选：C．

12．已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】要使最小，则需最大，根据抛物线的定义可得，，然后整理换元转化为二次函数求最值.

【详解】如图，设圆心为，则为抛物线的焦点，

该抛物线的准线方程为，设，

由抛物线的定义得，要使最小，则需最大，

如图，最大时，经过圆心，且圆的半径为1，

，且，

所以，令，则，

所以，由，

而，

得，取得最小值，则的最小值为．

故选：B．

【点睛】方法点睛：求圆上的动点到一定点的距离之和最大（小）转化为求圆心到定点的距离的加半径（减半径）.

二、填空题

13．抛物线的焦点坐标为         ．

【答案】

【分析】根据抛物线的标准方程求解.

【详解】解：因为抛物线方程为，

所以，焦点坐标为，

故答案为：

14．已知i是虚数单位，复数满足，则      .

【答案】

【分析】化简复数，再由复数的模长公式求解即可.

【详解】因为，所以，

所以.

故答案为：.

15．某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如下表所示，其中，且，若有的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则的所有可能取值个数是          个

附：，其中.

【答案】6

【分析】由列联表及卡方公式列不等式求范围，结合题设即可确定值的可能个数.

【详解】，解得，

因为且，

所以或或或或或.

故答案为：6

16．已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围           .

【答案】

【分析】先求得函数为定义域上的偶函数，且在为递减函数，把不等式的恒成立，转化为，进而得到且在上恒成立，分别设函数和，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.

【详解】由函数的定义域为关于原点对称，

又由，

所以函数为定义域上的偶函数，

所以，

即不等式可化为，

当时，函数

根据初等函数的单调性，可得函数为单调递减函数，

所以函数在上单调递增，在区间上单调递减，

由，可得，整理得且，

即且在上恒成立，

设，可得，其中，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以.

设，可得，

当时，，所以，

综上可得，实数的取值范围为.

故答案为：.

三、解答题

17．已知集合和非空集合

(1)若，求；

(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解集合A中的不等式，得到集合A，求出时集合B，再求；

（2）问题转化为是的真子集，由此列不等式组求出实数m的取值范围．

【详解】（1）不等式解得，则有，

当时，，.

（2）因为“”是“”的必要不充分条件，故是的真子集，

则有，由于等号不能同时成立，故，

所以实数的取值范围.

18．已知函数，

(1)求函数在点处的切线方程；

(2)求函数的单调区间.

【答案】(1)；

(2)递减区间为和，递增区间为.

【分析】（1）根据导数的几何意义结合条件即得；

（2）根据导数与函数的单调性的关系即得.

【详解】（1）因为，所以，

，

切点为，

所求切线的斜率为，

所求切线的点斜式方程是，即：；

（2）因为

当时，解得或，

当时，得，

当时，得，

所以函数的单调递减区间为和，单调递增区间为.

19．某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业，产品主要应用于森林消防、物流运输、航空测绘、军事侦察等领域，获得市场和广大观众的一致好评，该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用．该公司分别收集了甲、乙两种类型无人运输机在5个不同的地点测试的某项指标数，，数据如下表所示：

(1)试求y与x间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；（若，则线性相关程度很高）

(2)从这5个地点中任抽2个地点，求抽到的这2个地点，甲型无人运输机指标数均高于乙型无人运输机指标数的概率．

附：相关公式及数据：，．

【答案】(1)0.95，y与x具有较强的线性相关关系

(2)．

【分析】（1）利用相关系数的公式计算求解，判断即可．

（2）由列举法并利用古典概型求概率

【详解】（1），，

所以，

由于，

相关系数，

因为，所以y与x具有较强的线性相关关系．

（2）将地点1，2，3，4，5分别记为A，B，C，D，E，任抽2个地点的可能情况有，，，，，，，，，，共10种情况，

其中在地点3，4，5，甲型无人运输机指标数均高于乙型无人运输机指标数，即，，3种情况，

故所求概率为．

20．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)求曲线和直线的直角坐标方程；

(2)若曲线和直线相交于两点，求.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）消去参数即可得到直线l的直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标的转化关系，即可将C由极坐标方程转化为直角坐标方程；

（2）结合（1）中结论设出直线l的参数方程，将其代入到圆的直角坐标方程中，利用韦达定理求出，，从而利用参数的几何意义即可求出.

【详解】（1）由直线l的参数方程为（ t为参数），消去参数可得，

因为曲线C的极坐标方程为，所以，

故由可得，即，

所以曲线直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为.

（2）易知直线过定点，斜率为，即倾斜角为，

所以设直线的参数方程为（为参数），

将直线代入得，则，

设两点对应的参数为，故，，

所以.

21．已知椭圆经过点，离心率为，点A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点，.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若以P，Q为直径的圆恒过点A，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标.

【答案】(1)

(2)证明见解析；定点

【分析】（1）根据条件直接建立的方程，求出，从而求出结果；

（2）讨论直线斜率存在与不存在两种情况，先求出直线斜率不存在时的直线方程，当斜率存在时，设出直线方程，并与椭圆方程联立，运用韦达定理结合条件得与的关系，从而求出直线过定点.

【详解】（1）由题意知： ，可得： ，

则椭圆的标准方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，设，联立，解得，所以，，又，

所以由，解得或（舍去），此时直线方程为，

当直线的斜率存在时，设，

联立，消得到.

由得，，由韦达定理知，，，因为以P，Q为直径的圆恒过点，

由，

将，代入整理得，即，所以或 ，

当时，直线为，此时直线过点，不合题意，舍去，

当时，直线为，此时直线过定点

综上，直线恒过定点.

22．已知函数.

(1)若，求函数的极值点；

(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；

(3)若函数有三个不同的极值点、、，且，求实数a的取值范围.

【答案】(1)1

(2)

(3)

【分析】（1）首先求函数的导数，并判断函数的单调性，即可求函数的极值点.

（2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围.

（3）首先根据有个不同的极值点求得的一个范围，然后化简不等式，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围.

【详解】（1）当时，，，

当时，，时，，

所以函数在区间单调递增，在区间单调递减，

所以函数在处取得极大值，函数的极值点为1；

（2）函数的定义域为，不等式恒成立，

即在上恒成立，

记，则，

得到在区间上单调递减，

在上单调递增，

则，即在区间上恒成立，

分离变量知：在上恒成立，则，

，

由前面可知，当时，恒成立，即，

所以在区间上单调递减，

在区间上单调递增，

所以，所以．

（3），

设曲线图象上任意一点，

所以曲线在点处的切线方程为，

将代入得，故切点为，

过的切线方程为，

所以直线和曲线相切，并且切点坐标为，

所以当且仅当时，方程有两个不相等的实根，，并且，

从而当时，有三个极值点，，，并且，，，

取对数知：，，即，，

则

．

构造，

在时恒成立，

则在区间上单调递增，且，

从而的解为，

综上所述．

【点睛】求解不等式恒成立问题，可考虑利用分离常数法，然后构造函数，利用导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等，从而求得参数的取值范围.当一次求导无法求得单调区间时，可考虑二次求导等方法来进行求解.