2022-2023学年四川省泸州市高二下学期期末数学（文）试题含答案

2022-2023学年四川省泸州市高二下学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．命题“，”的否定是（    ）．

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】根据全称命题的否定分析判断.

【详解】由题意可知：命题“，”的否定是“，”.

故选：A.

2．复数z满足，则（    ）．

A． B．2 C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算求出复数，再结合共轭复数的意义、复数加法求解作答.

【详解】依题意，，则，

所以.

故选：B

3．某保险公司为客户定制了A，B，C，D，E共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：

用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（    ）．

A．57周岁以上参保人数最少

B．18～30周岁人群参保总费用最少

C．C险种更受参保人青睐

D．31周岁以上的人群约占参保人群80％

【答案】B

【分析】根据扇形图、散点图、频率图对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，57周岁以上参保人数所占比例是，是最少的，A选项正确.

B选项，“18～30周岁人群参保平均费用”比“57周岁以上人群参保平均费用”的一半还多，

而18～30周岁人群参保人数所占比例是57周岁以上参保人数所占比例的两倍，

所以57周岁以上参保人群参保总费用最少，B选项错误.

C选项，C险种参保比例，是最多的，所以C选项正确.

D选项，31周岁以上的人群约占参保人群，D选项正确.

故选：B

4．在区间上随机选取一个数M，执行如图所示的程序框图，且输入x的值为2，然后输出n的值为N，则的概率为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据程序框图分析可得，再结合几何概型运算求解.

【详解】因为，则，可得；

因为，则，可得；

因为，则，输出，即；

所以的概率.

故选：C.

5．已知条件p：函数在区间上单调递增，条件，则p是q的（    ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求出条件的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】函数的单调递增区间是，依题意，，

因此，解得，显然，

所以p是q的充分不必要条件.

故选：A

6．某企业为了研究某种产品的销售价格（元）与销售量（千件）之间的关系，通过大量市场调研收集得到以下数据：

其中某一项数据※丢失，只记得这组数据拟合出的线性回归方程为：，则缺失的数据a是（    ）

A．33 B．35 C．34 D．34.8

【答案】C

【分析】由于线性回归直线一定过样本中心点，所以将样本中心点坐标代入可求得结果.

【详解】因为点一定在回归方程上，

所以将，代入

解得.

故选：C.

7．在样本的频率分布直方图中，共有个小长方形，这个小长方形的面积由小到大依次构成等比数列，若，且样本容量为，则对应小长方形面积最小的一组的频数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出等比数列公比的值，分析可知，数列前四项的和为，根据等比数列的求和公式求出的值，利用频数、频率与总容量的关系可求得对应小长方形面积最小的一组的频数.

【详解】设等比数列的公比为，则，

由题意可知，，解得，

因此，对应小长方形面积最小的一组的频数为.

故选：A.

8．已如函数，则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求出函数的定义域，利用导数分析函数的单调性，由可得出关于的不等式组，由此可解得原不等式的解集.

【详解】函数的定义域为，

则对任意的恒成立，

所以，函数在上为增函数，

由可得，解得或，

因此，不等式的解集为.

故选：C.

9．已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据直线的方程先确定出直线所过的定点，然后判断出点到直线的距离的最大值为，结合点的坐标求解出结果.

【详解】将变形得，

所以是经过两直线和的交点的直线系.

设两直线的交点为，由得交点，

所以直线恒过定点，

于是点到直线的距离，

即点到直线的距离的最大值为.

故选：B.

10．已知，，是圆上的动点，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】线段的中点为，考虑和两种情况，计算垂直平分线，再根据垂直平分线和圆有交点得到，解得答案.

【详解】线段的中点为，

当时，存在点满足；

当时，直线的斜率，

所以线段的垂直平分线的方程为，整理得．

若，则直线与圆有公共点，所以，整理得，

因为，所以，解得．

综上可知，的取值范围是．

故选：C

11．已知、为双曲线的左、右焦点，点P在C的右支上，若，且直线与C的一条渐近线平行，则C的离心率为（    ）．

A． B． C．2 D．

【答案】D

【分析】根据双曲线的定义、直线斜率、勾股定理列式可得关系，从而可得双曲线离心率.

【详解】如图，

双曲线的渐近线方程为，

由双曲线的定义可得①，

因为，所以，则②，

又直线与C的一条渐近线平行，所以③，

联立①③得：，代入②得：，即，则双曲线的离心率.

故选：D.

12．已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据式子结构，把变形为，构造函数，根据在上单调递增，得到，即，令，利用导数判断单调性，求出最小值.

【详解】因为，即，所以，

所以.

令，则，

所以在上单调递增，所以，即，

所以，令.

则.令，解得：；

令，解得：；

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以.

即的最小值为.

故选：B

【点睛】导数的应用主要有：

（1）利用导函数几何意义求切线方程；

（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；

（3）利用导数求参数的取值范围.

二、填空题

13．甲乙两名篮球运动员最近6场比赛的得分如茎叶图所示，若甲、乙的平均数相等，中位数也相等，则的值是          ．

【答案】2

【分析】根据题意结合平均数、中位数的定义运算求解.

【详解】由题意可知：甲的得分依次为：，

可得其平均数为，中位数为；

乙的得分依次为：，

可得其平均数为，

因为，可得，

因为，不妨设，可知

若，则，乙的中位数为，不合题意；

若，则，乙的中位数为，符合题意；

若，则，乙的中位数为，不合题意；

综上所述：，，可得.

故答案为：2.

14．设x，y满足条件，则的最大值为          ．

【答案】4

【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求解作答.

【详解】不等式组表示的平面区域，如图中阴影（含边界），其中，

目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，

画直线，平移直线到直线，当直线过点时，直线的纵截距最大，最大，，

所以的最大值为4.

故答案为：4

15．写出使“函数与函数的图象无公共点”的的一个取值      .

【答案】（答案不唯一，只需满足即可）

【分析】令，可得出，其中，令，其中，利用导数求出函数的值域，即可得出当函数与函数的图象无公共点时，实数的取值范围，即可得解.

【详解】令，即，可得，其中，

令，其中，则，由，可得，列表如下：

所以，函数在处取得最大值，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，函数的值域为，

故当函数与函数的图象无公共点时，则.

故答案为：（答案不唯一，只需满足即可）.

16．已知定义域为且的函数的图象关于直线对称，当时，，设函数的导函数为，给出以下结论：

①；

②函数的图象关于点对称.

③若时，函数在上是减函数；

④若函数恰有四个零点，则a的取值范围是：

其中正确的序号是      （写出所有正确命题的编号）.

【答案】①②④

【分析】根据对称满足的关系即可判断①,求导，验证对称满足的数量关系即可判断②，求导，根据导函数的正负即可判断③，构造函数利用导数求解单调性即可结合对称性求解④.

【详解】由于的图象关于直线，所以，故①正确，

当时，，则，

设，则由，

则时，，

则，

故，函数的图象关于点对称. 故②正确，

由②知当时， ，

记，则

则，

当时，为开口向上，对称轴为的二次函数，

故在单调递增，当时，，

故当时，单调递增，即在上是增函数；故③错误，

由于的图象关于直线对称，要使有4个不同的零点，则只需要在上有2个不同的零点即可，

当时，令，则或，

当的解为时，则，故，

由于，则，

记则，

当时，，所以在单调递减，，当趋向于时，趋向于0，故，

由于直线与在的图象有不等于的实数根，则且，

故在上有2个不同的零点，则且，

故恰好有4个不同的零点，则且，故④正确，

故答案为：①②④

【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及函数问题的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.

三、解答题

17．已知F为抛物线的焦点，为抛物线C上第一象限的点，且.

(1)求点A的坐标；

(2)求过点A且与圆相切的直线方程.

【答案】(1)

(2)或，

【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式即可求解，代入方程即可求解坐标，

（2）根据点到直线的距离等于半径即可求解.

【详解】（1）由于抛物线的焦点坐标为，

故，

所以，，将代入抛物线可得，

故

（2）由于点的圆心为，

由于，故过点A的切线一定有斜率，设其方程为，

由于直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，

所以切线方程为，即或，

18．2023年1月9日，中国在文昌航天发射场使用长征七号改运载火箭（下简称长七改火箭），成功发射实践二十三号卫星，中国航天实现2023年宇航发射“开门红”.为了解某中学高二学生对此新闻事件的关注程度，从该校高二学生中随机抽取了50名学生进行调查，调查样本中有20名女生.如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“长七改火箭”的部分）.

(1)请你依据列联表的独立性检验，判断该校高二学生是否有95%的把握认为对“长七改火箭”的关注程度与性别有关?

(2)现从关注“长七改火箭”的同学中按照性别进行分层抽样抽取7人，求从7人中抽取两人，这两人都是男生的概率.

附：，其中.

【答案】(1)没有95%的把握认为对“长七改火箭”的关注程度与性别有关

(2)

【分析】（1）根据等高条形图完善列联表，根据表格中的数据，利用公式求得，再与临界值表对比即可得结论；

（2）设5名男生为，2名女生为，列举出从7人中抽取两人的所有情况，以及这两人都是男生的情况，利用古典概型概率公式可得答案.

【详解】（1）50名学生进行调查，调查样本中有20名女生，有30名男生，

由等高条形图可知，女生中有6名同学关注长七改火箭，

男生中有15名同学关注长七改火箭，

列联表如下：

所以没有95%的把握认为对“长七改火箭”的关注程度与性别有关；

（2）关注“长七改火箭”的同学中，男生与女生的比例为15:6=5:2，

所以，从关注“长七改火箭”的同学中按照性别进行分层抽样抽取7人，

男生有5人，女生有2人，设5名男生为，2名女生为，

从7人中抽取两人共有21种情况：

其中，这两人都是男生共有10种情况：

所以从7人中抽取两人，这两人都是男生的概率为.

19．已知函数.

(1)求函数的单调递增区间；

(2)当时，函数在上的最小值为，求a的值.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求出函数的导数，再分当时，当时，当时，三种情况讨论解不等式作答.

（2）利用（1）的结论，函数在上单调递增，求出最小值，即可计算作答.

【详解】（1）函数的定义域为，

求导得，

当时，，当且仅当时取等号，则函数在上单调递增，

当时，由得或，即函数在上单调递增，

当时，由得或，即函数在上单调递增，

所以当时，函数的递增区间是；

当时，函数的递增区间是；

当时，函数的递增区间是.

（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，

，

于是，解得

所以a的值为.

20．设函数，，其中e是自然对数的底数.

(1)若曲线在处的切线与曲线相切，求a的值：

(2)若存在两个极值点，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，利用点斜式求解，的切线，进而根据公切线，即可求解，

（2）将问题转化为在上有2个不同的实数根，构造函数，利用导数求解函数的单调性，结合函数的图象即可求解.

【详解】（1）由，得，，，

所以，所以在处的切线方程为，

设的切点为，所以的切线方程为，

由题意可知与是同一条直线，所以且，解得

（2），

则，

存在两个极值点，所以在上有2个不同的实数根，

故在上有2个不同的实数根，

记，由于均为上的单调递减函数，故在上的单调递减，而当时，，

故当时，，，此时单调递增，当时，，，此时单调递减，

故当时，取极大值也是最大值，，

而当时，恒成立，而，

在直角坐标系中，作出的大致图象，

结合图像可知在上有2个不同的实数根，则，

【点睛】本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.

21．已知椭圆过点，且离心率为.

(1)求的方程；

(2)若点，直线与椭圆交于两点、，且与轴交于点，连接和.从下列三个条件中选取一个作为条件，探究直线是否过定点，如果是，请求出定点，如果不是，请说明理由.

①点关于轴的对称点在直线上；

②若直线与直线的倾斜角分别为、，且满足；

③、两点不在轴上，设和的面积分别为和，且.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)条件选择见解析，直线过定点

【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；

（2）若选①，设点、，则点关于轴的对称点为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由已知条件可得出，代入韦达定理，可得出、所满足的关系式，即可得出直线所过定点的坐标；

若选②或③，根据已知条件得出，解答步骤如①.

【详解】（1）解：由题意可得，解得，

所以，椭圆的方程为.

（2）解：若选①，设点、，则点关于轴的对称点为，

联立直线与椭圆的方程，可得，

，可得，

由韦达定理可得，，

因为、、三点共线，则，，

由题意可得，即，

整理可得，

即，整理可得，

所以，直线的方程为，

所以，直线过定点.

若选②，直线与直线的倾斜角分别为、，且满足，

则，以下同①；

若选③，设点到直线、的距离分别为、，

则，所以，，所以，，

则，以下同①.

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.

22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

(1)求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；

(2)已知点，若直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．

【答案】(1)；

(2)8

【分析】（1）把消去可得曲线C的普通方程；利用两角和与差的正弦公式展开，把，代入可得直线l的直角坐标方程；

（2）先得到直线的参数方程（s为参数），代入曲线C的方程得到，利用s的几何意义，可设，，再结合韦达定理可求.

【详解】（1）因为（t为参数），所以，

所以曲线C的普通方程为，

因为，所以，

因为，，所以直线l的直角坐标方程为.

即

（2）由（1）可得直线l的参数方程（s为参数），

代入，整理得，

设，，则，，

所以.

23．函数，设恒成立时m的最大值为n．

(1)求n的值；

(2)若a，b，c为正数，且满足，证明：．

【答案】(1)4

(2)证明见解析

【分析】（1）零点分段讨论，去掉绝对值，通过单调性得最小值解决恒成立问题，可求n的值；

（2）利用柯西不等式证明结论.

【详解】（1），

，

所以在上单调递减，在上单调递增，

，由恒成立，则有，得.

（2）由（1）可知

若a，b，c为正数，由柯西不等式，

得，当且仅当时等号成立，

由，有，所以.