2022-2023学年四川省绵阳市高二下学期期末数学（理）试题含答案

这是一份2022-2023学年四川省绵阳市高二下学期期末数学（理）试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省绵阳市高二下学期期末数学（理）试题 一、单选题1．复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据复数乘法的运算法则得到，然后判断象限即可.【详解】，所以复数在复平面内对应的点为，在第二象限.故选：B.2．命题 “”，则p为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据全称命题的否定形式求解.【详解】命题 “”为全称命题，其否定为特称命题，即p：.故选：C3．袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，则与是（    ）A．相互独立事件 B．不相互独立事件C．互斥事件 D．对立事件【答案】A【分析】根据相互独立事件的含义即可判断.【详解】由题意可得表示第二次摸到的不是黑球,即表示第二次摸到的是白球,由于采用有放回地摸球,故每次是否摸到白球互不影响,故事件与是相互独立事件，由于与可能同时发生，故不是互斥事件也不是对立事件.故选：A.4．的展开式中，项的系数为（    ）A． B．1C．6 D．12【答案】C【分析】求出的通项，令，即可得出答案.【详解】的通项为：，令，解得：，则项的系数为.故选：C.5．函数的大致图像为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用排除法，先利用函数值正负的分布判断B错误，再利用特殊值判断D错误,根据极值点确定C错误，即得答案.【详解】函数中，，当时,,看图像知B选项错误；函数中，，当时,, 看图像知D选项错误；解得，故为函数的极值点，故C选项不符合，A选项正确. 故选：A.6．若函数，则“”是“函数在上为减函数”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由已知条件将问题转化为在上恒成立，求出的范围.再由充分条件、必要条件的定义，判断即可得解.【详解】因为在上为减函数，所以在上恒成立.即在上恒成立，解得.又是的必要不充分条件，所以“”是“函数在上为减函数”的必要不充分条件.故选：B.7．已知命题：随机变量的方差，则：命题：已知两个不同平面的法向量分别为，若，则．则下列命题中的真命题是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据方差的性质和面面垂直的向量证明可知命题的真假性，根据含逻辑联结词的命题真假性的判断方法可得到结果.【详解】命题：，则命题为假命题；命题：由可得，，则命题为真命题；对于A，为假命题，A错误；对于B，为假命题，为假命题，B错误；对于C，为真命题，为真命题，C正确；对于D，为假命题，为假命题，D错误.故选：C.8．第31届世界大学生夏季运动会，将于2023年7月28日在成都举办，是中国西部第一次举办世界性综合运动会．某高校有甲，乙，丙，丁，戊5名翻译志愿者去参加A，B，C，D，E，五个场馆的服务工作，每人服务一个场馆且每个场馆需要一人．由于特殊原因甲不去A场馆，乙不去场馆，则不同的安排方法有（    ）A．120种 B．96种C．78种 D．48种【答案】C【分析】先进行5人全排列，再减五考虑将甲去A场馆，乙去B场馆，最后加回甲去A场馆，同时乙去B场馆，即可.【详解】先将五人全排列放入五个场馆，共有种方法，再考虑将甲去A场馆，其他四个人全排列，共有种方法，乙去B场馆，其他四个人全排列，共有种方法，而甲去A场馆，同时乙去B场馆，共有种方法，所以满足要求的方法有种.故选：C9．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．或【答案】A【分析】求导后，将问题转化为在上有两个不同的零点，根据二次函数零点分布可构造不等式组求得结果.【详解】由题意知：定义域为，，令，有两个不同的极值点，在上有两个不同的零点，，解得：.故选：A.10．在四棱锥中，底面是菱形，平面，为棱上的一动点．则线段长度的最小值为（    ）A．3 B．C． D．【答案】D【分析】利用数形结合，结合条件及三角形面积公式，即可求解.【详解】由题意可知，平面，平面，所以，，且是菱形，所以，，所以，根据余弦定理，，则,所以，当时，最短，此时即，得.所以线段长度的最小值为.故选：D11．甲、乙两名游客慕名来到四川旅游，准备分别从九寨沟、峨眉山、海螺沟、都江堰、青城山这5个景点中随机选一个．事件：甲和乙选择的景点不同，事件：甲和乙恰好有一人选择九寨沟．则条件概率（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用古典概率公式求出和的概率，再利用条件概率公式即可求出结果.【详解】由题知，，，所以，故选：A.12．已知，使得成立，其中为常数且，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】取，对求导，得到的单调性，则可判断A，B；将题意转化为，对求导，得到的单调性和最值，即可判断C，D.【详解】取，则，，令，解得：，令，解得：，令，解得：，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，成立，此时，，故A，B错误；，使得成立，即证明，，，令，解得：，令，解得：，令，解得：，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以，故C正确；D错误.故选：C.【点睛】方法点睛：本题的解题关键是将题意转化为，对求导，得到的单调性，即可求出，即可得证. 二、填空题13．已知复数满足（为虚数单位），则         ．【答案】【分析】先求出复数，然后直接根据复数模的定义求解即可.【详解】由于，所以，所以.故答案为：.14．若，则         ．（用数字作答）【答案】【分析】分别令和，所得两式作差即可整理得到结果.【详解】令，则；令，则，两式作差得：，.故答案为：.15．过点作曲线的切线，则切线方程为         ．【答案】【分析】设出切点坐标，根据坐标表示出切线的斜率，然后把切点的横坐标代入到曲线的导函数中得到切线的斜率，两者相等即可求出切点的横坐标，代入到曲线解析式得到切点的纵坐标和切线的斜率，根据点斜式写出切线方程即可.【详解】因为点不在曲线上，设切点，且，则，①又，则切线斜率为，②由①②解得，，所以，切线的斜率为，切线方程为，即.故答案为：.16．已知函数在上为减函数，命题为假命题，则的最大值为         ．【答案】2【分析】根据给出的函数得到，，进而得到，然后利用放缩法验证不符合题意，进而得到答案.【详解】因为函数在上为减函数，且，所以，，即，，所以，所以，即时，一定满足题意，此时由知，的最大值为2；下验证不符合题意，如图：在直角坐标系中作出单位圆，，的终边与单位圆交于P，  的正弦线为有向线段MP，则，因为，，又.所以，即．所以，即时原命题为真命题，不符合.故答案为：2【点睛】方法点睛：本题考查三角函数的综合问题.三角函数问题要善用数形结合的方法，通过已知条件的转化进而求解答案.． 三、解答题17．某学校为筑牢校园安全防线，提升学生安全意识，举办了一次知识竞赛，以学生团队为单位参加比赛，每个团队每题作答正确得分，错误得分，已知甲队回答题库中三类相关知识题目正确率如下表：题目类别交通安全消防安全防溺水正确率(1)若甲队抽到交通安全、消防安全各一道题目，求甲队作答这两道题目后得分不低于分的概率；(2)已知甲队抽到道题目，且类别均不相同，设甲队在作答完这道题目后的总分为，求的分布列及数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析；数学期望 【分析】（1）得分不低于分有两题全对和两题一对一错的情况，根据概率加法和独立事件概率乘法公式可计算得到结果；（2）确定所有可能的取值，结合独立事件概率乘法公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望值.【详解】（1）设答对交通安全题目、答对消防安全题目的事件分别为，，两道题目回答得分不低于分的事件为，则，该队两道题目回答得分不低于分的概率为.（2）由题意知：所有可能的取值为，；；；；则的分布列为：数学期望.18．如图，二面角的大小为，四边形与均为正方形，，，记．  (1)请用表示，并求；(2)求异面直线与所成角的余弦值．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用向量的线性运算表示，然后利用向量数量积的公式求出即可；（2）利用向量的模长公式求出，然后利用向量数量积的公式求出两个向量夹角的余弦值即可.【详解】（1）由已知得：，，∴，∴（2）四边形与均为正方形，平面平面,所以即二面角的大小为，且∴，∴===，∴异面直线AB与PQ所成角的余弦值为．19．已知函数，当时，取得极小值，且．(1)求函数的解析式；(2)讨论函数在的零点个数．【答案】(1)(2)见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，代入和 ，即可求解；（2）首先求函数的零点，再讨论的取值，结合函数在区间上的单调性，即可讨论函数的零点个数.【详解】（1）因为，所以，∵时，有极小值，∴，即，即.当时，，令，即，令，即或，∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极小值，符合题目条件.又，所以，∴.（2）由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，令，得，，①当时，则在上单调递增，，∴在上无零点；②当时，则，则在上仅有一个零点，③当时，在上单调递减，，∴在上有两个零点；综上所述，当时，在上无零点；当时，在上仅有一个零点；当时，在上有两个零点．20．如图，在多面体中，平面平面平面和均为正三角形，，点为棱上一点．  (1)求证：平面；(2)若为中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）直接利用直线与平面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，进而可求解.【详解】（1）取AC中点O，连接DO、OB，在正△ACD和正△ABC中，，∴，，，而平面平面，平面平面，平面，平面，∴平面，平面，又平面，所以，而．∴四边形是平行四边形，所以，而平面，平面，∴平面．（2）由（1）知，OB，OC，OD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，  则，，，，，∴，，显然平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，令，得，，∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．21．已知函数．(1)当时，求的单调性；(2)若在上存在最小值，求实数的取值范围．【答案】(1)在，上单调递增(2) 【分析】（1）求导后，令，再利用导数可求得，由此可确定，进而得到单调性；（2）求导后，令，求得后，分别在和的情况下，根据的正负确定单调性，并得到的零点，由此可得正负，从而得到单调性，根据函数有最小值可确定符合题意的的取值范围.【详解】（1）由题意知：的定义域为，；令，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，恒成立，在，上单调递增.（2）当时，；令，则，①当时，在上恒成立，在上单调递增，，即，在上单调递增，此时在上不存在最小值，不合题意；②当时，若，；若，；在上单调递减，在上单调递增，又，，，令，则，令，则，在上单调递增；，在上单调递增，令，则，在上单调递减；在上单调递增，，，使得，且当时，，即；当时，，即；在上单调递减，在上单调递增，，即存在最小值；综上所述：实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性、根据函数有最值求解参数范围的问题；根据函数有最值求解参数范围的关键是能够将问题转化为对于含参数函数单调性的讨论问题，通过单调性和极值、最值的关系可确定符合题意的参数取值范围.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，其中.(1)求的普通方程与直线的直角坐标方程；(2)直线与曲线交于A，两点，且A，两点对应的极角分别为，，求的值.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用参数方程、极坐标方程、普通方程的转化即可得出结果；（2）先将的极坐标方程写出，再与联立解方程，由图象分析即可得出结果.【详解】（1）由得，消去得为的普通方程；由，得，令，，得为直线的直角坐标方程.（2）在中，令，，所以，即为的极坐标方程，联立得，所以，所以，又，所以，所以或或或，解得或或或，由图可知，两交点位于第一、四象限，所以或，所以.23．已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若的最小值为2，且，求的最小值．【答案】(1)(2)9 【分析】（1）根据零点分区间，分类求解即可，（2）根据绝对值三角不等关系可得，进而结合基本不等式即可求解.【详解】（1）当时，等价于，当时，，则，当时，，则，当时，，则，综上所述，不等式的解集为．（2），当且仅当等号成立，，即，，，，当且仅当，即，即，时，等号成立，故的最小值为9